第9講 不等式（組）與方程（組）的應(yīng)用

 

【例題經(jīng)典】

例1 （2006年內(nèi)江市）內(nèi)江市對(duì)城區(qū)沿江兩岸的部分路段進(jìn)行亮化工程建設(shè)，整個(gè)工程擬由甲、乙兩個(gè)安裝公司共同完成．從兩個(gè)公司的業(yè)務(wù)資料看到：若兩個(gè)公司合做，則恰好用12天完成；若甲、乙合做9天后，由甲再單獨(dú)做5天也恰好完成．如果每天需要支付甲、乙兩公司的工程費(fèi)用分別為1.2萬元和0.7萬元．

 （1）甲、乙兩公司單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天？

 （2）要使整個(gè)工程費(fèi)用不超過22.5萬元，則乙公司最少應(yīng)施工多少天？

 【點(diǎn)評(píng)】（1）利用方程組解決;（2）利用不等式解決，結(jié)合實(shí)際取值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例2  （2005年濰坊市）為了加強(qiáng)學(xué)生的交通安全意識(shí)，某中學(xué)和交警大隊(duì)聯(lián)合舉行了“我當(dāng)一日小交警”活動(dòng)，星期天選派部分學(xué)生到交通路口值勤，協(xié)助交通警察維持交通秩序．若每一個(gè)路口安排4人，那么還剩下78人；若每個(gè)路口安排8人，那么最后一個(gè)路口不足8人，但不少于4人．求這個(gè)中學(xué)共選派值勤學(xué)生多少人？共在多少個(gè)交通路口安排值勤？

    【分析】本題與學(xué)生生活實(shí)際聯(lián)系緊密，是一道很好的列不等式組應(yīng)用題，解決本題應(yīng)注意路口人數(shù)與總?cè)藬?shù)之間的關(guān)系．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3  華溪學(xué)�？萍枷牧顮I(yíng)的學(xué)生在3名老師的帶領(lǐng)下，準(zhǔn)備赴北京大學(xué)參觀，體驗(yàn)大學(xué)生活．現(xiàn)有兩個(gè)旅行社前來承包，報(bào)價(jià)均為每人2000元，他們都表示優(yōu)惠；希望社表示帶隊(duì)老師免費(fèi)，學(xué)生按8折收費(fèi)；青春社表示師生一律按7折收費(fèi)．經(jīng)核算，參加兩家旅行社費(fèi)用正好相等．

    （1）該校參加科技夏令營(yíng)的學(xué)生共有多少人？

    （2）如果又增加了部分學(xué)生，學(xué)校應(yīng)選擇哪家旅行社？

 【點(diǎn)評(píng)】方程與不等式的綜合應(yīng)用，注意取值與實(shí)際生活要相符

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1．（2006年深圳市）九年級(jí)的幾位同學(xué)拍了一張合影作留念，已知沖一張底片需要0.80元，洗一張相片需要0.35元．在每位同學(xué)得到一張相片、共用一張底片的前提下，平均每人分?jǐn)偟腻X不足0.5元，那么參加合影的同學(xué)人數(shù)（  ）

    A．至多6人     B．至少6人    C．至多5人     D．至少5人

2．現(xiàn)用甲、乙兩種運(yùn)輸車將46噸抗旱物資運(yùn)往災(zāi)區(qū)，甲種運(yùn)輸車載重5噸，乙種運(yùn)輸車載重4噸，安排車輛不超過10輛，則甲種運(yùn)輸車至少應(yīng)安排（  ）

    A．4輛     B．5輛     C．6輛     D．7輛

3．（2005年內(nèi)江市）在一次“人與自然”知識(shí)競(jìng)賽中，競(jìng)賽題共25道，每道題都給4個(gè)答案，其中只有一個(gè)答案正確，選對(duì)得4分，不選或選錯(cuò)倒扣2分，得分不低于60分得獎(jiǎng)，那么得獎(jiǎng)至少應(yīng)選對(duì)題（  ）

    A．18道     B．19道     C．20道     D．21道

4．一種滅蟲藥粉30千克，含藥率15%，現(xiàn)要用含藥率較高的同種滅蟲藥粉50千克和它混合，使混合后的含藥率大于20%而小于35%，則所用藥粉的含藥率x的范圍是（ ）

    A．15%<x<23%    B．15%<x<35%     C．23%<x<47%    D．23%<x<50%

5．（2005年吉林�。┠沉謭�(chǎng)原計(jì)劃在一定期限內(nèi)固沙造林240公頃，實(shí)際每天固沙造林的面積比原計(jì)劃多4公頃，結(jié)果提前5天完成任務(wù)，設(shè)原計(jì)劃每天固沙造林x公頃，根據(jù)題意下列方程正確的是（  ）

   

6．（2006年內(nèi)江市）某學(xué)校要印刷一批完全材料，甲印務(wù)公司提出制版費(fèi)900元，另外每份材料收印刷費(fèi)0．5元；乙印務(wù)公司提出不收制版費(fèi)，每份材料收印刷費(fèi)0．8元．

