Question

2．如圖所示，一輕質彈簧的上端固定在傾角為30°的光滑斜面頂部，下端栓接小物塊A，A通過一段細線與小物塊B相連，系統(tǒng)靜止時B恰位于斜面的中點．將細線燒斷，發(fā)現當B運動到斜面底端時，A剛好第三次到達最高點．已知B的質量m=2kg，彈簧的勁度系數k=l00N/m，斜面長為L=5m，且始終保持靜止狀態(tài)，重力加速度g=l0m/s²．
（i）試證明小物塊A做簡諧運動；
（ii）求小物塊A振動的振幅和周期．

Answer 1

分析 （1）對A進行受力分析，得出受到的合力與位移x之間的關系，然后與簡諧振動的公式比較即可得出結論；
（2）求出開始時彈簧的伸長量，結合線斷后A點的平衡位置，即可求出A的振幅；由牛頓第二定律求出B向下運動的時間，然后結合題目的條件求出A的周期．

解答 解：（1）燒斷細線后A向上運動，受力平衡時，設彈簧的伸長量為x₀，則：kx₀-m_Agsin30°=0  ①
選A的平衡位置處為坐標原點，沿斜面向下為正方向建立坐標系，用x表示A離開平衡位置的位移．當A運動到平衡位置下x位置時，物塊A受到的合力為：
F₀=m_Agsin30°-k（x-x₀）  ②
聯立①②得：F₀=-kx，可知A受到的合外力總是與物塊的位移成反比，所以A做簡諧振動．
（2）開始時AB組成的系統(tǒng)靜止時，設彈簧的伸長量為x₁，根據胡克定律有：
kx₁-（m_A+m_B）gsin30°=0   ③
所以：${x}_{1}=\frac{（{m}_{A}+{m}_{B}）sin30°}{k}$
燒斷細線后A從此位置開始向上運動，到達平衡位置運動的距離為物塊A的振幅，則：
A=${x}_{1}-{x}_{0}=\frac{mgsin30°}{k}$
代入數據得：A=0.1m
燒斷細線后B向下做勻加速直線運動，則：m_Bgsin30°=m_Ba
設B到達斜面底端的時間為t，則：$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
A向上運動經過$\frac{1}{2}$周期第一次到達最高點，則第三次到達最高點的時間：t=2.5T
代入數據聯立得：T=0.4s
答：（i）證明小物塊A做簡諧運動如上；
（ii）小物塊A振動的振幅是0.1m，周期是0.4s．

點評 該題以簡諧振動為背景考查共點力平衡、牛頓第二定律的應用等重點知識點，解答的關鍵是抓住題目中不同情況下的受力．