Question

3．現(xiàn)在有一小船要渡河，河的寬度為d，水流的速度為v₁，船在靜水中的速度為v₂，求：
（1）船要在最短時間內(nèi)劃到對岸，船頭應該指向何方？渡河的時間t₁為多少？位移x₁為多少？
（2）船要沿最短路徑劃到對岸，船頭應指向何方？渡河時間t₂為多少？位移x₂為多少？

Answer 1

分析 將小船的運動分解為沿河岸方向和垂直于河岸方向，當靜水速的方向與河岸垂直時，渡河時間最短，當合速度的方向與河岸垂直時，渡河位移最短．

解答 解：（1）小船要過河時間最短，船頭方向需垂直河岸方向：${t}_{1}=\fracjxhvnvh{{v}_{2}}$
該過程中沿河方向的位移：$x={v}_{1}t=\frac{{v}_{1}d}{{v}_{2}}$
總位移：${x}_{1}=\sqrt{zjvjx9x^{2}+{x}^{2}}=d•\sqrt{1+\frac{{v}_{1}^{2}}{{v}_{2}^{2}}}$
（2）若v₂＞v₁，小船航程最短等于河的寬度；要使小船航程最短，小船船頭方向需斜向上游，設(shè)船頭與河岸的夾角為θ，則有：$cosθ=\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$
渡河的時間：${t}_{2}=\frachpblz99{{v}_{2}sinθ}$，x₂=d
若v₂＜v₁，小船航程最短等于河的寬度；要使小船航程最短，小船船頭方向需斜向上游，設(shè)船頭與河岸的夾角為α，則有：$cosα=\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$
渡河的時間：${t}_{2}=\fracb3vfvhz{{v}_{2}sinα}$，${x}_{2}=\fraclnzpxjz{sinα}$
答：（1）船要在最短時間內(nèi)劃到對岸，船頭應該垂直河岸方向，渡河的時間t₁為$\fraczjvf9h3{{v}_{2}}$，位移x₁為d；
（2）船要沿最短路徑劃到對岸，若v₂＞v₁，小船航程最短等于河的寬度；要使小船航程最短，小船船頭方向需斜向上游，設(shè)船頭與河岸的夾角為θ，則有：$cosθ=\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$
渡河的時間是$\frachrdnvlx{{v}_{2}sinθ}$，位移是d；${t}_{2}=\frac9ftdr5p{{v}_{2}sinθ}$，x₂=d
若v₂＜v₁，小船航程最短等于河的寬度；要使小船航程最短，小船船頭方向需斜向上游，設(shè)船頭與河岸的夾角為α，則有：$cosα=\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$
渡河的時間是$\fracd5x9zn9{{v}_{2}sinα}$，位移x₂為$\fracp5hbn9p{sinα}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道分運動和合運動具有等時性，知道當靜水速與河岸垂直時，渡河時間最短，合速度方向與河岸垂直時，渡河位移最短．