例1（05安徽省六安市）已知關(guān)的一元二次方程 有實數(shù)根．

（1）求的取值范圍

（2）若兩實數(shù)根分別為和，且求的值．

分析與解答  本題目主要綜合考查一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用以及代數(shù)式的恒等變形等．

例2（05北京市）已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根和，并且拋物線與軸的兩個交點分別位于點（2，0）的兩旁．

（1）       求實數(shù)的取值范圍．

（2）       當時，求的值．

分析與解答  本例以一元二次方程為背影，綜合考查一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、分式方程的解法以及二次函數(shù)的有性質(zhì)等．

例3（05重慶市） 如圖2－4－18，，O是AB上的一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D．若AD＝，且AB、AE的長是關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根．

（1）求⊙O的半徑．（2）求CD的長．

分析與解答  本題是一道方程與幾何相結(jié)合的造型題，綜合考查了切割線定理、根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解法、勾股定理知識．

例4．（2007四川綿陽）已知x₁，x₂ 是關(guān)于x的方程（x－2）（x－m）＝（p－2）（p－m）的兩個實數(shù)根．

（1）求x₁，x₂ 的值；

（2）若x₁，x₂ 是某直角三角形的兩直角邊的長，問當實數(shù)m，p滿足什么條件時，此直角三角形的面積最大？并求出其最大值．

分析與解答  本題考察一元二次方程知識．

例5（07茂名市）已知函數(shù)的圖象與軸的兩交點的橫坐標分別是，且，求c及，的值．

分析與解答  本題考察一元二次方程韋達定理．

例6（07天津市） 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且滿足，．

（1）試證明；

（2）證明；

（3）對于二次函數(shù)，若自變量取值為，其對應(yīng)的函數(shù)值為，則當時，試比較與的大�。�

分析與解答  本題考察一元二次方程知識．

例7（05吉林�。� 如圖2－4－21，二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點，其中A點坐標為（－1，0），點C（0，5）、D（1，8）在拋物線上，M為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式．

（2）求△MCB的面積．

分析與解答  第（1）問，已知拋物線上三個點的坐標，利用待定系數(shù)法可求出其解析式．第（2）問，△MCB不是一個特殊三角形，我們可利用面積分割的方法轉(zhuǎn)化成特殊的面積求解．

說明：以面積為紐帶，以函數(shù)圖象為背景，結(jié)合常見的平面幾何圖形而產(chǎn)生的函數(shù)圖象與圖形面積相結(jié)合型綜合題是中考命題的熱點．解決這類問題的關(guān)鍵是把相關(guān)線段的長與恰當?shù)狞c的坐標聯(lián)系起來，必要時要會靈活將待求圖形的面積進行分割，轉(zhuǎn)化為特殊幾何圖形的面積求解．

例8（05湖南省婁底市）已知拋物線與軸交于、，與軸交于點C，且、滿足條件

（1）求拋物線的解析式；

（2）能否找到直線與拋物線交于P、Q兩點，使軸恰好平分△CPQ的面積？求出、所滿足的條件．     

分析與解答   本題是一道方程與函數(shù)、幾何相結(jié)合的綜合題，這類題主要是以函數(shù)為主線．解題時要注意運用數(shù)形結(jié)合思想，將圖象信息與方程的代信息相互轉(zhuǎn)化．例如：二次函數(shù)與軸有交點．可轉(zhuǎn)化為一元二次旗號有實數(shù)根，并且其交點的橫坐標就是相應(yīng)一元二次方程的解．點在函數(shù)圖象上，點的坐標就滿足該函數(shù)解析式等．

例9（05桂林市） 已知：如圖2－4－23，拋物線經(jīng)過原點（0，0）和A（－1，5）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）設(shè)拋物線與軸的另一個交點為C．以O(shè)C為直徑作⊙M，如果過拋物線上一點P作⊙M的切線PD，切點為D，且與軸的正半軸交于點為E，連結(jié)MD．已知點E的坐標為（0，），求四邊形EOMD的面積．（用含的代數(shù)式表示）

