Question

6．在太陽系外發(fā)現的某恒星a的質量為太陽質量的0.3倍，該恒星的一顆行星b的質量是地球的4倍，直徑是地球的1.5倍，公轉周期為10天．設該行星與地球均為質量分布均勻的球體，且分別繞其中心天體做勻速圓周運動，則（　�。�

• A． 行星b的第一宇宙速度與地球相同
• B． 行星b繞恒星a運行的角速度大于地球繞太陽運行的角速度
• C． 如果將物體從地球搬到行星b上，其重力是在地球上重力的$\frac{16}{9}$
• D． 行星b與恒星a的距離是日地距離的$\sqrt{\frac{2}{73}}$倍

Answer 1

分析 由第一宇宙速度即在中心天體表面做圓周運動的速度即可求解第一宇宙速度；由加速度與周期的關系式即可求得角速度；物體的重力即物體的萬有引力；根據萬有引力做向心力，已知周期即可求解圓周運動的半徑．

解答 解：設恒星質量為M₁′，行星質量為M′，地球質量為M，太陽質量為M₁；
A、行星b的第一宇宙速度即行星外衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，萬有引力做向心力，半徑為行星半徑時的速度，所以有：$\frac{GM′m}{{R′}^{2}}=\frac{m{v′}^{2}}{R′}$，所以，$v′=\sqrt{\frac{GM′}{R′}}=\sqrt{\frac{4GM}{1.5R}}=\sqrt{\frac{8}{3}}v$，故A錯誤；
B、行星繞恒星運行，即以萬有引力做向心力做圓周運動，$ω′=\frac{2π}{T′}$，行星公轉周期為10天，地球公轉周期為1年，故行星公轉周期小于地球公轉周期，所以，行星b繞恒星a運行的角速度大于地球繞太陽運行的角速度，故B正確；
C、在行星表面，萬有引力即物體的重力，所以，重力加速度$g′=\frac{GM′}{R{′}^{2}}=\frac{4GM}{（1.5R）^{2}}=\frac{16}{9}g$，所以，重力是在地球上重力的$\frac{16}{9}$，故C正確；
D、設日地距離為d，行星繞恒星做圓周運動，萬有引力做向心力，則有：$\frac{G{M}_{1}′M′}{{{R}_{1}′}^{2}}=M′（\frac{2π}{T′}）^{2}{R}_{1}′$，所以，${R}_{1}′=\root{3}{\frac{G{M}_{1}′T{′}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{G×0.3{M}_{1}×（\frac{10}{365}T）^{2}}{4{π}^{2}}}=\root{3}{\frac{30}{36{5}^{2}}}d$，故D錯誤；
故選：BC．

點評 在萬有引力的考察中，都是根據萬有引力做向心力，然后由求得半徑、周期、角速度、速度之間的關系進而求解相關問題．