湖南省郴州市2009屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)試題（文）

 

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

1．已知集合則下列結(jié)論正確的是    （    ）

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       A．                              B．

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       C．                           D．

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2．已知等于                                            （    ）

       A．0                        B．－1                   C．2                        D．1

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3．“x>1”是“”成立的                                                                             （    ）

       A．充要條件                                           B．必要不充分條件

       C．充分不必要條件                                 D．既不充分又不必要條件

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4． 的最大值 和最小正周期分別是               （    ）

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       A．              B．2，2π               C．，2π           D．1，2π

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5．已知實數(shù)，滿足約束條件則的取值范圍是                （    ）

       A．[1，2]                B．[0，2]                C．[1，3]                D．[0，1]

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6．設(shè)恒成立，那么                                       （    ）

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       A．                 B．a(chǎn)>1                     C．           D．a(chǎn)<1

 

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7．若的展開式中的二項式系數(shù)之和為256，則展開式中x4的系數(shù)為       （    ）

       A．6                        B．7                        C．8                        D．9

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C（0，1），映射f 將xOy 平面上的點P（x，y）對應(yīng)到另一

個平面直角坐標(biāo)系uo′v 上的點P′（2xy，x2 ? y2），則當(dāng)點

P 沿著折線A―B―C 運動時，在映射f 的作用下，動點P′的

軌跡是                                         （    ）

 

 

 

 

 

 

 

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二、填空題（本大題共7個小題，每小題5分，共35分，請把答案填在題中橫線上）

9．函數(shù)的反函數(shù)是              .

20090401

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11．從顏色不同的5 個球中任取4 個放入3 個不同的盒子中，要求每個盒子不空，則不同的

放法總數(shù)為____________. （用數(shù)字作答）

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12．設(shè)是三個不重合的平面，l 是直線，給出下列四個命題：

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①若；   

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②若；

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③若l上有兩點到的距離相等，則l//；

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④若.

其中正確命題的序號是____________.

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13．已知函數(shù)是R 上的偶函數(shù)，且在（0，+）上有（x）> 0，若f（－1）= 0，那么關(guān)于x的不等式x f（x）< 0 的解集是____________.

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14．設(shè)向量若直線沿向量平移，所得直線過雙曲線的右焦點，

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（i）=            

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（ii）雙曲線的離 心率e=             .

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15．對正整數(shù)n，設(shè)曲線處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為，

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（i）=            

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（ii）數(shù)列的前n項和Sn=            

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三、解答題（本大題共6 個小題，共75 分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程. ）

16．（本小題滿分12 分）

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已知函數(shù)的最大值為1.

   （1）求常數(shù)a 的值；

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   （2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

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   （3）求≥ 0 成立的x 的取值集合.

 

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17．（本小題滿分12 分）

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從甲地到乙地一天共有A、B 兩班車，由于雨雪天氣的影響，一段時間內(nèi)A 班車正點到達(dá)乙地的概率為0.7，B 班車正點到達(dá)乙地的概率為0.75。

   （1）有三位游客分別乘坐三天的A 班車，從甲地到乙地，求其中恰有兩名游客正點到

達(dá)的概率（答案用數(shù)字表示）。

   （2）有兩位游客分別乘坐A、B 班車，從甲地到乙地，求其中至少有1 人正點到達(dá)的概

率（答案用數(shù)字表示）。

 

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18．（本小題滿分12 分）

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已知{ }是整數(shù)組成的數(shù)列，a1 = 1，且點在函數(shù)的圖象上，

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   （1）求數(shù)列{}的通項公式；

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   （2）若數(shù)列{}滿足 = 1，，求證：

 

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19．（本小題滿分13 分）

如圖（1）是一正方體的表面展開圖，MN 和PB 是兩條面對角線，請在圖（2）的正方體中將MN 和PB 畫出來，并就這個正方體解決下面問題。

   （1）求證：MN//平面PBD；

   （2）求證：AQ⊥平面PBD；

   （3）求二面角P―DB―M 的大�。�

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20090401

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已知橢圓的右焦點F 與拋物線y2 = 4x 的焦點重合，短軸長為2. 橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸交于E，過右焦點F 的直線與橢圓相交于A、B 兩點，點C 在右準(zhǔn)線l 上，BC//x 軸.

   （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出其離心率；

   （2）求證：線段EF被直線AC 平分.

