1.  在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中共有A、B、C三道題，25名參賽者每人至少答對(duì)了一題。在所有沒有答對(duì)A的學(xué)生中，答對(duì)B的人數(shù)是答對(duì)C的人數(shù)的兩倍，只答對(duì)問題A的人數(shù)比既答對(duì)A又至少答對(duì)其他一題的人數(shù)多1。又已知在所有恰好答對(duì)一題的參賽者中，有一半沒有答對(duì)A。請(qǐng)問有多少學(xué)生只答對(duì)B？

2.  三角形ABC，如果，

BC + AC = tan C/2 (BC tan A + AC tan B).

則該三角形為等腰三角形。

3.  求證：從正四面體的內(nèi)切圓圓心到各頂點(diǎn)距離之和小于從空間中任意其他點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離之和。

4.  對(duì)任何自然數(shù) n以及滿足 sin 2ⁿx 不為 0 的實(shí)數(shù)x，求證：

1/sin 2x + 1/sin 4x + ... + 1/sin 2ⁿx = cot x - cot 2ⁿx.

5.   a_i （i=1,2,3,4）是互不相同的實(shí)數(shù)，解方程組（i=1,2,3,4）

|a_i - a₁| x₁ + |a_i - a₂| x₂ + |a_i - a₃| x₃ + |a_i - a₄| x₄ = 1。

6.  在三角形ABC的邊BC、CA、AB上分別任選三內(nèi)點(diǎn)K、L、M，求證三角形AML、BKM、CLK之中至少有一個(gè)的面積小于活等于三角形ABC的四分之一。