Question

（1）試由萬有引力定律推導(dǎo)：繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星的周期T跟它軌道半徑r的3/2次方成正比．
（2）A、B兩顆人造衛(wèi)星的繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，它們的圓軌道在同一平面內(nèi)，周期之比是

T1

T2

=

3 3

2 2

．若兩顆衛(wèi)星的最近距離等于地球半徑R，求這兩顆衛(wèi)星的周期各是多少？從兩顆衛(wèi)星相距最近開始計(jì)時(shí)到兩顆衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)至少經(jīng)過多少時(shí)間？已知在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星周期為T₀．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)地球?qū)θ嗽煨l(wèi)星的萬有引力提供向心力列式求解；
（2）根據(jù)第一問的結(jié)論求解出軌道半徑之比，得到半徑后進(jìn)一步求解出A、B衛(wèi)星的周期，最后根據(jù)相對運(yùn)動(dòng)求解從兩顆衛(wèi)星相距最近開始計(jì)時(shí)到兩顆衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時(shí)間．

解答：解：（1）人造衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力充當(dāng)向心力：
G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r
解得：T=

2π

GM

r

3

2

地球質(zhì)量M是常量，因此人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期T與其軌道半徑r的

3

2

次方成正比．
（2）設(shè)B衛(wèi)星軌道半徑為r₂，則A衛(wèi)星軌道半徑為r₁=r₂+R

T1

T2

=

(r2+R) 3 2

r 3 2 2

=

3 3

2 2

     ①
解得r₂=2R，r₁=3R
可得：

T1

T0

=

r 3 2 1

R 3 2

=3

3

T2

T0

=

r 3 2 2

R 3 2

=2

2

T₁=3

3

T0
T₂=2

2

T0
設(shè)A、B兩衛(wèi)星從相距最近開始經(jīng)過時(shí)間t第一次達(dá)相距最遠(yuǎn)，有
（

2π

T2

-

2π

T1

）t=π   ②
解得時(shí)間t=

3 6 T0

3 3 -2 2

≈3.1T₀
答：（1）證明如上；
（2）這兩顆衛(wèi)星的周期分別是3

3

T0、2

2

T0；從兩顆衛(wèi)星相距最近開始計(jì)時(shí)到兩顆衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)至少經(jīng)過3.1T₀．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵根據(jù)衛(wèi)星的萬有引力充當(dāng)向心力列式求解出周期以半徑的關(guān)系，然后運(yùn)用該關(guān)系式分析第二問，不難．