2009年高考數(shù)學難點突破專題輔導十四

難點14  數(shù)列綜合應用問題

縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實際問題中有著廣泛的應用，如增長率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險，圓鋼堆壘等問題.這就要求同學們除熟練運用有關概念式外，還要善于觀察題設的特征，聯(lián)想有關數(shù)學知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度.

●難點磁場

(★★★★★)已知二次函數(shù)y=f(x)在x=處取得最小值－ (t＞0),f(1)=0.

(1)求y=f(x)的表達式；

(2)若任意實數(shù)x都滿足等式f(x)?g(x)+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹［g(x)］為多項式，n∈N^*),試用t表示a_n和b_n；

(3)設圓C_n的方程為(x－a_n)²+(y－b_n)²=r_n²，圓C_n與C_n+1外切(n=1,2,3,…);{r_n}是各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，記S_n為前n個圓的面積之和，求r_n、S_n.

●案例探究

［例1］從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.

(1)設n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為a_n萬元，旅游業(yè)總收入為b_n萬元，寫出a_n,b_n的表達式；

(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關系式、數(shù)列求和、不等式等基礎知識；考查綜合運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，本題有很強的區(qū)分度，屬于應用題型，正是近幾年高考的熱點和重點題型，屬★★★★★級題目.

知識依托：本題以函數(shù)思想為指導，以數(shù)列知識為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識點.

錯解分析：(1)問a_n、b_n實際上是兩個數(shù)列的前n項和，易與“通項”混淆；(2)問是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差.

技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.

解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)^n－1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為

a_n=800+800×(1－)+…+800×(1－)^n－1=800×(1－)^k－1

=4000×［1－()ⁿ］

第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)，…，第n年旅游業(yè)收入400×(1+)^n－1萬元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為

b_n=400+400×(1+)+…+400×(1+)^k－1=400×()^k－1.

=1600×［()ⁿ－1］

(2)設至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此b_n－a_n＞0，即：

1600×［()ⁿ－1］－4000×［1－()ⁿ］＞0，令x=()ⁿ，代入上式得：5x²－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()ⁿ＜，由此得n≥5.

∴至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.

［例2］已知S_n=1++…+,(n∈N^*)設f(n)=S_2n+1－S_n+1,試確定實數(shù)m的取值范圍，使得對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式：f(n)＞［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］²恒成立.

命題意圖：本題主要考查應用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問題，需較強的綜合分析問題、解決問題的能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：本題把函數(shù)、不等式恒成立等問題組合在一起，構思巧妙.

錯解分析：本題學生很容易求f(n)的和，但由于無法求和，故對不等式難以處理.

技巧與方法：解決本題的關鍵是把f(n)(n∈N*)看作是n的函數(shù)，此時不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f(n)的最小值大于［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］².

解：∵S_n=1++…+.(n∈N^*)

∴f(n+1)＞f(n)

∴f(n)是關于n的增函數(shù)

∴f(n) _min=f(2)=

∴要使一切大于1的自然數(shù)n，不等式

f(n)＞［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］²恒成立

只要＞［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］²成立即可

由得m＞1且m≠2

此時設［log_m(m－1)］²=t  則t＞0

于是解得0＜t＜1

 由此得0＜［log_m(m－1)］²＜1

 解得m＞且m≠2.

●錦囊妙計

1.解答數(shù)列綜合題和應用性問題既要有堅實的基礎知識,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解答應用性問題，應充分運用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關知識來解決問題.

2.縱觀近幾年高考應用題看，解決一個應用題，重點過三關：

(1)事理關：需要讀懂題意，明確問題的實際背景，即需要一定的閱讀能力.

(2)文理關：需將實際問題的文字語言轉(zhuǎn)化數(shù)學的符號語言，用數(shù)學式子表達數(shù)學關系.

(3)事理關：在構建數(shù)學模型的過程中；要求考生對數(shù)學知識的檢索能力，認定或構建相應的數(shù)學模型，完成用實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化.構建出數(shù)學模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實的基礎知識和較強的數(shù)理能力.

●殲滅難點訓練

一、選擇題

試題詳情

二、填空題

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三、解答題

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難點磁場

解：(1)設f(x)=a(x－)²－，由f(1)=0得a=1.

∴f(x)=x²－(t+2)x+t+1.

(2)將f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：

(x－1)［x－(t+1)］g(x)+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹，上式對任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分別代入上式得：

且t≠0，解得a_n=［(t+1)ⁿ⁺¹－1］，b_n=［1－(t+1ⁿ)

(3)由于圓的方程為(x－a_n)²+(y－b_n)²=r_n²，又由(2)知a_n+b_n=1，故圓C_n的圓心O_n在直線x+y=1上，又圓C_n與圓C_n+1相切，故有r_n+r_n+1=｜a_n+1－a_n｜=(t+1)ⁿ⁺¹?

