Question

9．如圖所示，圓心在原點(diǎn)、半徑為R的圓將xOy平面分為兩個(gè)區(qū)域，在圓內(nèi)區(qū)域Ⅰ（r≤R）和圓外區(qū)域Ⅱ（r＞R）的第一、二象限分別存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向均垂直于xOy平面．垂直于xOy平面放置兩塊平面熒光屏，其中熒光屏甲平行于y軸放置在x=2.6R的位置，熒光屏乙平行于x軸放置在y=3.5R的位置．現(xiàn)有一束質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的粒子由靜止經(jīng)過(guò)加速電壓為U的加速電場(chǎng)后從坐標(biāo)為（0，-R）的A點(diǎn)沿y軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，最終打在熒光屏甲上，出現(xiàn)亮點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2.6R，0.8R）．若撤去圓外磁場(chǎng)，粒子也打在熒光屏甲上，出現(xiàn)亮點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2.6R，0），此時(shí)，若將熒光屏甲沿x軸正方向平移，發(fā)現(xiàn)亮點(diǎn)的y軸坐標(biāo)始終保持不變．不計(jì)粒子重力影響．
（1）求在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中粒子運(yùn)動(dòng)速度v₁、v₂的大��；
（2）求在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁、B₂的大小和方向；
（3）若加速電壓變?yōu)?U，且上述兩個(gè)磁場(chǎng)方向均反向，熒光屏仍在初速位置，求粒子到達(dá)熒光屏的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場(chǎng)中受到洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力始終與速度相垂直，因此洛倫茲力不做功，所以動(dòng)能不變，根據(jù)動(dòng)能定理可求得粒子的速度；
（2）根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，由左手定則可判定洛倫茲力方向．從而可根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)確定洛倫茲力的方向，最終能得出磁感應(yīng)強(qiáng)度大小與方向．當(dāng)粒子垂直射入勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，從而利用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)解題．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力不做功，打在M點(diǎn)和N點(diǎn)的粒子動(dòng)能均為不變；速度v₁、v₂大小相等，設(shè)為v，由Uq=$\frac{1}{2}$mv²
可得 v=$\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$
（2）如圖所示，區(qū)域Ⅱ中無(wú)磁場(chǎng)時(shí)，粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)四分之一圓周后，從C點(diǎn)沿y軸負(fù)方向打在M點(diǎn)，軌跡圓心是o₁點(diǎn)，半徑為r₁=R
區(qū)域Ⅱ有磁場(chǎng)時(shí)，粒子軌跡圓心是O₂點(diǎn)，半徑為r₂，
由幾何關(guān)系得r₂²=（1.2R）²+（r₂-0.4R）²
解得r₂=2R
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得
B=$\frac{mv}{qr}$
則入半徑可知，B₁=$\frac{\sqrt{2mUq}}{qR}$，方向垂直xoy平面向外．
B₂=$\frac{\sqrt{2mUq}}{2qR}$，方向垂直xoy平面向里．
（3）如圖所示，粒子先在區(qū)域Ⅰ中做圓周運(yùn)動(dòng)．由3qU=$\frac{1}{2}$mv'²
可知，運(yùn)動(dòng)速度為  v'=$\sqrt{\frac{6qU}{m}}$=$\sqrt{3v}$       
軌道半徑為r₃=$\frac{mv'}{q{B}_{1}}$=$\sqrt{3}\frac{mv}{q{B}_{1}}$=$\sqrt{3}$R     
由圓心O₃的坐標(biāo)（$-\sqrt{3}$R，-R）可知，O₃A與O₃O的夾角為30°．通過(guò)分析如圖的幾何關(guān)系，粒子從D點(diǎn)穿出區(qū)域Ⅰ的速度方向與x軸正方向的夾角為θ=60°
粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為
r4=$\frac{mv'}{q{B}_{2}}$=2$\sqrt{3}$$\frac{mv}{q{B}_{1}}$=2$\sqrt{3}$R
其圓心O4的坐標(biāo)為（r₄sin30°-Rsin60°，Rcos60°+r₄cos30°），
即（$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，$\frac{7R}{2}$）
說(shuō)明圓心O₄恰好在熒光屏乙上．所以，亮點(diǎn)將垂直打在熒光屏乙上的P點(diǎn)，
其x軸坐標(biāo)為x=-（r₄-$\frac{\sqrt{3}}{2}$R）=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$R
其y軸坐標(biāo)為x=3.5R．
答：（1）在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中粒子運(yùn)動(dòng)速度v₁、v₂的大小均為$\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$；
（2）B₁為$\frac{\sqrt{2mUq}}{qR}$，方向垂直xoy平面向外．B₂為$\frac{\sqrt{2mUq}}{2qR}$，方向垂直xoy平面向里．
（3）若加速電壓變?yōu)?U，且上述兩個(gè)磁場(chǎng)方向均反向，熒光屏仍在初速位置，粒子到達(dá)熒光屏的位置坐標(biāo)為3.5R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，處理時(shí)注意：定圓心、畫軌跡、求半徑；而在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，處理時(shí)：電場(chǎng)強(qiáng)度方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，垂直電場(chǎng)強(qiáng)度方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)．