（一）必做題：第9、10、11、12題為必做題，每道試題考生都必須做答

9.已知，則當取最大值時，=_____________.

10.已知數列的前項和，則當時，=______.

11．為了調查某廠工人生產某種產品的能力，隨機

抽查了20位工人某天生產該產品的數量.產品數

量的分組區(qū)間為，

,由此得到頻率分布直方圖如

圖,則由此估計該廠工人一天生產該產品數量在

的人數約占該廠工人總數的百分率是　　　.

12.已知是拋物線和直線圍成的封閉區(qū)域(包括邊界)內的點，則的最小值為 ___________.

（二）選做題：第13、14、15題為選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題的得分．

13.設為正數,且 則的最大值是___________.

14.已知過曲線上一點P，原點為O，直線PO的傾斜角為，則點坐標是___________.

15.如圖,是兩圓的交點,是小圓的直徑,和

分別是和的延長線與大圓的交點,

已知,且,

則=___________.

16．（本小題滿分12分）

在△中，分別是內角的對邊,且．

(Ⅰ) 求；   

 (Ⅱ) 求的長.

17．（本小題滿分12分）

某商場為刺激消費，擬按以下方案進行促銷：顧客每消費500元便得到抽獎券一張，每張抽獎券的中獎概率為，若中獎，商場返回顧客現金100元．某顧客現購買價格為2300的臺式電腦一臺，得到獎券4張.

(Ⅰ)設該顧客抽獎后中獎的抽獎券張數為，求的分布列；

(Ⅱ)設該顧客購買臺式電腦的實際支出為（元），用表示，并求的數學期望.

18．（本小題滿分14分）

如圖一，平面四邊形關于直線對稱，．

把沿折起（如圖二），使二面角的余弦值等于．對于圖二，完成以下各小題：

（Ⅰ）求兩點間的距離；

（Ⅱ）證明：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

19．（本題滿分14分）

已知是以點為圓心的圓上的動點，定點.點在上，點在上，且滿足．動點的軌跡為曲線.

    （Ⅰ）求曲線的方程；

(Ⅱ)線段是曲線的長為的動弦，為坐標原點，求面積的取值范圍.

20．（本題滿分14分）

已知數列滿足：，且（）．

（Ⅰ）求證：數列為等差數列；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）求下表中前行所有數的和．　

21．（本題滿分14分）

已知函數(常數.

(Ⅰ) 當時，求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ)討論函數在區(qū)間上零點的個數（為自然對數的底數）.

2009年深圳市高三年級第二次調研考試

數學(理科)答案及評分標準

說明：

1

2

3

4

5

6

7

8

C

A

A

B

D

C

A

D

  9．．              10．．             11． 52.5％．          12． .

 13．．          14． ．             15．．

16．（本小題滿分12分）

在△中，分別是內角的對邊,且．

(Ⅰ) 求；   

 (Ⅱ) 求的長.

解：(Ⅰ)在中，

.

.       …………………………2分

從而                     …………………………6分

∴……9分

(Ⅱ)由正弦定理可得

，

                                    …………………………12分

17．（本小題滿分12分）

某商場為刺激消費，擬按以下方案進行促銷：顧客每消費500元便得到抽獎券一張，每張抽獎券的中獎概率為，若中獎，商場返回顧客現金100元．某顧客現購買價格為2300的臺式電腦一臺，得到獎券4張.

(Ⅰ)設該顧客抽獎后中獎的抽獎券張數為，求的分布列；

(Ⅱ)設該顧客購買臺式電腦的實際支出為（元），用表示，并求的數學期望.

解：(Ⅰ)的所有可能值為0，1，2，3，4.…………………………1分

，

，

，

.                  　　　　　   　  ……………………4分

其分布列為：

0

1

2

3

4

…………………………6分

 (Ⅱ)，

 .                            　　　　   …………………………8分

由題意可知

，                       　　　　　   …………………………10分

元.   　　　　  …………………………12分

18．如圖一，平面四邊形關于直線對稱，．把沿折起（如圖二），使二面角的余弦值等于．對于圖二，完成以下各小題：

（Ⅰ）求兩點間的距離；

（Ⅱ）證明：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

　　　　　�。▓D一）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（圖二）

解：（Ⅰ）取的中點，連接，

由，得：

就是二面角的平面角，

                               …………………………2分

在中，

                                           …………………………4 分                                                                                                                                                                     

（Ⅱ）由，

                            …………………………6分

，                          

又

平面．                              　 …………………………8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面