（3）延長DM交⊙M于點N，連結(jié)ON、OD，當點P在（2）的條件下運動到什么位置時，能使得？請求出此時點P的坐標．

例10（07上海市）如圖9，在直角坐標平面內(nèi)，函數(shù)（，是常數(shù)）的圖象經(jīng)過，，其中．過點作軸垂線，垂足為，過點作軸垂線，垂足為，連結(jié)，，．

（1）若的面積為4，求點的坐標；

（2）求證：；

（3）當時，求直線的函數(shù)解析式．

例11（07資陽）如圖10，已知拋物線P：y＝ax²＋bx＋c(a≠0) 與x軸交于A、B兩點(點A在x軸的正半軸上)，與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點的橫坐標對應(yīng)的縱坐標如下：

x

…

－3

－2

1

2

…

y

…

－

－4

－

0

…

（1） 求A、B、C三點的坐標；

（2） 若點D的坐標為(m，0)，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系，并指出m的取值范圍；

（3） 當矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點M，使FM＝k?DF，若點M不在拋物線P上，求k的取值范圍．

若因為時間不夠等方面的原因，經(jīng)過探索、思考仍無法圓滿解答本題，請不要輕易放棄，試試將上述（2）、（3）小題換為下列問題解答(已知條件及第（1）小題與上相同，完全正確解答只能得到5分)：

（2） 若點D的坐標為(1，0)，求矩形DEFG的面積．

例12（07北京市）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．

（1）請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；

（2）如圖，在中，點分別在上，

設(shè)相交于點，若，．

請你寫出圖中一個與相等的角，并猜想圖中哪個四邊形

是等對邊四邊形；

（3）在中，如果是不等于的銳角，點分別在上，且．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論．

例13（07寧波市）四邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點．如圖l，點P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD＝PB，PA≠PC，則點P為四邊形ABCD的準等距點．

（1）如圖2，畫出菱形ABCD的一個準等距點．

（2）如圖3，作出四邊形ABCD的一個準等距點(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)．

（3）如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF＝∠CBE，CE＝CF．求證：點P是四邊形AB CD的準等距點．

（4）試研究四邊形的準等距點個數(shù)的情況(說出相應(yīng)四邊形的特征及準等距點的個數(shù)，不必證明)．

例14(07南充市) 如圖，點M（4，0），以點M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點A、B．已知拋物線過點A和B，與y軸交于點C．
（1）求點C的坐標，并畫出拋物線的大致圖象．
（2）點Q（8，m）在拋物線上，點P為此拋物線對稱軸上一個動點，求PQ＋PB的最小值．
（3）CE是過點C的⊙M的切線，點E是切點，求OE所在直線的解析式．

例15(07宿遷市) 如圖，圓在正方形的內(nèi)部沿著正方形的四條邊運動一周，并且始終保持與正方形的邊相切．

 （1）在圖中，把圓運動一周覆蓋正方形的區(qū)域用陰影表示出來；

（2）當圓的直徑等于正方形的邊長一半時，該圓運動一周覆蓋正方形的區(qū)域的面積是否最大？并說明理由．

例16（05湖北省荊門市）已知關(guān)于的方程的兩根是一矩形兩鄰邊的長．

（1）取何值時，方程有兩個實數(shù)根？

（2）當矩形的對角線長為時，求的值．

例17（04四川省）已知關(guān)于的方程的兩個不相等的實數(shù)根中有一個根為0，是否存在實數(shù)，使關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根、之差的絕對值為1？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由

例18（04黑龍江�。┮阎�方程組有兩個不相等的實數(shù)解．

（1）求有取值范圍．

（2）若方程組的兩個實數(shù)解為和是否存在實數(shù)，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

例19（04重慶市萬州區(qū)）如圖2－4－19，以△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O與斜邊AC交于點D，E是BC邊的中點，連結(jié)DE．

（1）DE與半圓O相切嗎？若不相切，請說明理由．

（2）若AD、AB的長是方程的個根，求直角邊BC的長．

例20（06浙江舟山）如圖1，在直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以O(shè)A為邊在第四象限內(nèi)作等邊△AOB，點C為x軸的正半軸上一動點（OC＞1），連結(jié)BC，以BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，直線DA交y軸于點E．

