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高三高考數(shù)學知識復習疑點問答

1. 什么是數(shù)學方法 ? 中學數(shù)學有哪些常用的基本數(shù)學方法 ?
　答：所謂方法，是指人們?yōu)榱诉_到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式．人們通過長期的實踐，發(fā)現(xiàn)了許多運用數(shù)學思想的手段、門路或程序．同一手段、門路或程序被重復運用了多次，并且都達到了預期的目的，就成為數(shù)學方法．數(shù)學方法是以數(shù)學的工具進行科學研究的方法，即用數(shù)學語言表達事物的狀態(tài)、關系和過程，經(jīng)過推導、運算與分析，以形成解釋、判斷和預言的方法．
　　數(shù)學方法具有以下三個基本特征：一是高度的抽象性和概括性，二是邏輯的嚴密性及結論的確定性，三是應用的普遍性和可操作性．
　　數(shù)學方法在科學技術研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡潔確定的形式化語言，二是提供數(shù)量分析及計算的方法，三是提供邏輯推理的工具．現(xiàn)代科學技術特別是電子計算機的發(fā)展，與數(shù)學方法的地位和作用的強化正好是相輔相成．
　　在中學數(shù)學中經(jīng)常用到的基本數(shù)學方法，大致可以分為以下三類：
　　（ 1 ）邏輯學中的方法．例如分析法（包括逆證法）、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法（要求分類討論）等．這些方法既要遵重邏輯學中的基本規(guī)律和法則，又因為運用于數(shù)學之中而具有數(shù)學的特色．
　　（ 2 ）數(shù)學中的一般方法．例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法（也稱坐標法，在代數(shù)中常稱圖象法，在學生今后要學習的解析幾何中常稱坐標法）、比較法（數(shù)學中主要是指比較大小，這與邏輯學中的多方位比較不同）等．這些方法極為重要，應用也很廣泛．
　　（ 3 ）數(shù)學中的特殊方法．例如配方法、待定系數(shù)法、加減法、公式法、換元法（也稱之為中間變量法）、拆項補項法（含有添加輔助元素實現(xiàn)化歸的數(shù)學思想）、因式分解諸方法，以及平行移動法、翻折法等．這些方法在解決某些數(shù)學問題時也起著重要作用，對于某一類問題也都是一種通法．
2. 解不等式時，常用的等價轉化有哪些情況 ?
?? 答：設ｙ 1 和ｙ 2 都是ｘ的函數(shù)，那么下列各不等式等價：
?? （ 1 ） │ ｙ 1 │≤ ｙ 2 （ｙ 2 ≥0 ）－ｙ 2 ≤ ｙ 1 ≤ ｙ 2 ，
?? │ ｙ 1 │ ＞ｙ 2 （ｙ 2 ≥0 ）ｙ 1 ＜－ｙ 2 或ｙ 1 ＞ｙ 2 ；
?? （ 2 ） │ ｙ 1 │≤ ｃ（ｃ ≥0 ）ｙ 1 2 ≤ ｃ 2 ，
?? │ ｙ 1 │ ＞ｃ（ｃ ≥0 ）ｙ 1 2 ＞ｃ 2 ；
?? （ 3 ）ｙ 1 ? ｙ 2 ≥0 ｙ 1 ≥0 且ｙ 2 ≥0 ，或ｙ 1 ≤0 且ｙ 2 ≤0 ，
?? ｙ 1 ? ｙ 2 ＜ 0 ｙ 1 ＞ 0 且ｙ 2 ＜ 0 ，或ｙ 1 ＜ 0 且ｙ 2 ＞ 0 ；
?? （ 4 ）ｙ 1 ／ｙ 2 ＞ 0 （ｙ 2 ≠0 ）ｙ 1 ? ｙ 2 ＞ 0 ，
?? ｙ 1 ／ｙ 2 ＜ 0 （ｙ 2 ≠0 ）ｙ 1 ? ｙ 2 ＜ 0 ．
3 ．怎樣正確理解邏輯聯(lián)結詞 “ 或 ” 的意義？
