11.命題“若a＞2，則a²＞4”的逆否命題可表述為：若 a²≤4，則a≤2 .

12.拋物線y²＝－12x的準線方程是 x＝3 .

13.設某物體在時間t秒內所經過的路程為s，已知，則該物體在第2秒末的瞬時速度為 20 m/s.

14.曲線在點M(π，0)處的切線的斜率是.

15.已知動點M分別與兩定點A(1，0)，B(－1，0)的連線的斜率之積為定值m(m≠0)，若點M的軌跡是焦點在x軸上的橢圓(除去點A、B)，則m的取值范圍是（－1，0）；若點M的軌跡是離心率為2的雙曲線(除去點A、B)，則m的值為  3  .

16.(本小題滿分6分)

    已知含有量詞的兩個命題p和q，其中命題p：任何實數的平方都大于零；命題q：二元一次方程2x＋y＝3有整數解.

（Ⅰ）用符號“”與“”分別表示命題p和q；

（Ⅱ）判斷命題“(?p)∧q”的真假，并說明理由.

【解】（Ⅰ）命題p：x∈R，x²＞0；                                               （1分）

命題q：x₀∈Z且y₀∈Z，2x₀＋y₀＝3.                                    （3分）

（Ⅱ）因為當x＝0時，x²＝0，所以命題p為假命題，從而命題?p為真命題.             （4分）

      因為當x₀＝2，y₀＝－1時，2x₀＋y₀＝3，所以命題q為真命題.                     （5分）

      故命題“(?p)∧q”是真命題.                                                                                     （6分）

17.(本小題滿分8分)

   已知函數.

（Ⅰ）確定函數的單調區(qū)間，并指出其單調性；

（Ⅱ）求函數的圖象在點x＝1處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積.

【解】（Ⅰ）.             （1分）

由，得x²－2x－3＜0，即(x＋1)(x－3)＜0，所以0＜x＜3.                  （2分）

由，得x²－2x－3＞0，即(x＋1)(x－3)＞0，所以x＞3.                     （3分）

故在區(qū)間(0，3)上是增函數，在區(qū)間(3，＋∞)上是減函數.                       （4分）

（Ⅱ）因為，，                           （5分）

所以切線的方程為，即.                             （6分）

   從而切線與兩坐標軸的交點坐標為和.                                （7分）

   故切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積.                     （8分）

18.(本小題滿分8分)

     已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，長軸長等于12，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過橢圓左頂點作直線l，若動點M到橢圓右焦點的距離比它到直線l的距離小4，求點M的軌跡方程.

【解】（Ⅰ）設橢圓的半長軸長為a，半短軸長為b，半焦距為c.

   由已知，2a＝12，所以a＝6.                                                     （1分）

又，即a＝3c，所以3c＝6，即c＝2.                                       （2分）

于是b²＝a²－c²＝36－4＝32.                                                     （3分）

   因為橢圓的焦點在x軸上，故橢圓的標準方程是.                       （4分）

（Ⅱ）法一：因為a＝6，所以直線l的方程為x＝－6，又c＝2，所以右焦點為F₂(2，0).  （5分）

過點M作直線l的垂線，垂足為H，由題設，|MF₂|＝|MH|－4.

   設點M(x，y)，則.                         （6分）

兩邊平方，得，即y²＝8x.                                （7分）

故點M的軌跡方程是y²＝8x.                                                    （8分）

   法二：因為a＝6，c＝2，所以a－c＝4，從而橢圓左焦點F₁到直線l的距離為4.         （5分）

由題設，動點M到橢圓右焦點的距離與它到直線x＝－2的距離相等，所以點M的軌跡是以右焦點為F₂(2，0)為焦點，直線x＝－2為準線的拋物線.                                   （7分）

顯然拋物線的頂點在坐標原點，且p＝|F₁F₂|＝4，故點M的軌跡方程是y²＝8x.        （8分）

19.(本小題滿分8分)

 某汽車制造廠有一條價值為60萬元的汽車生產線，現(xiàn)要通過技術改造來提高其生產能力，進而提高產品的增加值.已知投入萬元用于技術改造，所獲得的產品的增加值為萬元，并且技改投入比率.

（Ⅰ）求技改投入的取值范圍；

（Ⅱ）當技改投入多少萬元時，所獲得的產品的增加值為最大，其最大值為多少萬元？

【解】（Ⅰ）由.          （3分）

故技改投入的取值范圍是(0，50].                                                （4分）

（Ⅱ）設，. 則

.                                                （5分）

由，得；由，得.                         （6分）

所以在區(qū)間（0，40]內是增函數，在區(qū)間[40，50]內是減函數，從而當x＝40時取最大值.                                                                            （7分）

又，故當技改投入40萬元時，所獲得的產品的增加值為最大，其最大值為32000萬元.                                                           （8分）

20.(本小題滿分10分)  

已知雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，過左焦點F₁作傾斜角為30°的直線l，交雙曲線于A，B兩點，F(xiàn)₂為雙曲線的右焦點，且AF₂⊥x軸，如圖.

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）若|AB|＝16，求雙曲線的標準方程.

【解】（Ⅰ）設雙曲線方程為.

由已知∠AF₁F₂＝30°，∠A F₂F₁＝90°.                                           （1分）

在Rt△AF₂F₁中，， .      （3分）

因為|AF₁|－|AF₂|＝2a，所以，即，所以. （5分）

（Ⅱ）因為，所以，從而雙曲線方程化為，

即.                                                            （6分）

因為右焦點為F₂(，0)，則直線l的方程為.代人雙曲線方程，得

，即.                          （7分）

設點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則.                     （8分）

所以

.                                                 （9分）

因為|AB|＝16，所以a＝5，從而.故雙曲線方程是.     (10分)