湖南省衡陽市祁東縣育賢中學高三文科數學試題(2007年1月)

湖南省衡陽市祁東縣育賢中學   高明生  彭鐵軍 郵政編碼:421600

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至10小題,第Ⅱ卷11至21題。全卷共150分?荚囉脮r120分鐘。

第Ⅰ卷(選擇題  共50分)

一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。

1、設x,y,z是空間不同的直線或平面,對于下列四種情形,使“x⊥z且y⊥zx//y”為真命題的是(      )                                                             ①x,y,z均為直線;   ②x,y是直線,z是平面  

    ③z是直線,x,y是平面;            ④x,y,z均為平面.

    A.①,②         B.①,③         C.③,④         D.②,③

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2、命題的充要條件;命題的解集為,

那么(   )

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A、“P或”為假  B、“P且”為真   C、“P且?”為真   D、“?P且”為真

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3、將棱長相等的正方體按右圖所示的形狀擺放,從上往下依次為第1層,第2層,第3層,…,則第6層正方體的個數是(    )

A.28  B.21  

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C.15   D.11.

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4、已知則下列結論中正確的是(    )

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A、函數的周期為;

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B、函數的最大值為1;

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C、將的圖象向左平移單位后得的圖象;

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D、將的圖象向右平移單位后得的圖象;

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5、已知,,若BA,則實數的取值范圍是(    )

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A、    B、    C、   D、

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6、設函數定義在實數集上,則函數的圖象關于(  )

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A、直線對稱  B、直線對稱  C、直線對稱  D、直線對稱

 

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7、過點A(4,a)和點B(5,b)的直線與直線y=x+m平行,則|AB|的值為(  )

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 A.6     B.      C.2       D.不能確定

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8、 函數=(0<a<b<c)的圖象關于(   )對稱

A、x軸     B、y軸       C、原點         D、直線y=x    

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9、直線x+ay+1=0與直線(a+1)x-by+3=0互相垂直,a,b∈R,則|ab|的最小值是(    )

 A.5              B.4            C.2                  D.1  

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10、若都是定義在實數集R上的函數,且方程有實數解,則不可能是(    )

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A、   B、   C、    D、

第Ⅱ卷(非選擇題   共100分)

注意事項:

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第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上。答在試題卷上無效。

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二、填空題:本大題共5小題,每小題4分,(第15小題每空2分)共20分,把答案填在答題卡相應位置上。

11、2008年第29屆奧運會將在北京召開,現有三個實數的集合,既可以表示為{a,,1},也可表示為{a2,a+b,0},則a2008+b2008=               .

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12、若點O是的外心,且,則的內角C為         度;

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13、函數 的導數為                。

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14、若曲線在點P處的切線平行于直線則點P的坐標為        

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    的數表,若表中每行的7個數自左至右依次都成等差

    數列,每列的7個數自上而下依次也都成等差數列,

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    且正中間的數a=1,則表中所有數的和為_____.

     

     

     

     

     

     

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    三、解答題:本大題共6小題,共80分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟

    16、(本小題滿分12分)如圖所示,以向量為邊

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    作平行四邊形,,

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      (1)用表示

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    (2)若,求的最大值.

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    17、(本小題滿分12分)已知袋中有編號為1~9的小球各一個,它們的大小相同,從中任取三個小球.求:

    (Ⅰ)恰好有一球編號是3的倍數的概率;

    (Ⅱ)至少有一球編號是3的倍數的概率;

    (Ⅲ)三個小球編號之和是3的倍數的概率.

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    18、(本小題滿分14分)已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在x軸上,橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形,兩準線間的距離為4.

    (Ⅰ)求橢圓的方程;

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    (Ⅱ)直線過點P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點,當ΔAOB面積取得最大值時,求直線l的方程.

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    19、(本小題滿分14分)(Ⅰ)試討論方程(1-kx2+(3-k2y2=4(k∈R)所表示的曲線;

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    (Ⅱ)設雙曲線的中心在原點,準線平行于x軸,離心率為,且點P(0,5)到此雙曲線上的點的最近距離為2,求雙曲線的方程.

