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的數表,若表中每行的7個數自左至右依次都成等差 數列,每列的7個數自上而下依次也都成等差數列,
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且正中間的數a=1,則表中所有數的和為_____.
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三、解答題:本大題共6小題,共80分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟 16、(本小題滿分12分)如圖所示,以向量為邊
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.
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(1)用表示;
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(2)若,求的最大值.
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17、(本小題滿分12分)已知袋中有編號為1~9的小球各一個,它們的大小相同,從中任取三個小球.求: (Ⅰ)恰好有一球編號是3的倍數的概率; (Ⅱ)至少有一球編號是3的倍數的概率; (Ⅲ)三個小球編號之和是3的倍數的概率.
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18、(本小題滿分14分)已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在x軸上,橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形,兩準線間的距離為4. (Ⅰ)求橢圓的方程;
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(Ⅱ)直線過點P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點,當ΔAOB面積取得最大值時,求直線l的方程.
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19、(本小題滿分14分)(Ⅰ)試討論方程(1-k)x2+(3-k2)y2=4(k∈R)所表示的曲線;
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(Ⅱ)設雙曲線的中心在原點,準線平行于x軸,離心率為,且點P(0,5)到此雙曲線上的點的最近距離為2,求雙曲線的方程.
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20、(本小題滿分14分)已知在棱長為1的正方體中,
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M,N,P分別為的中點。求異面直線 所成的角。
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21、(本小題滿分14分)對于函數f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的不動點 已知函數f(x)=ax2+(b+1)x+(b?1)(a≠0) (1)若a=1,b=?2時,求f(x)的不動點; (2)若對任意實數b,函數f(x)恒有兩個相異的不動點,求a的取值范圍;
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(3)在(2)的條件下,若y=f(x)圖象上A、B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點,且A、B關于直線y=kx+對稱,求b的最小值 湖南省衡陽市祁東縣育賢中學高三文科數學試題(2007年1月)
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一、
選擇題: 1、答案:D 解:②表示垂直于同一平面的兩條直線互相平行; ③表示垂直于同一直線的兩個平面互相平行; 2、答案:D ; 解:,非P真;又真,所以選D; 3、答案:B ; 解:本題考查了正方體堆壘問題及數列通項公式的求解.列出該數列的前幾項,通過相鄰項間的關系可得出該數列的規(guī)律而得出一等差數列. 由圖示可得,該正方體的個數所組成的數列1,3,6,…,
其后一項減前一項得一數列2,3,4,…為一個等差數列.由此可得第6層的正方體的個數為1,3,6,10,15,21,… , 故應選B. 4、答案:D ; 解:的圖象向右平移單位后得到:,故選D; 5、答案:B ; 解:據題意可知集合A表示函數的定義域,,易化簡得,由于BA,故當時,即時易知符合題意;當時,,要使BA,結合數軸知需或(經驗證符合題意)或(經驗證不合題意舍去),解得,故綜上所述可知滿足條件的的取值范圍是,故答案為B; 6、答案:D ; 解:由圖象變換可以得到兩個圖象間的關系,函數是由函數的圖象向右平移一個單位得到,而是由函數的圖象關于y軸對稱得到再向右平移一個單位得到,故兩函數的圖象關于直線對稱。故選D 7、答案:B ; 解:兩直線平行,則其斜率相等,利用兩點間直線的斜率公式可以得兩字母間的關系,于是可得兩點間的距離. 由題意得 所以故應選B. 8、答案:B ; 解:由于,故函數的定義域為,根據已知0<a<b<c,則易將函數解析式化簡為= ,故且其定義域關于原點對稱,即函數為偶函數,其圖象關于y軸對稱。故應選B. 9、答案:C ; 解:本題考查直線的斜率,由垂直關系得兩直線的斜率之積為,再由均值不等式轉化轉化得出不等關系式,分類討論得出的最小值.由題意, ∵兩直線互相垂直, ∴,即, ∴,則. 當時,;當時,. 綜合得的最小值為. 故應選C. 10、答案:C ; 解:由題意可知,存在,使,即,從函數定義出發(fā),畫出映射幫助思考,從A到B再到C是由題意可得,如果繼續(xù)對C集合中的,應用法則,則會得到,從B到C再到D的映射為,即存在,使,即函數過點,即方程有解,易知在實數集R上無解故選D。 二、
填空題: 11、答案:1 ; 解:根據集合中元素的確定性,我們不難得到兩集合的元素是相同的,這樣需要列方程組分類討論,顯然復雜又煩瑣.這時若能發(fā)現0這個特殊元素,和中的a不為0的隱含信息,就能得到如下解法.由已知得=0,及a≠0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根據集合中元素的互異性a=1應舍去,因而a=-1,故a2008+b2008=(-1) 2008=1. 12、答案:120度; 解:依題意可知:A、O、B、C構成平形四邊形,,故的內角C為120度; 13、答案:; 解: . 14、答案: ; 解:,設,依題意可知:,又P在曲線上,故,故點P的坐標為 ; 15、答案:49 ; 解:本題考查用取特殊值法進行驗證.由題意分析, 不妨設各個格中的數都為1,
則符合題意要求,所以表中所有數字之和為49. 三、
解答題: 16、 解:(1)因為
, 所以.
