Question

10．如圖所示，M是水平放置的半徑足夠大的圓盤，繞過其圓心的豎直軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，規(guī)定經(jīng)過O點(diǎn)且水平向右為x軸正方向．在圓心O點(diǎn)正上方距盤面高為h=5m處有一個(gè)可間斷滴水的容器，從t=0時(shí)刻開始容器沿水平軌道向x軸正方向做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．已知t=0時(shí)刻滴下第一滴水，以后每當(dāng)前一滴水剛好落到盤面時(shí)再滴下一滴水．則：
（1）每一滴水離開容器后經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間滴落到盤面上？
（2）要使每一滴水在盤面上的落點(diǎn)都位于同一直線上，圓盤的角速度ω應(yīng)為多大？
（3）當(dāng)圓盤的轉(zhuǎn)速為n=$\frac{3}{4}$r/s時(shí)，第二滴水與第三滴水在盤面上落點(diǎn)間的距離為s=$\sqrt{73}$m/s，求容器的加速度a．

Answer 1

分析 （1）離開容器后，每一滴水在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，水滴運(yùn)動(dòng)的時(shí)間等于豎直方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由高度決定；
（2）要使每一滴水在盤面上的落點(diǎn)都位于同一直線上，則圓盤在t秒內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧度為kπ，k為不為零的正整數(shù)；
（3）通過勻加速直線運(yùn)動(dòng)的公式求出兩個(gè)水滴在水平方向上的位移，再算出兩個(gè)位移之間的夾角，根據(jù)位移關(guān)系算出容器的加速度．

解答 解：（1）水滴離開容器后，每一滴水在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)．每一滴水滴落到盤面上所用時(shí)間：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}=1$s
（2）要使每一滴水在盤面上的落點(diǎn)都位于同一直線，則圓盤在t秒內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧度為
kπ，k為不為零的正整數(shù)．則：ωt=kπ
       即ω=$\frac{kπ}{t}$=kπ  （其中k=1，2，3…．）
（3）第二滴水離開O點(diǎn)的距離為${x}_{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}+（at）t=\frac{3}{2}a$
第三滴水離開O點(diǎn)的距離為${x}_{3}=\frac{1}{2}a（2t）^{2}+（a•2t）t=4a$
又△θ=ωt=2πnt=1.5π
即第二滴水和第三滴水分別滴落在圓盤上x軸方向及垂直x軸的方向上，所以${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}={x}^{2}$     
即${（\frac{3}{2}a）}^{2}+{（4a）}^{2}=73$  
代入數(shù)據(jù)解得：a=2m/s²；
答：（1）每一滴水離開容器后經(jīng)過1s時(shí)間滴落到盤面上；
（2）要使每一滴水在盤面上的落點(diǎn)都位于同一直線上，圓盤的角速度ω應(yīng)為kπ，其中k=1，2，3，…；
（3）當(dāng)圓盤的角速度為1.5π時(shí)，第二滴水與第三滴水在盤面上落點(diǎn)間的距離為2m，則容器的容器加速度2m/s²

點(diǎn)評(píng) 該題涉及到運(yùn)動(dòng)的合成與分解，圓周運(yùn)動(dòng)，勻變速直線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律，綜合性較強(qiáng)，難度較大．