Question

19．傾角為37°的傳送帶在電機控制下以4m/s的速度沿圖示方向勻速率運行，傳送帶的頂端與底端相距17m．現(xiàn)將一質(zhì)量為0.4kg的煤塊放到傳送帶的頂端，使它從靜止開始沿傳送帶下滑，煤塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為0.25，煤塊在傳送帶上運動留下黑色劃痕（不計煤塊質(zhì)量變化），設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．求煤塊從頂端滑到底端的過程中（sin37°=0.6，重力加速度g=10m/s² ）
（1）煤塊運動的時間  
（2）摩擦產(chǎn)生的熱量 
（3）劃痕長度．

Answer 1

分析 （1）煤塊放到傳送帶后，開始時所受的滑動摩擦力方向沿斜面向下，根據(jù)牛頓第二定律求出開始下滑的加速度，由速度時間求出當(dāng)速度達到傳送帶速度時的時間和位移．由于重力的分力大于最大靜摩擦力，所以共速后，煤塊繼續(xù)做勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律求出第二次勻加速直線運動的加速度，結(jié)合運動學(xué)公式求出時間．
（2）求出煤塊與傳送帶的相對路程，根據(jù)Q=fs_相對，求出產(chǎn)生的熱量．
（3）劃痕長度等于煤塊與傳送帶的相對位移，由位移公式公式和幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）通過受力分析可知，剛開始時，煤塊所受的滑動摩擦力沿傳送帶向下，由牛頓第二定律，得：
mgsin37°+μmgcos37°=ma₁；
得加速度大小為：a₁=gsin37°+μgcos37°=10×0.6+0.25×10×0.8=8m/s²．
達到跟傳送帶相同速度所需時間為：t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{8}$s=0.5s，
通過位移為：x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{4}^{2}}{2×8}$m=1m．
由于mgsin37°＞μmgcos37°，所以共速后，煤塊繼續(xù)做勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律得：
mgsin37°-μmgcos37°=ma₂；
解得加速度大小為：a₂=gsin37°-μgcos37°=10×0.6-0.25×10×0.8=4m/s²．
繼續(xù)勻加速運動的位移大小為：x₂=L-x₁=17-1=16m，
則有：x₂=v₀t₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²
代入數(shù)據(jù)解得：t₂=2s．      
所以總時間為：t=t₁+t₂=2.5s；
（2）全過程中產(chǎn)生的熱為：
Q=f•s_相對=μmgcos37°•[（v₀t₁-x₁）+（x₂-v₀t₂）]
代入數(shù)據(jù)解得：Q=7.2J．
（3）由于（v₀t₁-x₁）＜（x₂-v₀t₂），所以劃痕長度為 L=x₂-v₀t₂
代入數(shù)據(jù)解得：L=8m
答：（1）煤塊運動的時間是2.5s． 
（2）摩擦產(chǎn)生的熱量是7.2m．
（3）劃痕長度是8 m．

點評 解決本題的關(guān)鍵理清木塊的運動情況，結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式求解，恒力做功公式求解．