例1．如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：

（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)d為點(diǎn)P到直線l：的距離，若，求的值。

解：（I）由雙曲線的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)2a=2的雙曲線.，因此半焦距c=2，實(shí)半軸a=1，從而虛半軸b=，所以雙曲線的方程為x^2-=1.

 (II)由（I）及（21）圖，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|²,         ①

知|PM|>|PN|,故P為雙曲線右支上的點(diǎn)，所以|PM|=|PN|+2.     ②

將②代入①，得2||PN|²-|PN|-2=0，解得|PN|=,所以|PN|=.

因?yàn)殡p曲線的離心率e==2，直線l：x=是雙曲線的右準(zhǔn)線，故=e=2，

所以d=|PN|，因此

變式：

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為．

（Ⅰ）寫出C的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與C交于A，B兩點(diǎn)．k為何值時(shí)？此時(shí)的值是多少？

解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．

（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿足

消去y并整理得，故．

，即．而，

于是．

所以時(shí)，，故．

當(dāng)時(shí)，，．，

而，所以．

例2．①若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從－2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線 掃過(guò)中的那部分區(qū)域的面積為 ( C  )

A．                  B．1          C．                  D．5

②在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．如果是圍成的區(qū)域（含邊界）上的點(diǎn)，那么當(dāng)取到最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是　_____

變式：

1．若實(shí)數(shù)x、y滿足則的取值范圍是（  D ）

A.（0，2）     B.（0，2）       C.(2,+∞)        D.[2，+∞)

2．若，且當(dāng)時(shí)，恒有，則以,b為坐標(biāo)點(diǎn) 所形成的平面區(qū)域的面積等于 (  C  )

（A）        （B）      （C）1         （D）

題型三、圓錐曲線定義的應(yīng)用

例3. 已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若，則=        8

例4. 已知拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交于點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行；

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．

解：（Ⅰ）如圖，設(shè)，，把代入得，

由韋達(dá)定理得，，

，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，

將代入上式得，直線與拋物線相切，

，．即．

（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，又是的中點(diǎn)， ．

由（Ⅰ）知．

軸，．

又

 ．

，解得．即存在，使．

變式：

已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為的曲線C上.

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程

解：(Ⅰ)依題意，由a²+b²=4，得雙曲線方程為（0＜a²＜4)，

將點(diǎn)（3，）代入上式，得.解得a²=18（舍去）或a²＝2，故所求雙曲線方程為

 (Ⅱ)依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1－k²)x²－4kx－6=0.

∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,

∴   ∴k∈(－)∪(1,).

設(shè)E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，則由①式得x₁+x₂=于是

|EF|=

=，而原點(diǎn)O到直線l的距離d＝,

∴S_ΔOEF=

若S_ΔOEF＝，即解得k=±，滿足②.

故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和

例5．①已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，為的右支上一點(diǎn)，且，則的面積等于( C )

（Ａ）　　     （Ｂ）　　       （Ｃ）　　      （Ｄ）

②已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ C ）

A．          B．          C．         D．

變式：

1．設(shè)是等腰三角形，，則以為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的離心率為（  B  ）

A．            B．                C．              D．

2．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上的兩個(gè)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，則的面積等于        2

題型五、直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題

例6．已知拋物線和三個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的一條直線交拋物線于、兩點(diǎn)，的延長(zhǎng)線分別交曲線于．

（1）證明三點(diǎn)共線；

（2）如果、、、四點(diǎn)共線，問(wèn)：是否存在，使以線段為直徑的圓與拋物線有異于、的交點(diǎn)？如果存在，求出的取值范圍，并求出該交點(diǎn)到直線的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：（1）設(shè)，

則直線的方程：，即

因在上，所以①  又直線方程：

由得：，所以

同理，，所以直線的方程：

令得

將①代入上式得，即點(diǎn)在直線上，所以三點(diǎn)共線

（2）由已知共線，所以  以為直徑的圓的方程：，由得

所以（舍去），  。要使圓與拋物線有異于的交點(diǎn)，則，所以存在，使以為直徑的圓與拋物線有異于的交點(diǎn) ，則，所以交點(diǎn)到的距離為 

例7．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，一條漸近線的方程是．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線段的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍．

解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線的方程為，由題設(shè)得

   解得    所以雙曲線的方程為．

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程組

將①式代入②式，得，整理得．

此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是，且．整理得

．        ③

由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足

，．

從而線段的垂直平分線的方程為．

此直線與軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．由題設(shè)可得

．整理得，．

將上式代入③式得，

整理得，．解得或．

所以的取值范圍是．

變式：

設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．

（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．

解：（Ⅰ）依題設(shè)得橢圓的方程為，

直線的方程分別為，．

如圖，設(shè)，其中，

且滿足方程，故．①

由知，得；

由在上知，得．，

化簡(jiǎn)得，解得或．

（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)到的距離分別為

，．

又，所以四邊形的面積為

，

當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以的最大值為．

反饋練習(xí)：

1．已知變量滿足約束條件則的最大值為（  B ）

A．             B．               C．                 D．

2．若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ B  ）

A．             B．

C．                   D．

3．雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，若P為其上一點(diǎn)，且|PF₁|=2|PE₂|，則雙曲線離心率的取值范圍為（ B  ）

A.（1，3）    B.（1，3）        C.（3，+∞）    D. [3，+∞)

4．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為（  B  ）

A．            B．          C．          D．

5．雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是(  C   )

A．         B．   C．      D．

6．若雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線y²=2px的準(zhǔn)線上，則p的值為(  C  )

(A)2                   (B)3                              (C)4                   (D)4

7．已知直線與圓，則上各點(diǎn)到的距離的最小值為___

8．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率=          

9．過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為        

10．已知圓．以圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為          

11．已知的頂點(diǎn)在橢圓上，在直線上，且．

（Ⅰ）當(dāng)邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)及的面積；

（Ⅱ）當(dāng)，且斜邊的長(zhǎng)最大時(shí)，求所在直線的方程．

解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>，且邊通過(guò)點(diǎn)，所以所在直線的方程為．

設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為．由得．

所以．又因?yàn)?sub>邊上的高等于原點(diǎn)到直線的距離．

所以，．

（Ⅱ）設(shè)所在直線的方程為，由得．

因?yàn)?sub>在橢圓上，所以．設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

則，，所以．

又因?yàn)?sub>的長(zhǎng)等于點(diǎn)到直線的距離，即．

所以．

所以當(dāng)時(shí)，邊最長(zhǎng)，（這時(shí)）此時(shí)所在直線的方程為．

12．雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交于兩點(diǎn)．已知成等差數(shù)列，且與同向．

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；（Ⅱ）設(shè)被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4，求雙曲線的方程．

解：（1）設(shè)，，

由勾股定理可得：

得：，，

由倍角公式，解得，則離心率．

（2）過(guò)直線方程為與雙曲線方程聯(lián)立

將，代入，化簡(jiǎn)有

將數(shù)值代入，有 解得，得雙曲線方程為