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練習(xí)冊

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試題

天水市一中2008-2009學(xué)年度第二學(xué)期2006級

理科數(shù)學(xué)試題

本試卷分為第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共10頁，試卷滿分300分．

做題時間為150分鐘�？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

注意事項(xiàng)：

1．答題前，考生必須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2．選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀。

第Ⅰ卷（選擇題共60分）

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么球的表面積公式

P(A+B)=P(A)+P(B) _{S= 4}_πR2

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么其中R表示球的半徑

P(A?B)=P(A)?P(B) 球的體積公式

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，

那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率其中R表示球的半徑

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1．設(shè)，且為正實(shí)數(shù)，則（）

A． B． C． D．

2. 函數(shù)y＝8sin4xcos4x的最小正周期是（）

A.2π B.4π C. D.

3．若拋物線y²=x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ( )

A. B. C. D.

4．函數(shù)的圖像可以通過以下哪種變換得到函數(shù)的圖像（）

A．向右平移個單位 B．向左平移個單位

C．向右平移個單位 D．向左平移個單位

5．已知集合、則集合所表示的平面圖形的面積（）

A． B． C． D．

6. 已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是

A． B．

C． D．

7．在平面直角坐標(biāo)系中，A為平面內(nèi)一個動點(diǎn)，B（2，0）。若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則動點(diǎn)A的軌跡是（）

A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓

8．半徑為2的球面上有A，B，C，D四點(diǎn)，且AB，AC，AD兩兩垂直，則三個三角形面積之和的最大值為（）

A．4 B．8 C．16 D．32

9．某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為(　　)

A.14 B.24 C.28 D.48

10．已知函數(shù)，等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，若，，則（）

A． B． C． D．

11．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，為左準(zhǔn)線，，垂足為，若四邊形為平行四邊形，則橢圓的離心率的取值范圍是（）

A．B．) C．) D．

12．函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對于任意x₁，x₂∈D，當(dāng)x₁＜x₂時，都有≤，

則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù)．設(shè)函數(shù)在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：①； ② ③

則等于（）

A． B． C．1 D．

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題５分，共２0分．把答案填在題中橫線上）

13．若，，，…，的方差為3，則，，…，，的方差為．

14．若則在展開式各項(xiàng)系數(shù)中最大值等于。

15．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，且a₄－a₂＝8，a₃＋a₅＝26，記T_n＝，如果存在正整數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n，T_n≤M都成立．則M的最小值是_______．

16．給出下列命題：

①函數(shù)不是周期函數(shù)；

②函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)；

③函數(shù)的最小正周期為；

④函數(shù)的一個對稱中心為

其中正確命題的序號為___________。

三、解答題（本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的解題過程）

17．（本小題共10分）

設(shè)函數(shù)

（I）求函數(shù)的周期；

（II）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，若，求函數(shù)的值域。

18．（本小題共12分）

3名志愿者在5月1號至5月5號期間參加社區(qū)服務(wù)工作.

（I）若每名志愿者在5天中任選一天參加社區(qū)服務(wù)工作，且各志愿者的選擇互不影響，求3名志原者恰好連續(xù)3天參加社區(qū)服務(wù)工作的概率；

（II）若每名志愿者在這5天中任選兩天參加社區(qū)服務(wù)工作，且各志愿者的選擇互不影響，記ξ表示這3名志愿者在5月1號參加社區(qū)服務(wù)工作的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列.

19．（本小題共12分）

如圖，四棱錐P―ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，且AB//CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4.

（I）求證：BC⊥PC；

（II）求PB與平面PAC所成角的正弦值；

（III）求點(diǎn)A到平面PBC的距離

20．（本小題共12分）

已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，為其前項(xiàng)的和，且

（I）分別求，的值；

（II）求數(shù)列的通項(xiàng)；

（III）求證：

21．（本小題共12分）

已知設(shè)的反函數(shù)為．

（I）求的單調(diào)區(qū)間；

（II）若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

22．（本小題共12分）

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，短軸兩個端點(diǎn)為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形.