（1）試問△OBC與△ABD全等嗎？并證明你的結(jié)論．

（2）隨著點C位置的變化，點E的位置是否會發(fā)生變化，若沒有變化，求出點E的坐標；若有變化，請說明理由．

（3）如圖2，以O(shè)C為直徑作圓，與直線DE分別交于點F、G，設(shè)AC＝m，AF＝n，用含n的代數(shù)式表示m．

例21（06浙江金華）如圖，平面直角坐標系中，直線AB與軸，軸分別交于A(3，0)，B(0，)兩點， ，點C為線段AB上的一動點，過點C作CD⊥軸于點D．

（1）求直線AB的解析式；

（2）若S_梯形OBCD＝，求點C的坐標；

（3）在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得以P，O，B為頂點的

三角形與△OBA相似.若存在，請求出所有符合條件

的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

例22（06湖南常德）如圖，在直角坐標系中，以點為圓心，以為半徑的圓與軸相交于點，與軸相交于點．

（1）若拋物線經(jīng)過兩點，求拋物線的解析式，并判斷點是否在該拋物線上．

（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上求一點，使得的周長最�。�

（3）設(shè)為（1）中的拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點，使得四邊形是平行四邊形．若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

例23（06湖南常德）把兩塊全等的直角三角形和疊放在一起，使三角板的銳角頂點與三角板的斜邊中點重合，其中，，，把三角板固定不動，讓三角板繞點旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線與射線相交于點，射線與線段相交于點．

（1）如圖9，當射線經(jīng)過點，即點與點重合時，易證．此時，____________．

（2）將三角板由圖1所示的位置繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其中

，問的值是否改變？說明你的理由．

（3）在（2）的條件下，設(shè)，兩塊三角板重疊面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式．

例24（07安徽�。┌从覉D所示的流程，輸入一個數(shù)據(jù)x，根據(jù)y與x的關(guān)系式就輸出一個數(shù)據(jù)y，這樣可以將一組數(shù)據(jù)變換成另一組新的數(shù)據(jù)，要使任意一組都在20～100（含20和100）之間的數(shù)據(jù)，變換成一組新數(shù)據(jù)后能滿足下列兩個要求：

（Ⅰ）新數(shù)據(jù)都在60～100（含60和100）之間；

（Ⅱ）新數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系與原數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系一致，即原數(shù)據(jù)大的對應(yīng)的新數(shù)據(jù)也較大．

（1）若y與x的關(guān)系是y＝x＋p(100－x)，請說明：當p＝時，這種變換滿足上述兩個要求；

（2）若按關(guān)系式y(tǒng)＝a(x－h(huán))²＋k　(a＞0)將數(shù)據(jù)進行變換，請寫出一個滿足上述要求的這種關(guān)系式．（不要求對關(guān)系式符合題意作說明，但要寫出關(guān)系式得出的主要過程）

例25（07郴州市）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將矩形ABCD沿對角線AC平移，平移后的矩形為EFGH（A、E、C、G始終在同一條直線上），當點E與C重合時停止移動．平移中EF與BC交于點N，GH與BC的延長線交于點M，EH與DC交于點P，F(xiàn)G與DC的延長線交于點Q．設(shè)S表示矩形PCMH的面積，表示矩形NFQC的面積．

（1） S與相等嗎？請說明理由．

（2）設(shè)AE＝x，寫出S和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x取何值時S有最大值，最大值是多少？

（3）如圖11，連結(jié)BE，當AE為何值時，是等腰三角形．

例26（07德州市）已知：如圖14，在中，為邊上一點，，，．

（1）試說明：和都是等腰三角形；

（2）若，求的值；

（3）請你構(gòu)造一個等腰梯形，使得該梯形連同它的兩條對角線得到8個等腰三角形．（標明各角的度數(shù)）

例27（07龍巖市）如圖，拋物線經(jīng)過的三個頂點，已知軸，點在軸上，點在軸上，且．

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）寫出三點的坐標并求拋物線的解析式；

（3）探究：若點是拋物線對稱軸上且在軸下方的動點，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點坐標；不存在，請說明理由．

例28（07年福建省寧德市）已知：矩形紙片中，厘米，厘米，點在上，且厘米，點是邊上一動點．按如下操作：

步驟一，折疊紙片，使點與點重合，展開紙片得折痕