平面

∴平面平面     　　　　　　　　　　　　　…………………………10分

平面平面，

作交于，則平面，

就是與平面所成的角，         　　　　…………………………12分

．                       …………………………14分

方法二：設點到平面的距離為，

∵                                　　　　　　　…………………10分

                                    　　　　　　……………………12分

于是與平面所成角的正弦為

．                             　　　　　………………………14分

方法三：以所在直線分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標系，則

．  ………10分

設平面的法向量為n，則

n， n，

取，則n，       ----------12分

于是與平面所成角的正弦即

．   ……………14分

19．(本題滿分14分)

已知是以點為圓心的圓上的動點，定點.點在上，點在上，且滿足．動點的軌跡為曲線.

    （Ⅰ）求曲線的方程；

(Ⅱ)線段是曲線的長為的動弦，為坐標原點，求面積的取值范圍.

解：（Ⅰ）

∴為的垂直平分線，∴,

又    ………………………………3分

∴動點的軌跡是以點為焦點的長軸為的橢圓.

∴軌跡E的方程為………………………………………………………5分

(Ⅱ) 解法一∵線段的長等于橢圓短軸的長，要使三點能構成三角形，則弦不能與軸垂直，故可設直線的方程為，

由，消去，并整理，得

設，，則

，  …………………………………………8分

，

，               ………………………………………………………11分

.　　　　　　　　　　　　　　　………………………………………………12分

又點到直線的距離，

　………………………………………………13分

，

.          　　　　　　　…………………………………………14分

解法二：∵線段的長等于橢圓短軸的長，要使三點能構成三角形，則弦不能與軸垂直，故可設直線的方程為，

由，消去，并整理，得

設，，則

，  …………………………………………8分

，

                 ………………………………………………………11分

又點到直線的距離，

設，則

，

.          ……………………………………………………14分

（注：上述兩種解法用均值不等式求解可參照此標準給分）

20．(本題滿分14分)

已知數列滿足：，且（）．

（Ⅰ）求證：數列為等差數列；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）求下表中前行所有數的和．

解：（Ⅰ）由條件，，得

           ……………………………………2分

∴ 數列為等差數列．                   ……………………………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得     ……………………………………4分

∴     ……………………………………7分

∴                               …………………………………… 8分

（Ⅲ）   ()  ………………………10分

∴  第行各數之和

       （）……………………12分     

∴ 表中前行所有數的和

.                          ……………………14分

21. (本題滿分14分)

已知函數(常數.

(Ⅰ) 當時，求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ)討論函數在區(qū)間上零點的個數（為自然對數的底數）.

解：(Ⅰ)當 時，

.                                   …………………………1分

.             

又，                         

∴曲線在點處的切線方程為.

即.                                     ……………………………3分

(Ⅱ)（1）下面先證明：．

設　，則

，

且僅當，

所以，在上是增函數，故

．

所以，，即．　　　　　　　　　……………………………5分

（2）因為，所以

 .          

因為當時，，當時，.

又，

所以在上是減函數，在上是增函數.

所以，        　　　　　　…………………………9分

（3）下面討論函數的零點情況．

①當，即時，函數在上無零點；　

②)當，即時，，則

而，

∴在上有一個零點；  

③當，即時， ,

由于，，

，

所以，函數在上有兩個零點.　　　　……………………………………13分

綜上所述，在上，我們有結論：當時，函數無零點；當時，函數有一個零點；當時，函數有兩個零點.            ………………………………14分

解法二：(Ⅱ)依題意，可知函數的定義域為，

 .           ………………………………………5分

∴當時，，當時，.

在上是減函數，在上是增函數.

         ………………………………………6分

設（，常數.

∴當時，

且僅當時，

在上是增函數.

∴當時，，

∴當時，

取，得由此得.        ………………………………9分

取得由此得

. 　     …………………………10分

(1)當，即時，函數無零點；　  ………………………11分

(2)當，即時，，則

而，

∴函數有一個零點；                         ………………………………12分

(3)當，即時， .

而，

∴函數有兩個零點.                    ………………………………………13分

綜上所述，當時，函數無零點，當時，函數有一個零點，當時，函數有兩個零點.                             ………………14分

　　　　　　　　　　　　命題人：李志敏、胡遠東、張松柏　　　審題人：石永生