講講菱形的判定

    菱形，是四邊相等的四邊形，這是菱形的定義，要判斷一個四邊形是不是菱形，除用定義判斷，還可用其它等價條件。

    1. 證明四邊形的四條邊相等

    例1  已知：如圖1，C是線段BD上一點，和都是等邊三角形，R、F、G、H分別是四邊形ABDE各邊的中點。求證：四邊形RFGH是菱形。

    證明：連結AD、BE

    因為和都是等邊三角形

    所以

    故四邊形RFGH是菱形

    2. 鄰邊相等的平行四邊形一定是菱形

    例2  已知：如圖2，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分別是AD、BC的中點，E、F分別是BM、CM的中點。求證：四邊形MENF是菱形。

    證明：因為E是BM的中點，N是BC的中點，F(xiàn)是CM的中點

    3. 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

    例3  已知：如圖3，梯形ABCD中，AD//BC，對角線，M、N為底邊BC的三等分點，且BC=3AD，AM與BD交于點G，AC與DN交于點H。求證：四邊形AGHD是菱形。

    證明：因為BC=3AD

    M、N是BC的三等分點

    又1=2

    所以四邊形AGHD是平行四邊形

    又，所以四邊形AGHD是菱形。

    4. 對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

    例4  已知：如圖4，中，BAC的平分線交BC于點D，E是AB上一點，且AE=AC，EF//BC交AD于點F。

    求證：四邊形CDEF是菱形。

    證明：連結CE交AD于點O

    因為AC=AE

    所以為等腰三角形

    因為AO平分CAE

    所以，且OC=OE

    因為EF//CD，

    所以1=2

    所以OF=OD

    于是CE垂直平分DF

    所以四邊形CDEF是菱形

    總結以上，得到下表

    練習：

  1. 求證：順次連結等腰梯形各邊中點所構成的四邊形是菱形。

  2. 求證：順次連結等腰梯形上、下底的中點和兩對角線的中點所構成的四邊形是菱形。

  3. 求證：順次連結矩形四邊中點所構成的四邊形是菱形。

  4. 求證：過矩形各頂點平行于對角線的垂線圍成的四邊形是菱形。

  5. 在平行四邊形ABCD中，，M、N分別是AD、BC的中點。求證四邊形ANCM是菱形。

  6. 已知：中，AB=AC，D是BC的中點，DE//AC，DF//AB，DE、DF分別交AB、AC于點E、F，求證：四邊形AEDF是菱形。