　　答： “ 或 ” 這個邏輯聯(lián)結詞的用法，一般有兩種解釋：一是 “ 不可兼有 ” ，即 “ ａ或ｂ ” 是指ａ，ｂ中的某一個，但不是兩者．日常生活中有時采用這一解釋．例如 “ 你去或我去 ” ，人們在理解上不會認為有你我都去這種可能．另一是 “ 可兼有 ” ，即 “ ａ或ｂ ” 是指ａ，ｂ中的任何一個或兩者．例如 “ ｘ ∈ Ａ或ｘ ∈ Ｂ ” ，是指ｘ可能屬于Ａ但不屬于Ｂ（ “ 但 ” 在這里實際上等價于另一邏輯聯(lián)結詞 “ 且 ” ），ｘ也可能不屬于Ａ但屬于Ｂ，ｘ還可能既屬于Ａ又屬于Ｂ（即ｘ ∈ Ａ ∩ Ｂ）．又如在 “ ｐ真或ｑ真 ” 中，可能只有ｐ真，也可能只有ｑ真，還可能ｐ，ｑ都為真．數(shù)學書籍中一般采用后一種解釋，運用數(shù)學語言和解數(shù)學選擇題時，都要遵守這一點，還要注意 “ 可兼有 ” 并不意味 “ 一定兼有 ” ．
4 ． “ ｐ或ｑ ”“ ｐ且ｑ ”“ 非ｐ ” 這三個復合命題概念后，怎樣進行真假概括？
　　答：（ 1 ）對于復合命題 “ ｐ或ｑ ” ，當且僅當ｐ，ｑ中至少有一個為真（包括兩個同時為真）時，它是真命題；當且僅當ｐ，ｑ都為假時，它是假命題
　　（ 2 ）對于復合命題 “ ｐ且ｑ ” ，當且僅當ｐ，ｑ都為真時，它是真命題；當且僅當ｐ，ｑ中至少有一個為假（包括兩個同時為假）時，它是假命題．
　　（ 3 ）對于復合命題 “ 非ｐ ” ，當且僅當ｐ為真時，它是假命題；當且僅當ｐ為假時，它是真命題．
　　以上也可以利用真值表示進行概括．
　　可以看出，要使學生正確理解上述概念，還要讓他們熟練掌握并會靈活運用 “ 至少 ”“ 最多 ”“ 同時 ” ，以及 “ 至少有一個是（不是） ”“ 最多有一個是（不是） ”“ 都是（不是） ”“ 不都是 ” 這些詞語．這也是學習數(shù)學的難點之一，需要長期不懈地進行訓練，才能達到要求．
5 ．怎樣理解四種命題？怎樣利用反證法來理解四種命題的關系？
　　答：學生在初中未學過否命題和逆否命題．可以舉例來說．
　　命題甲：如果 ∠1 、 ∠2 是對頂角，那么 ∠1 ＝ ∠2 ．
　　命題乙：如果 ∠1 ＝ ∠2 ，那么 ∠1 、 ∠2 是對頂角．
　　命題丙：如果 ∠1 、 ∠2 不是對頂角，那么 ∠1≠∠2 ．
　　命題�。喝绻� ∠1≠∠2 ，那么 ∠1 、 ∠2 不是對頂角．
　　這里命題甲、乙互為逆命題；命題丙是把命題甲的條件、結論都加以否定后得到的，所以我們把命題丙叫做命題甲的否命題（注意讓學生把 “ 否命題 ” 一詞與剛學過的邏輯聯(lián)結詞 “ 非 ” 的使用區(qū)別開來， “ 非 ” 通常只否定結論），并且命題甲、丙互為否命題；命題丁是把命題乙的條件、結論都加以否定后得到的，所以命題乙、丁互為否命題，我們把命題丁叫做命題甲的逆否命題．學生經(jīng)過仔細分析，可以看出：命題丁也可以通過把命題丙的條件、結論顛倒過來而得到，所以命題丙、丁互為逆命題，我們也可以把命題丁叫做命題甲的否逆命題．命題甲的逆否命題和否逆命題相同，我們一般只用 “ 逆否命題 ” 一詞．
　　利用反證法，很容易證明：在四種命題中，原命題與逆否命題同時成立或同時不成立，逆命題與否命題同時成立或同時不成立（可以讓學生就上面的例子試一試）．
　　以上就是所謂 “ 四種命題的關系 ” ．
6 ．怎樣用推出符號對 “ 充分且不必要條件 ”“ 必要且不充分條件 ” 和 “ 充要條件 ” 進行概括？
　　答：（ 1 ）若ｐｑ，且 mat0008007103003.gif (73 bytes) ｐ，則ｐ是ｑ的充分且不必要條件，ｑ是ｐ的必要且不充分條件；　　　（ 2 ）若ｑｐ，且ｐｑ，則ｐ是ｑ的必要且不充分條件，ｑ是ｐ的充分且不必要條件；
　　（ 3 ）若ｐｑ，且ｑｐ，則ｐ是ｑ的充要條件（此時ｑ也是ｐ的充要條件）；
　　（ 4 ）若ｐｑ，且 ┐ ｐｑ　 ┐ ，則ｐ是ｑ的充要條件（此時ｑ也是ｐ的充要條件）． ?
