2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測

專題1  函數(shù)

考點一：函數(shù)的性質(zhì)與圖象

1.       已知，函數(shù)。設(shè)，記曲線在點處的切線為。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m  

(Ⅰ)求的方程；

(Ⅱ)設(shè)與軸交點為。證明：

① ；

② 若，則

(Ⅰ)分析：欲求切線的方程，則須求出它的斜率，根據(jù)切線斜率的幾何意義便不難發(fā)現(xiàn)，問題歸結(jié)為求曲線在點的一階導(dǎo)數(shù)值。

解：求的導(dǎo)數(shù)：，由此得切線的方程：

。

(Ⅱ)分析：①要求的變化范圍，則須找到使產(chǎn)生變化的原因，顯然，變化的根本原因可歸結(jié)為的變化，因此，找到與的等量關(guān)系式，就成；② 欲比較與的大小關(guān)系，判斷它們的差的符號即可。

證：依題意，切線方程中令y＝0，

.

①                   由

.

②

。

點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的方法，考查不等式的基本性質(zhì)，以及分析和解決問題的能力。

考點二：二次函數(shù)

2.       已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個實數(shù)根為和.

(1)如果，設(shè)函數(shù)的對稱軸為，求證：；

(2)如果，，求的取值范圍.

分析：條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉(zhuǎn)化.

解：設(shè)，則的二根為和.

(1)由及，可得  ，即，即

兩式相加得，所以，;

(2)由， 可得  .

又，所以同號.

∴ ，等價于或，

即   或

解之得  或.

點評：在處理一元二次方程根的問題時，考察該方程所對應(yīng)的二次函數(shù)圖像特征的充要條件是解決問題的關(guān)鍵。

考點三：抽象函數(shù)

3.       A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意，都有 ； ②存在常數(shù)，使得對任意的，都有

(Ⅰ)設(shè)，證明：

(Ⅱ)設(shè)，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的;

(Ⅲ)設(shè)，任取，令證明:給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，成立不等式

解：對任意，，，，所以

對任意的，

，

，

所以0＜，

令＝，，

所以

反證法:設(shè)存在兩個使得，則

由，得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。

，所以

＋…

點評：本題以高等數(shù)學(xué)知識為背景，與初等數(shù)學(xué)知識巧妙結(jié)合，考查了函數(shù)及其性質(zhì)、不等式性質(zhì)，考查了特殊與一般、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。

考點四：函數(shù)的綜合應(yīng)用

4.       設(shè)函數(shù)．

(Ⅰ)求的最小值；

(Ⅱ)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

解：(Ⅰ)，

當(dāng)時，取最小值，

即．

(Ⅱ)令，

由得，(不合題意，舍去)．

當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

(0，1)

(1，2)

遞增

極大值

遞減

在內(nèi)有最大值．

在內(nèi)恒成立等價于在內(nèi)恒成立，

即等價于，

所以的取值范圍為．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題解決問題的能力．

5.       乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／時，已知汽車每小時的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v(千米／時)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元.

 ① 把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米／時)的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域；

 ② 為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？    

分析：幾個變量(運(yùn)輸成本、速度、固定部分)有相互的關(guān)聯(lián)，抽象出其中的函數(shù)關(guān)系，并求函數(shù)的最小值.

解：(讀題)由主要關(guān)系：運(yùn)輸總成本＝每小時運(yùn)輸成本×?xí)r間，

(建模)有y＝(a＋bv)

(解題)所以全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米／時)的函數(shù)關(guān)系式是：

y＝S(＋bv)，其中函數(shù)的定義域是v∈(0，c] .

整理函數(shù)有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，

由函數(shù)y＝x＋ (k＞0)的單調(diào)性而得：

當(dāng)＜c時，則v＝時，y取最小值；

當(dāng)≥c時，則v＝c時，y取最小值.

綜上所述，為使全程成本y最小，當(dāng)＜c時，行駛速度應(yīng)為v＝；當(dāng)≥c時，行駛速度應(yīng)為v＝c.

點評：1.對于實際應(yīng)用問題，可以通過建立目標(biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用解(證)不等式的方法求出函數(shù)的最大值或最小值，其中要特別注意蘊(yùn)涵的制約關(guān)系，如本題中速度v的范圍，一旦忽視，將出現(xiàn)解答不完整.此種應(yīng)用問題既屬于函數(shù)模型，也可屬于不等式模型.

6.       設(shè)函數(shù).

(1)在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖像；

(2)設(shè)集合. 試判斷集合和之間的關(guān)系，并給出證明；

(3)當(dāng)時，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.

解：(1)

    (2)方程的解分別是和，由于在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，因此

.

    由于. 

  (3)[解法一] 當(dāng)時，.

               ，

       . 又，

       ①  當(dāng)，即時，取，

       .

       ，

       則. 

       ②  當(dāng)，即時，取，    ＝.

    由 ①、②可知，當(dāng)時，，.

    因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.

    [解法二] 當(dāng)時，.

由 得，

    令 ，解得 或，

在區(qū)間上，當(dāng)時，的圖像與函數(shù)的圖像只交于一點； 當(dāng)時，的圖像與函數(shù)的圖像沒有交點.

如圖可知，由于直線過點，當(dāng)時，直線是由直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方. 

7.       設(shè)f(x)＝3ax，f(0)＞0，f(1)＞0，求證：

(Ⅰ)a＞0且－2＜＜－1；

(Ⅱ)方程f(x)＝0在(0，1)內(nèi)有兩個實根.

(I)證明：因為，所以.

由條件，消去，得；

由條件，消去，得，.

故.

(II)拋物線的頂點坐標(biāo)為，

在的兩邊乘以，得.

又因為而

所以方程在區(qū)間與內(nèi)分別有一實根。

故方程在內(nèi)有兩個實根.

8.       已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)。

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；

解：(Ⅰ)因為是奇函數(shù)，所以＝0，即

          又由f(1)＝ －f(－1)知

     (Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知，易知在上

為減函數(shù)。又因是奇函數(shù)，從而不等式：  

等價于，因為減函數(shù)，由上式推得：

．即對一切有：，

從而判別式

解法二：由(Ⅰ)知．又由題設(shè)條件得：　　　　　　　　　，

　　即　：，

整理得　

上式對一切均成立，從而判別式

9.       設(shè)函數(shù)f(x)＝其中a為實數(shù).

(Ⅰ)若f(x)的定義域為R，求a的取值范圍;

(Ⅱ)當(dāng)f(x)的定義域為R時，求f(x)的單減區(qū)間.

解：(Ⅰ)的定義域為，恒成立，，

，即當(dāng)時的定義域為．

(Ⅱ)，令，得．

由，得或，又，

時，由得；

當(dāng)時，；當(dāng)時，由得，

即當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為．

10.    已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．

(I)用表示，并求的最大值；

(II)求證：()．

解：(Ⅰ)設(shè)與在公共點處的切線相同．

，，由題意，．

即由得：，或(舍去)．

即有．

令，則．于是

當(dāng)，即時，；

當(dāng)，即時，．

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

于是在的最大值為．

(Ⅱ)設(shè)，

則．

故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

于是函數(shù)在上的最小值是．

故當(dāng)時，有，即當(dāng)時，．