設{r_n}的公比為q，則

                                                                        ②÷①得q==t+1，代入①得r_n=

∴S_n=π(r₁²+r₂²+…+r_n²)=［(t+1)²ⁿ－1］

殲滅難點訓練

一、1.解析：當a=n時y=n(n+1)x²－(2n+1)x+1

由｜x₁－x₂｜=，得d_n=，∴d₁+d₂+…+d_n

答案：A

二、2.解析：由1,x₁,x₂,4依次成等差數(shù)列得：2x₁=x₂+1,x₁+x₂=5解得x₁=2,x₂=3.又由1，y₁,y₂,8依次成等比數(shù)列，得y₁²=y₂,y₁y₂=8,解得y₁=2,y₂=4,

∴P₁(2,2),P₂(3,4).∴=(3,4)

∴

答案：1

3.解析：第一次容器中有純酒精a－b即a(1－)升，第二次有純酒精a(1－)－，即a(1－)²升，故第n次有純酒精a(1－)ⁿ升.

答案：a(1－)ⁿ

4.解析：從2001年到2005年每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值構成以95933為首項，以7.3%為公比的等比數(shù)列，∴a₅=95933(1+7.3%)⁴≈120000(億元).

答案：120000

三、

5.解：(1)由題意得rq^n－1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹.由題設r＞0,q＞0,故從上式可得：q²－q－1＜0，解得＜q＜,因q＞0,故0＜q＜;

(2)∵.b₁=1+r≠0，所以{b_n}是首項為1+r，公比為q的等比數(shù)列，從而b_n=(1+r)q^n-1.

當q=1時，S_n=n(1+r),

,從上式可知，當n－20.2＞0，即n≥21(n∈N^*)時，C_n隨n的增大而減小，故

1＜C_n≤C₂₁=1+=2.25                                                                  ①

當n－20.2＜0，即n≤20(n∈N^*)時，C_n也隨n的增大而減小，故1＞C_n≥C₂₀=1+=－4                                                                                       ②

綜合①②兩式知，對任意的自然數(shù)n有C₂₀≤C_n≤C₂₁,故{C_n}的最大項C₂₁=2.25，最小項C₂₀=－4.

6.解：(1)第1位職工的獎金a₁=，第2位職工的獎金a₂=(1－)b，第3位職工的獎金a₃=(1－)²b，…，第k位職工的獎金a_k= (1－)^k－1b;

(2)a_k－a_k+1=(1－)^k－1b＞0，此獎金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則.

(3)設f_k(b)表示獎金發(fā)給第k位職工后所剩余數(shù)，則f₁(b)=(1－)b,f₂(b)=(1－)²b,…,f_k(b)=(1－)^kb.得P_n(b)=f_n(b)=(1－)ⁿb,

故.

7.解：設a_n表示第n年的廢舊物資回收量，S_n表示前n年廢舊物資回收總量，則數(shù)列{a_n}是以10為首項，1+20%為公比的等比數(shù)列.

(1)a₆=10(1+20%)⁵=10×1.2⁵=24.8832≈25(萬噸)

(2)S₆==99.2992≈99.3(萬噸)

∴從1996年到2000年共節(jié)約開采礦石20×99.3≈1986(萬噸)

(3）由于從1996年到2001年共減少工業(yè)廢棄垃圾4×99.3=397.2(萬噸)，

∴從1996年到2001年共節(jié)約：

≈3 平方公里.

8.解：(1)當n≥3時，x_n=;

由此推測a_n=(－)^n-1a(n∈N)

證法一：因為a₁=a＞0,且

 (n≥2)

所以a_n=(－)^n-1a.

證法二：用數(shù)學歸納法證明：

(?)當n=1時，a₁=x₂－x₁=a=(－)⁰a,公式成立；

(?)假設當n=k時，公式成立，即a_k=(－)^k－1a成立.

那么當n=k+1時，

a_k+1=x_k+2－x_k+1=

據(jù)(?)(?)可知，對任意n∈N，公式a_n=(－)^n-1a成立.

(3)當n≥3時，有x_n=(x_n－x_n－1)+(x_n－1－x_n－2)+…+(x₂－x₁)+x₁

=a_n－1+a_n－2+…+a₁,

由(2)知{a_n}是公比為－的等比數(shù)列，所以a.