Question

3．如圖所示，ABCD為邊長為2a的正方形，O為正方形中心，正方形區(qū)域左丶右兩對稱部分分別存在方向垂直ABCD平面向里和向外的勻強(qiáng)磁場．一個質(zhì)量為|m丶電荷量為q的帶正電粒子從B點處以速度v垂直磁場方向射入左側(cè)磁場區(qū)域，速度方向與BC邊夾角為15°，粒子恰好經(jīng)過O點．已知cos15°=$\frac{\sqrt{6+\sqrt{2}}}{4}$，粒子重力不計．
（1）求左側(cè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大��；
（2）若粒子從CD邊射出，求右側(cè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)大大小的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）粒子從B點射入左側(cè)磁場，在磁場中做勻速圓周運動，畫出運動軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，即可求出左側(cè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大��；
（2）右側(cè)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小${B}_{2}^{\;}={B}_{1}^{\;}$時，粒子從D點射出，對應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小；當(dāng)運動軌跡與CD邊相切時，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，根據(jù)半徑公式求出最大磁感應(yīng)強(qiáng)度，即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍；

解答 解：（1）粒子從B點射入左側(cè)磁場，運動軌跡如圖1所示，

$△B{O}_{1}^{\;}O$為等邊三角形，由幾何關(guān)系可得軌跡半徑為：${r}_{1}^{\;}=\sqrt{2}a$
粒子在左側(cè)磁場中運動，有：$qv{B}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$
得：${B}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{2}mv}{2qa}$
（2）當(dāng)右側(cè)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小${B}_{2}^{\;}={B}_{1}^{\;}$時，粒子從D點射出，動軌跡如圖2所示，這是粒子從CD邊射出的最小磁感應(yīng)強(qiáng)度

當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度增大時，粒子在右側(cè)磁場中運動的軌跡半徑減小，當(dāng)運動軌跡與CD邊相切時，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，軌跡如圖3所示；

由幾何關(guān)系可知${r}_{2}^{\;}+{r}_{2}^{\;}cos15°=a$
得${r}_{2}^{\;}=\frac{4a}{\sqrt{6}+\sqrt{2}+4}$
粒子在右側(cè)磁場中運動，有$qv{B}_{2m}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{2}^{\;}}$
得${B}_{2m}^{\;}=\frac{（\sqrt{6}+\sqrt{2}+4）mv}{4qa}$
若粒子從CD邊射出，右側(cè)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的范圍為
$\frac{\sqrt{2}mv}{2qa}≤{B}_{2}^{\;}≤\frac{（\sqrt{6}+\sqrt{2}+4）mv}{4qa}$
答：（1）左側(cè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小$\frac{\sqrt{2}mv}{2qa}$；
（2）若粒子從CD邊射出，右側(cè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)大大小的取值范圍$\frac{\sqrt{2}mv}{2qa}≤{B}_{2}^{\;}≤\frac{（\sqrt{6}+\sqrt{2}+4）mv}{4qa}$

點評 帶電粒子在磁場中運動的類型，確定向心力來源，畫出軌跡，運用牛頓第二定律列式是慣用的解題思路．平時要加強(qiáng)訓(xùn)練，才能運用自如．