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    20、(本小題滿分14分)已知在棱長為1的正方體中,

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    M,N,P分別為的中點。求異面直線

    所成的角。

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    21、(本小題滿分14分)對于函數f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,則稱x0f(x)的不動點  已知函數f(x)=ax2+(b+1)x+(b?1)(a≠0)

    (1)若a=1,b=?2時,求f(x)的不動點;

    (2)若對任意實數b,函數f(x)恒有兩個相異的不動點,求a的取值范圍;

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    (3)在(2)的條件下,若y=f(x)圖象上A、B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點,且A、B關于直線y=kx+對稱,求b的最小值 

    湖南省衡陽市祁東縣育賢中學高三文科數學試題(2007年1月)

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    一、           選擇題:

    1、答案:D

    解:②表示垂直于同一平面的兩條直線互相平行;

    ③表示垂直于同一直線的兩個平面互相平行;

    2、答案:D ;

    解:,非P真;又真,所以選D;

    3、答案:B ;

    解:本題考查了正方體堆壘問題及數列通項公式的求解.列出該數列的前幾項,通過相鄰項間的關系可得出該數列的規(guī)律而得出一等差數列.

    由圖示可得,該正方體的個數所組成的數列1,3,6,…, 其后一項減前一項得一數列2,3,4,…為一個等差數列.由此可得第6層的正方體的個數為1,3,6,10,15,21,… ,

    故應選B.

    4、答案:D ;

    解:的圖象向右平移單位后得到:,故選D;

    5、答案:B ;

    解:據題意可知集合A表示函數的定義域,,易化簡得,由于BA,故當時,即時易知符合題意;當時,,要使BA,結合數軸知需(經驗證符合題意)或(經驗證不合題意舍去),解得,故綜上所述可知滿足條件的的取值范圍是,故答案為B;

    6、答案:D ;

    解:由圖象變換可以得到兩個圖象間的關系,函數是由函數的圖象向右平移一個單位得到,而是由函數的圖象關于y軸對稱得到再向右平移一個單位得到,故兩函數的圖象關于直線對稱。故選D

    7、答案:B ;

    解:兩直線平行,則其斜率相等,利用兩點間直線的斜率公式可以得兩字母間的關系,于是可得兩點間的距離.

    由題意得

    所以故應選B.

    8、答案:B ;

    解:由于,故函數的定義域為,根據已知0<a<b<c,則易將函數解析式化簡為= ,故且其定義域關于原點對稱,即函數為偶函數,其圖象關于y軸對稱。故應選B.

    9、答案:C ;

    解:本題考查直線的斜率,由垂直關系得兩直線的斜率之積為,再由均值不等式轉化轉化得出不等關系式,分類討論得出的最小值.由題意,

    ∵兩直線互相垂直,

    ,即,

    ,則.

    時,;當時,.

    綜合得的最小值為. 故應選C.

    10、答案:C ;

    解:由題意可知,存在,使,即,從函數定義出發(fā),畫出映射幫助思考,從A到B再到C是由題意可得,如果繼續(xù)對C集合中的,應用法則,則會得到,從B到C再到D的映射為,即存在,使,即函數過點,即方程有解,易知在實數集R上無解故選D。

    二、           填空題:

    11、答案:1 ;

    解:根據集合中元素的確定性,我們不難得到兩集合的元素是相同的,這樣需要列方程組分類討論,顯然復雜又煩瑣.這時若能發(fā)現0這個特殊元素,和中的a不為0的隱含信息,就能得到如下解法.由已知得=0,及a≠0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根據集合中元素的互異性a=1應舍去,因而a=-1,故a2008+b2008=(-1) 2008=1.

    12、答案:120度;

    解:依題意可知:A、O、B、C構成平形四邊形,,故的內角C為120度;

    13、答案:;

    解:

    .