7 ．怎樣讓正確判斷 “ 充分且不必要條件 ”“ 必要且不充分條件 ”“ 充要條件 ” 以及 “ 不充分且不必要條件 ” ？
　　答：這四種情況反映了條件ｐ和結論ｑ之間的因果關系，所以在判斷時應該讓學生：
　　（ 1 ）確定條件是什么，結論是什么；
　　（ 2 ）嘗試從條件推導結論，從結論推導條件；
　　（ 3 ）確定條件是結論的什么條件．
　　要證明命題的條件是充要的，就既要證明原命題成立，又要證明它的逆命題成立．證明原命題成立即證明條件的充分性，證明逆命題成立即證明條件的必要性．
8 ．如何利用已知函數(shù)的單調(diào)性來判定較復雜函數(shù)的單調(diào)性？
? 答：如果函數(shù)ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）在區(qū)間Ｂ上具有單調(diào)性，那么在Ｂ上：
? （ 1 ）ｆ（ｘ）與ｆ（ｘ）＋ｃ（ｃ為常數(shù)）具有相反的單調(diào)性．
? （ 2 ）ｆ（ｘ）與ｃ ? ｆ（ｘ）當ｃ＞ 0 時具有相同的單調(diào)性，當ｃ＜ 0 時具有相反的單調(diào)性．
? （ 3 ）當ｆ（ｘ）恒不為 0 時，ｆ（ｘ）與 1 ／ｆ（ｘ）具有相反的單調(diào)性．
? （ 4 ）當ｆ（ｘ）恒為非負時，ｆ（ｘ）與ｆ（ｘ）具有相反的單調(diào)性．
? （ 5 ）當ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是增（減）函數(shù)時，ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）也是增（減）函數(shù)．
? （ 6 ）設ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是增（減）函數(shù)，則ｆ（ｘ） ? ｇ（ｘ）當ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）兩者都恒大于 0 時也是增（減）函數(shù)，當兩者都恒小于 0 時是減（增）函數(shù)．
9 ．什么叫做函數(shù)的奇偶性？
? 答：一般地，設有函數(shù)ｆ（ｘ），對于其定義域內(nèi)的任意一個ｘ值，如果都有ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），那么稱ｆ（ｘ）是奇函數(shù)；如果都有ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），那么稱ｆ（ｘ）是偶函數(shù)．
? 如果函數(shù)ｆ（ｘ）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么稱ｆ（ｘ）具有奇偶性．
? 函數(shù)的奇偶性也是函數(shù)的整體性質(zhì)之一．這里指出以下幾點．
? （ 1 ）函數(shù)的奇偶性是針對函數(shù)的定義域講的．由于任意的ｘ與－ｘ都要在定義域內(nèi)，所以奇（偶）函數(shù)的定義域關于原點對稱．我們在判定函數(shù)是否具有奇偶性時，應先確定其定義域關于原點是否對稱．不對稱就沒有奇偶性（定義域?qū)ΨQ，才能使函數(shù)圖象關于原點或ｙ軸對稱）．
? （ 2 ）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)，一定有解析式ｙ＝ｆ（ｘ）＝ 0 ，但它的定義域可以各色各樣（必須關于原點對稱），所以不是惟一的．解析式不為ｆ（ｘ）＝ 0 的函數(shù)，不可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
? （ 3 ）奇（偶）函數(shù)還具有以下性質(zhì)：
?―― 兩個奇（偶）函數(shù)的和（差）也是奇（偶）函數(shù)．
?―― 兩個函數(shù)的積（商，分母恒不為 0 ），當其奇偶性相同時為偶函數(shù)，當其奇偶性相反時為奇函數(shù)．
?―― 奇（偶）函數(shù)在其定義域內(nèi)關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同（反）．
?―― 偶函數(shù)一般不存在反函數(shù)；如果一個奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)也是奇函數(shù)．
? （ 4 ）構造奇（偶）函數(shù)的簡單方法：設ｆ（ｘ）是定義域關于原點對稱的函數(shù)，則
　　Ｆ 1 （ｘ）＝（ 1 ／ 2 ）（ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ））
是偶函數(shù)，而
? Ｆ 2 （ｘ）＝（ 1 ／ 2 ）（ｆ（ｘ）－ｆ（－ｘ））
是奇函數(shù)．顯然，Ｆ 1 （ｘ）＋Ｆ 2 （ｘ）＝ｆ（ｘ），所以這樣的ｆ（ｘ）總可以表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和．
10. 函數(shù)的一些重要性質(zhì) , 如何區(qū)別 ?

①如果函數(shù) 對于一切，都有，那么函數(shù) 的圖象關于直線對稱 .

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