（I）求橢圓的方程；

（II）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足MD⊥CD，連結(jié)CM，交橢圓于點(diǎn)P，證明：為定值；

（III）在（II）的條件下，試問x軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP，MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．D 8．B 9．A 10．B 11．A 12．

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分

13．27 14．20 15．2 16．①④

三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17．（本小題共10分）

解：（I）

故函數(shù)的周期為 ………………………………………….5分

（II）

又

函數(shù)的值域?yàn)?sub> 6ec8aac122bd4f6e ………………….10_分

18．（本小題共12分）

解：（1）3名志愿者每人任選一天參加社區(qū)服務(wù)，共有5³種不同的結(jié)果，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等. ………………1分

設(shè)“3名志愿者恰好連續(xù)3天參加社區(qū)服務(wù)工作”為事件A，

則該事件共包括種不同的結(jié)果， ………………3分

所以 ………………5分

答：3名志愿者恰好連續(xù)3天參加社區(qū)服務(wù)工作的概率為 ………………6分

（II）解法1：隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3 ………………7分

隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ

0

1

2

3

P

……………………12分

解法2：每名志愿者在5月1日參加社區(qū)服務(wù)的概率均為……7分

則三名志愿者在5月1日參加社區(qū)服務(wù)的人數(shù)

………………11分

隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ

0

1

2

3

P

………………12分

19．（本小題共12分）

方法1

（I）證明：在直角梯形ABCD中，∵AB//CD，∠BAD=90°，AD=DC=2

∴∠ADC=90°，且 ………………1分

取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)CE.

由題意可知，四邊形AECD為正方形，所以AE=CE=2，

又

則△ABC為等腰直角三角形，

所以AC⊥BC，又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，則AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影，BC平面ABCD，

由三垂線定理得，BC⊥PC ……………………4分

（II）由（I）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC=C.

所以BC⊥平面PAC， ……………………4分

PC是PB在平面APC內(nèi)的射影，所以∠CPB是PB與平面PAC所成的角. ……5分

又， ………………6分

………………7分

………………8分

（III）由（II）可知，BC⊥平面PAC，BC平面PEC，

所以平面PBC⊥平面PAC，

過A點(diǎn)在平面PAC內(nèi)作AF⊥PC于E，所以AF⊥平面PBC，

則AF的長即為點(diǎn)A到平面PBC的距離. ………………9分

在直角三角形PAC中，PA=2，AC=， ………………10分

………………11分

所以 ………………12分

方法2：

∵AP⊥平面ABCD，∠BAD=90°

∴以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

∵PA=AD=DC=2，AB=4.

………………2分

（I）

………………3分

………………4分

（II）

設(shè) ………………6分

即PB與平面PAC所成角的正弦值為 ………………8分

（III）由

設(shè) ………………10分

=

∴點(diǎn)A到平面PBC的距離為 ………………12分

20．（本小題共12分）

解：（I）令，得（舍去負(fù)的），

同理，令可得_{................................................4}_分

（II）

_{…………………8}_分

（Ⅲ）令

_{………………..12}_分

21．（本小題共12分）

解：（I）由

當(dāng)時，當(dāng)時，，

的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）….6分

（II）設(shè)

則

當(dāng)時，在上是減函數(shù)；

當(dāng)時，在上是增函數(shù)。

_{………………………………………………………..12}_分

22．（本小題共12分）

解：（I）如圖，由題意得，

∴所求的橢圓方程為 ………………3分

（II）由（I）知， ………………4分

（III）設(shè)

若以MP為直徑的圓恒過DP，MQ的交點(diǎn)，

則恒成立. ………………10分

由（II）可知 ………………10分

∴存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過直線DP，MQ的交點(diǎn). …………12分

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