    14、答案: ;

    解:,設,依題意可知:,又P在曲線上,故,故點P的坐標為

    15、答案:49 ;

    解:本題考查用取特殊值法進行驗證.由題意分析,

    不妨設各個格中的數都為1, 則符合題意要求,所以表中所有數字之和為49.

    三、            解答題:

    16、 解:(1)因為              

    ,   

    所以.          

    (2)由,

    亦即

    當且僅當時取得等號.

    故當時有有最大值.  

    17、 解:(Ⅰ)從九個小球中任取三個共有種取法,它們是等可能的.設恰好有一球編號是3的倍數的事件為A,

    .

    (Ⅱ)設至少有一球編號是3的倍數的事件為B,

    .

    (Ⅲ)設三個小球編號之和是3的倍數的事件為C,設集合, ,則取出三個小球編號之和為3的倍數的取法共有種,則.

    18、解:設橢圓方程為

    (Ⅰ)易得所求橢圓方程為.

    (Ⅱ)解法一:由題意知直線的斜率存在,設直線的方程為

    ,消去y得關于x的方程:

    由直線與橢圓相交于A、B兩點,解得

    又由韋達定理得原點到直線的距離.

    兩邊平方整理得:(*)∵,

    整理得:      從而的最大值為,此時代入方程(*)得  

    所以,所求直線方程為:.

    19、(Ⅰ)解:(1)3-k2>1-k>0k∈(-1,1),方程所表示的曲線是焦點在x軸上的橢圓;

    (2) 1-k>3-k2>0k∈(-,-1),方程所表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓;

    (3)1-k=3-k2>0k=-1,表示的是一個圓;

    (4)(1-k)(3-k2)<0k∈(-∞,-)∪(1,),表示的是雙曲線;

    (5)k=1,k=-,表示的是兩條平行直線;k=,表示的圖形不存在.

    (Ⅱ)解:依題意,設雙曲線的方程為=1(a>0,b>0).∵e==,c2=a2+b2,∴a2=4b2.

    Mx,y)為雙曲線上任一點,則|PM|2=x2+(y-5)2=b2-1)+(y-5)2=y-4)2+5-b2(|y|≥2b).

    ①若4≥2b,則當y=4時,|PM|min2=5-b2=4,得b2=1,a2=4.從而所求雙曲線方程為x2=1.

    ②若4<2b,則當y=2b時,|PM|min2=4b2-20b+25=4,得b=(舍去b=),b2=,a2=49.

    從而所求雙曲線方程為=1.

    20、解:如圖,連結,由中點,則從而.故AM和所成的角為所成的角,易證。所以,故所成的角為。又設AB的中點為Q,則從而CN與AM所成的角就是(或其補角)。易求得中,由余弦定理得,故所成的角為。

    21、解  (1)當a=1,b=?2時,f(x)=x2?x?3,

    由題意可知x=x2?x?3,得x1=?1,x2=3 

    故當a=1,b=?2時,f(x)的兩個不動點為?1,3 

    (2)∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b?1)(a≠0)恒有兩個不動點,

    x=ax2+(b+1)x+(b?1),

    ax2+bx+(b?1)=0恒有兩相異實根

    ∴Δ=b2?4ab+4a>0(b∈R)恒成立 

    于是Δ′=(4a)2?16a<0解得0<a<1

    故當b∈R,f(x)恒有兩個相異的不動點時,0<a<1 

    (3)由題意A、B兩點應在直線y=x上,設A(x1,x1),B(x2,x2)

    又∵A、B關于y=kx+對稱 

    k=?1  設AB的中點為M(x′,y′)

    x1,x2是方程ax2+bx+(b?1)=0的兩個根 

    x′=y′=

    又點M在直線上有,

    a>0,∴2a+≥2當且僅當2a=a=∈(0,1)時取等號,

    b≥?,得b的最小值? 

     

    作者:     湖南省衡陽市祁東縣育賢中學  高明生  彭鐵軍

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