    （1）分別寫出兩家印務(wù)公司的收費(fèi)y（元）與印刷材料的份數(shù)x（份）之間的函數(shù)關(guān)系式．

    （2）若學(xué)校預(yù)計(jì)要印刷5000份以內(nèi)的宣傳材料，請(qǐng)問學(xué)校應(yīng)選擇哪一家印務(wù)公司更合算？

 

 

 

 

 

 

 

 

7．水是人類最寶貴的資源之一，我國(guó)水資源人均占有量遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于世界平均水平，為了節(jié)約用水，保護(hù)環(huán)境，學(xué)校于本學(xué)期初制定了詳細(xì)的用水計(jì)劃．如果實(shí)際每天比計(jì)劃多用一噸水，那么本學(xué)期的用水總量將會(huì)超過2300噸；如果實(shí)際每天計(jì)劃節(jié)約一噸水，那么本學(xué)期用水量將會(huì)不足2100噸．如果本學(xué)期的在校時(shí)間按110天（22周）計(jì)算，那么學(xué)校計(jì)劃每天用水量是在什么范圍？（結(jié)果保留四個(gè)有效數(shù)字）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 8．某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種服裝后，都加價(jià)40%標(biāo)價(jià)出售．“春節(jié)”期間商場(chǎng)搞優(yōu)惠促銷，決定將甲、乙兩種服裝分別按標(biāo)價(jià)的八折和九折出售．某顧客購(gòu)買甲、乙兩種服裝共付款182元，兩種服裝標(biāo)價(jià)之和為210元，問這兩種服裝的進(jìn)價(jià)和標(biāo)價(jià)各是多少元？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【能力提升】

9．（2006年江陰市）某公司開發(fā)的960件新產(chǎn)品，需加工后才能投放市場(chǎng)，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用20天，而乙工廠每天比甲工廠多加工8件產(chǎn)品．在加工過程中，公司需每天支付50元?jiǎng)趧?wù)費(fèi)請(qǐng)工程師到廠進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)．

    （1）甲、乙兩個(gè)工廠每天各能加工多少件新產(chǎn)品？

    （2）該公司要選擇省時(shí)又省錢的工廠加工，乙工廠預(yù)計(jì)甲工廠將向公司報(bào)加工費(fèi)用為每天800元，請(qǐng)問：乙工廠向公司報(bào)加工費(fèi)用每天最多為多少元時(shí)，才可滿足公司要求，有望加工這批產(chǎn)品．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10．（2006年揚(yáng)州市）“中國(guó)荷藕之鄉(xiāng)”揚(yáng)州市寶應(yīng)縣有著豐富的荷藕資源．某荷藕加工企業(yè)已收購(gòu)荷藕60噸，根據(jù)市場(chǎng)信息，如果對(duì)荷藕進(jìn)行粗加工，每天可加工8噸，每噸可獲利1000元；如果進(jìn)行精加工，每天可加工0．5噸，每噸可獲利5000元．由于受設(shè)備條件的限制，兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行．

    （1）設(shè)精加工的噸數(shù)為x噸，則粗加工的噸數(shù)為______噸，加工這批荷藕需要____天，可獲利______元（用含x的代數(shù)式表示）

    （2）為了保鮮需要，該企業(yè)必須在一個(gè)月（30天）內(nèi)將這批荷藕全部加工完畢，精加工的噸數(shù)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，該企業(yè)加工這批荷藕的獲利不低于80000元？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11．（2005年河南省）某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營(yíng)，決定購(gòu)進(jìn)6臺(tái)機(jī)器用于生產(chǎn)某種活塞．現(xiàn)有甲、乙兩種機(jī)器供選擇，其中每種機(jī)器的價(jià)格和每臺(tái)機(jī)器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示．經(jīng)過預(yù)算，本次購(gòu)買機(jī)器所耗資金不能超過34萬元．

 

甲

乙

價(jià)格（萬元/臺(tái)）

 7

5

每臺(tái)日產(chǎn)量（個(gè)）

100

60

    （1）按該公司要求可以有幾種購(gòu)買方案？

    （2）若該公司購(gòu)進(jìn)的6臺(tái)機(jī)器的日生產(chǎn)能力不能低于380個(gè)，那么為了節(jié)約資金應(yīng)選擇哪種購(gòu)買方案？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12．（2005年貴州省）為迎接“2005．中國(guó)貴州黃果樹瀑布節(jié)”，園林部門決定利用現(xiàn)有的3600盆甲種花卉和2900盆乙種花奔搭配A、B兩種園藝造型共50個(gè)，擺放在迎賓大道兩側(cè)，搭配每個(gè)造型所需要花奔情況如下表所示：

造型

甲

乙

 A

90盆

30盆

 B

40盆

100盆

    （1）符合題意的搭配方案有哪幾種？

    （2）若搭配一個(gè)A種造型的成本為1000元，搭配一個(gè)B種造型的成本為1200元，試說明選用（1）中哪種方案成本最低？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【應(yīng)用與探究】