(2)由即, 亦即. 故, 當且僅當時取得等號. 又. 故當時有有最大值. 17、 解:(Ⅰ)從九個小球中任取三個共有種取法,它們是等可能的.設恰好有一球編號是3的倍數的事件為A, 則. (Ⅱ)設至少有一球編號是3的倍數的事件為B, 則 . (Ⅲ)設三個小球編號之和是3的倍數的事件為C,設集合, ,則取出三個小球編號之和為3的倍數的取法共有種,則. 18、解:設橢圓方程為 (Ⅰ)易得所求橢圓方程為. (Ⅱ)解法一:由題意知直線的斜率存在,設直線的方程為 由,消去y得關于x的方程: 由直線與橢圓相交于A、B兩點,解得 又由韋達定理得原點到直線的距離. 對兩邊平方整理得:(*)∵, 整理得: 又, 從而的最大值為,此時代入方程(*)得 所以,所求直線方程為:. 19、(Ⅰ)解:(1)3-k2>1-k>0k∈(-1,1),方程所表示的曲線是焦點在x軸上的橢圓; (2) 1-k>3-k2>0k∈(-,-1),方程所表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓; (3)1-k=3-k2>0k=-1,表示的是一個圓; (4)(1-k)(3-k2)<0k∈(-∞,-)∪(1,),表示的是雙曲線; (5)k=1,k=-,表示的是兩條平行直線;k=,表示的圖形不存在. (Ⅱ)解:依題意,設雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0).∵e==,c2=a2+b2,∴a2=4b2. 設M(x,y)為雙曲線上任一點,則|PM|2=x2+(y-5)2=b2(-1)+(y-5)2=(y-4)2+5-b2(|y|≥2b). ①若4≥2b,則當y=4時,|PM|min2=5-b2=4,得b2=1,a2=4.從而所求雙曲線方程為-x2=1. ②若4<2b,則當y=2b時,|PM|min2=4b2-20b+25=4,得b=(舍去b=),b2=,a2=49. 從而所求雙曲線方程為-=1. 20、解:如圖,連結,由為中點,則從而.故AM和所成的角為所成的角,易證≌。所以,故所成的角為。又設AB的中點為Q,則又從而CN與AM所成的角就是(或其補角)。易求得在中,由余弦定理得,故所成的角為。 21、解 (1)當a=1,b=?2時,f(x)=x2?x?3, 由題意可知x=x2?x?3,得x1=?1,x2=3 故當a=1,b=?2時,f(x)的兩個不動點為?1,3 (2)∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b?1)(a≠0)恒有兩個不動點, ∴x=ax2+(b+1)x+(b?1), 即ax2+bx+(b?1)=0恒有兩相異實根 ∴Δ=b2?4ab+4a>0(b∈R)恒成立 于是Δ′=(4a)2?16a<0解得0<a<1 故當b∈R,f(x)恒有兩個相異的不動點時,0<a<1 (3)由題意A、B兩點應在直線y=x上,設A(x1,x1),B(x2,x2) 又∵A、B關于y=kx+對稱 ∴k=?1 設AB的中點為M(x′,y′) ∵x1,x2是方程ax2+bx+(b?1)=0的兩個根 ∴x′=y′=, 又點M在直線上有, 即 ∵a>0,∴2a+≥2當且僅當2a=即a=∈(0,1)時取等號, 故b≥?,得b的最小值? 作者: 湖南省衡陽市祁東縣育賢中學 高明生 彭鐵軍 PC: 421600 TEL: 0734---6184532 Cellphone: 13187168216 E―mail: hunanqidonggms@163.com QQ: 296315069
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