Question

6．長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量為M的木板A靜止在光滑的水平桌面上，有一質(zhì)量為m的小木塊B以水平速度V₀恰好落在木板A的左端，如圖所示，木塊B與木塊A間的摩擦系數(shù)為μ，木塊B可視為質(zhì)點(diǎn)，試求：
（1）A和B的加速度各是多少，方向如何？
（2）當(dāng)B運(yùn)動(dòng)到A長(zhǎng)度的中點(diǎn)時(shí)，相對(duì)于A的速度是多少？
（3）如果最后B恰好到達(dá)A的右端不落下來(lái)，則V₀的值應(yīng)是多大？

Answer 1

分析 （1）對(duì)木塊和木板進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律即可求解木塊B和木板A的加速度大小和方向；
（2）木塊和木板都向右運(yùn)動(dòng)，木塊做減速運(yùn)動(dòng)，木板做加速度運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得相對(duì)于A速度
（3）木板和木塊構(gòu)成的系統(tǒng)所受到的合外力為零，因而總動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求解．

解答 解：（1）木塊和木板相對(duì)滑動(dòng)，受到滑動(dòng)摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律得：
對(duì)于木塊B：a_B=$\frac{f}{m}=\frac{μmg}{m}$=μg，方向水平向左；
對(duì)于木板A：a_A=$\frac{f}{M}=\frac{μmg}{M}$，方向水平向右；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到A得終點(diǎn)，則${x}_{B}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{B}{t}^{2}$
${x}_{A}=\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}$
$\frac{L}{2}={x}_{B}-{x}_{A}$
此時(shí)B的速度為v_B=v₀-a_Bt
A的速度為v_A=a_At
相對(duì)速度為△v=v_B-v_A
聯(lián)立解得△v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-（μg-\frac{μmg}{M}）L}$
（3）B恰好到達(dá)A的右端不落下來(lái)時(shí)兩者速度相同，設(shè)為v．
木板和木塊構(gòu)成的系統(tǒng)所受到的合外力為零，因而總動(dòng)量守恒，則有：（M+m）v=mv₀ 　
解得 v=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$
根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒得：μmgL=$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2μ（M+m）gL}{M}}$
答：
（1）A的加速度為$\frac{μmg}{M}$，方向水平向右；B的加速度是μg，方向水平向左；
（2）當(dāng)B運(yùn)動(dòng)到A長(zhǎng)度的中點(diǎn)時(shí)，相對(duì)于A的速度是$\sqrt{{v}_{0}^{2}-（μg-\frac{μmg}{M}）L}$
（3）如果最后B恰好到達(dá)A的右端不落下來(lái)，則v₀的值應(yīng)是$\sqrt{\frac{2μ（M+m）gL}{M}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律、動(dòng)量守恒定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵理清放上木塊后木板和木塊的運(yùn)動(dòng)情況，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解或動(dòng)量守恒和能量守恒結(jié)合解答．