13．（2006年長(zhǎng)沙市）我市某鄉(xiāng)A、B兩村盛產(chǎn)柑桔，A村有柑桔200噸，B村有柑桔300噸．現(xiàn)將這些柑桔運(yùn)到C、D兩個(gè)冷藏室，已知C倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存240噸，D倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存260噸；從A村運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B村運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元．設(shè)從A村運(yùn)往C倉(cāng)庫(kù)的柑桔重量為x噸，A、B兩村運(yùn)往兩倉(cāng)庫(kù)的柑桔運(yùn)輸費(fèi)用分別為yA元和yB元．

    （1）請(qǐng)?zhí)顚懴卤�，并求出yA、yB與x之間的函數(shù)關(guān)系式：

 

  C

  D

 總計(jì)

 A

x噸

 

200噸

 B

 

 

300噸

總計(jì)

240噸

260噸

500噸

    （2）試討論A、B兩村中，哪個(gè)村的運(yùn)費(fèi)較少；

    （3）考慮到B村的經(jīng)濟(jì)承受能力，B村的柑桔運(yùn)費(fèi)不得超過4830元．在這種情況下，請(qǐng)問怎樣調(diào)運(yùn)，才能使兩村運(yùn)費(fèi)之和最��？求出這個(gè)最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

答案:

例題經(jīng)典 

例1：（1）甲獨(dú)做20天，乙獨(dú)做30天 

（2）設(shè)甲做了x天，乙做了y天完成作業(yè)，

解y≥15，即乙公司最少應(yīng)施工15天．

例2：學(xué)校派出158名，共有20個(gè)交通路口安排值勤

例3：（1）學(xué)生共有21人  （2）應(yīng)選青春社

考點(diǎn)精練 

1．B  2．C  3．B  4．C  5．B 

6．（1） 

（2）y甲<y­乙，∴900+0.5x<0.8x，解得x>3000，

∴選甲公司 

7．應(yīng)控制在：19.91到20.09噸之間 

8．甲進(jìn)價(jià)為50元，標(biāo)價(jià)70元，乙進(jìn)價(jià)為100元，標(biāo)價(jià)140元 

9．解：（1）設(shè)甲工廠每天加工x件，則乙公司每天加工（x+8）件 

由題意得：，解之得：x1=-24，x2=16．

經(jīng)檢驗(yàn)，x1、x2均為所列方程的根，但x1=-24不合題意，舍去．

此時(shí)x+8=24．

答：甲工廠每天加工16件，乙工廠每天加工24件．

（2）由（1）可知加工960件產(chǎn)品，甲工廠要60天，乙工廠要40天．

所以甲工廠的加工總費(fèi)用為60×（800+50）=51000（元）．

設(shè)乙工廠報(bào)價(jià)為每天m元，則乙工廠的加工總費(fèi)用為40×（m+50）元．

由題意得：40×（m+50）≤51000，解得m≤1225．

答：乙工廠所報(bào)加工費(fèi)每天最多為1225元，可滿足公司要求，有望加工這批產(chǎn)品． 

10．（1）（60-x）噸，（）天，[5000x+（60-x）×1000]元 

（2）5（噸）≤x≤12（噸） 

11．（1）有3種方案：①甲0臺(tái)，乙6臺(tái)，②甲1臺(tái)，乙5臺(tái)，③甲2臺(tái)，乙4臺(tái) 

（2）應(yīng)選方案② 

12．（1） 

A

30

31

32

B

20

19

18

（2）設(shè)費(fèi)用為y=1000x+1200（50-x）=-200x+60000，∴A32天，B18個(gè)費(fèi)用最低． 

13． (1)

 

  C

  D

 總計(jì)

 A

x噸

（200-x）噸

200噸

 B

（240-x）噸

（60+x）噸

300噸

總計(jì)

240噸

260噸

500噸

yA=-5x+5000（0≤x≤2000），yB=3x+4680（0≤x≤200）．

 （2）當(dāng)yA=yB時(shí)，-5x+5000=3x+4680，x=40；

當(dāng)yA>yB時(shí)，-5x+5000>3x+4680，x<40；

當(dāng)yA<yB時(shí)，-5x+5000<3x+4689，x>40，

∴當(dāng)x=40時(shí)，yA=yB即兩村運(yùn)費(fèi)相等；

當(dāng)0≤x<40時(shí)，yA>yB即B村運(yùn)費(fèi)較少；

當(dāng)40<x≤200時(shí)，yA<yB即A村費(fèi)用較小．

（3）由yB≤4830，3x+4680≤4830，∴x≤50，

設(shè)兩村運(yùn)費(fèi)之和為y，∴y=yA+yB，即：y=-2x+9680．

又∵0≤x≤50時(shí)，y隨x增大而減�。�

∴當(dāng)x=50時(shí)，y有最小值，y最小值=9580（元）．

答：當(dāng)A村調(diào)往C倉(cāng)庫(kù)的柑桔重量為50噸，調(diào)往D倉(cāng)庫(kù)為150噸，B村調(diào)往C倉(cāng)庫(kù)為190噸，調(diào)往D倉(cāng)庫(kù)110噸的時(shí)候，兩村的運(yùn)費(fèi)之和最小，最小費(fèi)用為9580元．

 


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