 

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21．(本題滿分13 分)

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已知函數(shù)

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   （1）若在的圖象上橫坐標(biāo)為的點處存在垂直于y 軸的切線，求a 的值；

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   （2）若在區(qū)間（-2，3）內(nèi)有兩個不同的極值點，求a 取值范圍；

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   （3）在（1）的條件下，是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)的

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圖象與函數(shù)的圖象恰有三個交點，若存在，試出實數(shù)m 的值；若不存在，說

明理由.

 

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一、選擇題（每小題5 分，共40 分）

DACDA  DBA

二、填空題（每小題5 分，共35分）

9．     10．400     11．180    12．②④

13．     14．（i）（3分）    （ii）（2分）

15．（i）（3分）；    （ii） （2分）

16．（1）

當(dāng)

 ……………………4分

（2）令 ………………6分

解得：

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是…………8分

（3）由，……………………10分

所以，

解得：

所以，的取值集合……12分

17．解：（1）坐A 班車的三人中恰有2 人正點到達(dá)的概率為

P3（2）= C0.72×0.31 = 0.441 ……………………（6 分）

（2）記“A 班車正點到達(dá)”為事件M，“B 班車正點到達(dá)冶為事件N

則兩人中至少有一人正點到達(dá)的概率為

P = P（M?N）+ P（M?）+ P（?N）

= 0.7 ×0.75 + 0.7 ×0.25 + 0.3 ×0.75 = 0.525 + 0.175 + 0.225 = 0.925 （12 分）

18．解：由已知得

所以數(shù)列{}是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列；（2分）

即=1+…………………………4分

（2）由（1）知 ……………………6分

 …………………………8分

 ……………………10分

所以：…………………………12分

19．解：M、N、Q、B的位置如右圖示。（正確標(biāo)出給1分）

（1）∵ND//MB且ND=MB

∴四邊形NDBM為平行四邊形

∴MN//DB………………3分

∴BD平面PBD，MN

∴MN//平面PBD……………………4分

（2）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴BD⊥QC……………………5分

又∵BD⊥AC，

∴BD⊥平面AQC…………………………6分

∵AQ面AQC

∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，

∵BDPD=B

∴AQ⊥面PDB……………………………8分

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    1. ∵在正方體中，PB=PB

      ∴PE⊥DB……………………10分

      ∵四邊形NDBM為矩形

      ∴EF⊥DB

      ∴∠PEF為二面角P―DB―M為平面角………………11分

      ∵EF⊥平面PMN

      ∴EF⊥PF

      設(shè)正方體的棱長為a，則在直角三角形EFP中

      ∵

      ∴

      …………………………13分

      解法2：設(shè)正方體的棱長為a，

      以D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

      則點A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）…………9分

      ∴………………10分

      ∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB

      ∴分別為平面PDB、平面DBM的法向量

      ……………………12分

      ∴

      ∴………………13分

      20．解：（1）由題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為……1分

      的焦點為F（1，0）

      ……………………3分

      所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

      其離心率為 ……………………5分

      （2）證明：∵橢圓的右準(zhǔn)線1的方程為：x=2，

      ∴點E的坐標(biāo)為（2，0）設(shè)EF的中點為M，則

      若AB垂直于x軸，則A（1，y1），B（1，－y1），C（2，－y1）

      ∴AC的中點為

      ∴線段EF的中點與AC的中點重合，

      ∴線段EF被直線AC平分，…………………………6分

      若AB不垂直于x軸，則可設(shè)直線AB的方程為

      則…………………………7分

      把

      得 ………………8分

      則有………………9分

      ∴

      ……………………10分

      ∵

      ∴

      ∴A、M、C三點共線，即AC過EF的中點M，

      ∴線段EF被直線AC平分�！�13分

      21．解：（1）依題意，

      …………………………3分

      （2）若在區(qū)間（―2，3）內(nèi)有兩個不同的極值點，則方程在區(qū)間（―2，3）內(nèi)有兩個不同的實根，

      但a=0時，無極值點，

      ∴a的取值范圍為……………………8分

      （3）在（1）的條件下，a=1，要使函數(shù)的圖象恰有三個交點，等價于方程，

      即方程恰有三個不同的實根。

      =0是一個根，

      *        應(yīng)使方程有兩個非零的不等實根，

      由………………12分

      *存在的圖象恰有三個交點…………………………13分

       


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