湖南省郴州市2009屆高三第三次教學質(zhì)量監(jiān)測
數(shù)學試題(理)
一、選擇題(本大題共8個小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只
1.已知集合則下列結(jié)論正確的是 ( )
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A. B.
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C. D.
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3.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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6.函數(shù)的最大值和最小正周期分別為 ( )
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A.1,π B.2,2π C.,2π D.,π
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7.若的傾斜角為 ( )
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8.已知為等差數(shù)列,若,且它的前n項和Sn有最大值,那么當Sn取得最小正值時,n= ( )
A.11 B.20 C.19 D.21
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二、填空題(本大題共7個小題,每小題5分,共35分,請把答案填在題中橫線上)
9.函數(shù)的反函數(shù)是
.
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10.若在的展開式中含有常數(shù)項,則正整數(shù)n 取得最小值時的常數(shù)項為
.
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11.將7 個不同的小球全部放入編號為2 和3 的兩個小盒子里,使得每個盒子里的球的個
數(shù)不小于盒子的編號,則不同的放球方法共有____________ 種. (用數(shù)字作答)
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12.設(shè)是三個不重合的平面,l 是直線,給出下列四個命題:
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①若;
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②若;
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③若l上有兩點到的距離相等,則l//;
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④若.
其中正確命題的序號是____________.
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14.己知拋物線的焦點為F,準線l與對稱軸交于R點,過已知拋物線上一點P(1,2)作PQ l 于Q ,則(i)拋物線的焦點坐標是____________;(ii)梯形PQRF的面積是____________.
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三、解答題(本大題共6 個小題,共75 分,解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程. )
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已知△ABC 各頂點的直角坐標為A(―1,0)、B(1,0)、C(m,).
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(2)若|CA| >
|CB| ,且的值.
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17.(本小題滿分12 分)在A,B 兩只口袋中均有2 個紅球和2 個白球,先從A 袋中任取2 個球轉(zhuǎn)放到B 袋中,再從B 袋任取一個球轉(zhuǎn)放到A 袋中,結(jié)果A 袋中恰有個紅球.
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(1)求=1 時的概率;
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(2)求隨機變量的分布列及期望.
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已知如圖(1),正三角形ABC 的邊長為2a,CD 是AB 邊上的高,E、F分別是AC 和BC 邊上的點,且滿足,現(xiàn)將△ABC 沿CD 翻折成直二面角A―DC―B,如圖(2). (1)試判斷翻折后直線AB 與平面DEF的位置關(guān)系,并說明理由; (2)求二面角B―AC―D 的大小;
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19.(本小題滿分13 分) 某地區(qū)發(fā)生流行性病毒感染,居住在該地區(qū)的居民必須服用一種藥物預(yù)防,規(guī)定每人每天早晚八時各服用一片,現(xiàn)知該藥片每片含藥量220 毫克. 若人的腎臟每12 小時從體內(nèi)濾出這種藥的60%,在體內(nèi)的殘留量超過386 毫克(含386 毫克),就將產(chǎn)生副作用. (1)某人上午八時第一次服藥,問到第二天上午八時服完藥時,這種藥在人體內(nèi)還殘留多少? (2)長期服用這種藥的人會不會產(chǎn)生副作用?
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橢圓的離心率為,右準線方程為,左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2 . (1)求橢圓C 的方程
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(2)若直線與以為直徑的圓相切并與橢圓C 交于A,B 兩點,
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(1)求證:當時,對一切非負實數(shù)x恒成立;
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(2)對于(0,1)內(nèi)的任意常數(shù)a,是否存在與a 有關(guān)的正常數(shù),使得成立?如果存在,求出一個符合條件的;否則說明理由.
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一、選擇題(每小題5 分,共40 分) DCABD ABC 二、填空題(每小題5 分,共35分) 9.
10.
11.91
12.②④ 13.
14.(i)(2分) (ii)(3分) 15.(i)(3分); (ii) (2分)
20090401 ,2 分 即8,3 分 解得;……………………4分分 (2) ………………6分 又 …………8分 由余弦定理得 ……………………10分 …………………………12分 17.解:(1)= 1 表示經(jīng)過操作以后A 袋中只有一個紅球,有兩種情形出現(xiàn) ①先從A 中取出1 紅和1 白,再從B 中取一白到A 中
②先從A 中取出2 紅球,再從B 中取一紅球到A 中
…………………………(5分) (2)同(1)中計算方法可知:
于是的概率分別列
0 1 2 3 P
E=……………………12分 18.解:(1)AB//平面DEF. 在△ABC 中, ∵E、F分別是AC、BC 上的點,且滿足 ∴AB//EF.
∴AB//平面DEF. …………3 分 (2)過D點作DG⊥AC 于G,連結(jié)BG, ∵AD⊥CD, BD⊥CD, ∴∠ADB 是二面角A―CD―B 的平面角. ∴∠ADB = 90°, 即BD⊥AD. ∴BD⊥平面ADC. ∴BD⊥AC. ∴AC⊥平面BGD. ∴BG⊥AC . ∴∠BGD 是二面角B―AC―D 的平面角. 5 分 在Rt△ADC 中,AD = a,DC = a,AC = 2a, ∴ 在Rt
即二面角B―AC―D的大小為……………………8分 (2)∵AB//EF, ∴∠DEF(或其補角)是異面直線AB 與DE 所成的角. ………………9 分 ∵AB =, ∴EF= ak . 又DC = a,CE = kCA
= 2ak, ∴DF= DE = ………………4分 ∴cos∠DEF=………………11分 ∴ …………………………12分 19.解:(1)依題意建立數(shù)學模型,設(shè)第n 次服藥后,藥在體內(nèi)的殘留量為an(毫克) a1 = 220,a2 =220×1.4 ……………………2 分 a4 = 220 + a2 (1-0.6) = 343.2 ……………………5 分 (2)由an = 220 + 0.4an―1 (n≥2 ), 可得 所以()是一個等比數(shù)列,
不會產(chǎn)生副作用……………………13分 20.解:(1)由條件知: ……………………2分 得b=1, ∴橢圓C的方程為:……………………4分 (2)依條件有:………………5分 由…………7分 , 則 ………………7分 又
由 …………………………9分 由弦長公式得 由 得
= 又 …………………………13分 21.解:(1)當 令
上單調(diào)遞增, ……………………5分 (2)(1), 需求一個,使(1)成立,只要求出 的最小值, 滿足 上↓ 在↑,
只需證明內(nèi)成立即可, 令 為增函數(shù) ,故存在與a有關(guān)的正常數(shù)使(1)成立。13分
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