安徽省皖南八校2009屆高三第二次聯(lián)考

理科數(shù)學(xué)

考生注意：

1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。

2．答題前，請考生務(wù)必將答題紙左側(cè)密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上，在試題卷上作答無效。

參考公式

如果事件，互斥，那么                                                                     球的體積公式

                                                                           

                                如果事件，相互獨(dú)立，那么                                      其中表示球的半徑

                                                                             棱柱的體積公式

如果事忙在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率      

是，那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件   其中表示棱柱的底面積，表示棱柱的高

恰好發(fā)生次的概率                                                                                    棱錐的體積公式

 

球的表面積公式                                                                                            其中表示棱錐的底面積，表示棱錐的高

第Ⅰ卷  （選擇題  共6 0分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．若（是虛數(shù)單位），則等于

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A．                                                                                          B．                                                                                                    C．                                                                                                    D．

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2．從某校高三年級隨機(jī)抽取一個班，對該班50名學(xué)生的高校招生體檢表中視力情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果的頻率分布直方圖如右圖：若某高校專業(yè)對視力的要求在0．9以上，則該班學(xué)生中能報(bào)專業(yè)的人數(shù)為

A．10                                                             B．20             C．8                                                   D．16

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3．已知集合，則的充要條件是    A．       B．       C．         D．

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4．若，且，則等于

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A．56               B．             C．35               D．

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5．若，則實(shí)數(shù)等于

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A．              B．1                C．        D．

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6．已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，當(dāng)時，，則不等式的解集為

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A．                        B．

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C．                     D．

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7．某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的體積是

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A．

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B．

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    C．

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    D．

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8．在棱長為的正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于等于的概率為  A．              B．           C．               D．

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9．若向量，若，則等于

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    A．            B．             C．             D．

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10．極坐標(biāo)方程表示的曲線為

A．一條射線和一個圓                     B．兩條直線

C．一條直線和一個圓                     D．一個圓

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11．已知曲線，點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與曲線相切于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為       A．            B．1            C．              D．2

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12．已知滿足點(diǎn)在圓，則的最大值與最小值分別為

A．6，3             B．5，3             C．6，2             D．5，2

第Ⅱ卷  （非選擇題  共9 0分）

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二、填空題：本大題共4小題。每小題4分，共l6分。把答案填在題中的橫線上。

13．曲線 的普通方程為                       ．

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14．若數(shù)列的前項(xiàng)由如圖所示的流程圖輸出

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依次給出，則=            ．

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15．在計(jì)算“”時，某同學(xué)學(xué)

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到了如下一種方法：先改寫第項(xiàng)：

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，由此得

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，

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．

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相加，得．

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類比上述方法，請你計(jì)算“”，其結(jié)果寫成關(guān)于的一次因式的積的形式為                          ．

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16．已知雙曲線的焦距為，離心率為，若點(diǎn)與到直線的距離之和，則的取值范澍是                       ．

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三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。

17．（本小題滿分1 2分）

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三角形的三內(nèi)角，，所對邊的長分別為，，，設(shè)向量，若，

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（1）求角的大�。�

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（2）求的取值范圍．

 

 

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18．（本小題滿分1 2分）

    甲有一個放有3個紅球、2個白球、1個黃球共6個球的箱子，乙也有一個放有3個紅球、2個白球、1個黃球共6個球的箱子．

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  （1）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一球，直到取得紅球?yàn)橹�，求甲取球次�?shù)的數(shù)學(xué)期望；

（2）若甲、乙兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色，規(guī)定同色時為甲勝，異色時為乙勝，這個游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由．

 

 

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19．（本小題滿分12分）

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乙知四棱臺（如圖）中，底面是正方形，且底面，．

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（1）求異面直線與所成角的余弦值；

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（2）試在平面中確定一個點(diǎn)，使得平面；

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（3）求二面角的余弦值（滿足（2））．

 

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20．（本小題滿分12分）

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已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且成等比數(shù)列．

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（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和公式；

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（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．

 

 

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21．（本小題滿分12分）

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如圖，橢圓為橢圓的左、右頂點(diǎn)．

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（1）設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)橢圓上的點(diǎn)在橢圓的左、右頂點(diǎn)時，取得最小值與最大值；

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（2）若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為l，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

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（3）若直線與（2）中所述橢圓相交于、兩點(diǎn)（、不是左右頂點(diǎn)），且滿是，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

 

 

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22．（本小題滿分14分）

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已知函數(shù)，

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（1）當(dāng)時，判斷在定義域上的單調(diào)性；

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（2）若在上的最小值為，求的值；

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    （3）若在上恒成立，求的取值范圍．

 

 

 

皖南八校2009屆高三第二次聯(lián)考?數(shù)學(xué)試卷

試題詳情

1．D    2．B    3．C    4．B    5．A    6．B    7．B    8．D    9．C    10．C

l1．A   12．C

13．

14．15

15．

16．

提示：

1．D    ．

2．B    視力住0．9以上的頻率為，人數(shù)為．

3．C    ，且

        若，則且

        反之，若，則

4．B    ，由，得．

．

5．A    ．

6．B   

當(dāng)時，，由得；

當(dāng)時，；

    當(dāng)時，，由．

7．B    該幾何體是上面是正四棱錐，下面為正方體，體積為

．

8．D    ．

9．C    ，

，

，

，

．

10．C  

即，或．

1l．A   設(shè)．

則方程為．

過點(diǎn)

,

,

,

．

 12．C  畫出平面區(qū)域，

圓的圓心，半徑為l，

的最大值為的最小值為

．的最大值為，最小值為

13．．

    ，    ．

14．15  ；

    ；

    ．

15．

   

   

    ．

16．．

    又

   

17．解：（1），                          （2分）

．                            （4分）

        由余弦定理，得．                                （6分）

（2），                                 （7分）

      （9分）                               （10分）

                                         （11分）

                            （12分）

18．解：（1）的可能取值為l，2，3，4．

       

                                              （4分）

        ∴甲取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望． （6分）

（2）由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色

共有（種）不同情形，                            （8分）

每種情形都是等可能，記甲獲勝為事件A，則

                    （11分）

        所以甲獲勝的概率小于乙獲勝的概率，這個游戲規(guī)則不公平           （12分）

19．解：以為原點(diǎn)，、、所在的直線為

，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則

                    （3分）

（1），

即直線與所成角的余角的余弦值為             （6分）

（2）設(shè)

        由平面得

即   得

，即為的中點(diǎn)．                                 （9分）

（3）由（2）知為平面的法向量．

        設(shè)為平面的法向量，

       

        由即

令得，

，

即二面角的余弦值為                （12分）

（非向量解法參照給分）

20．（1）解：成等比數(shù)列，，即

又，                                         （3分）

                             （5分）

（2）證明： ．                          （6分）

        是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，

                                         （7分）

       

        （當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）．                                                 ①              （9分）

       

     當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”．                     ②            （11分）

        又①②中等號不可能同時取到，  （12分）

21．解：（1）設(shè)．

對稱軸方程．由題意恒成立，                        （2分）

在區(qū)間上單凋遞增，                                （3分）

        ∴當(dāng)且僅當(dāng)橢圓上的點(diǎn)在橢圓的左、右頂點(diǎn)時取得最小值與最大值．（4分）

（安徽高中數(shù)學(xué)網(wǎng)站注：這里用橢圓第二定義根簡單直觀）

（2）由已知與（1）得：，

，                                  （5分）

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                                 （6分）

（3）設(shè)，聯(lián)立

得．                             （7分）

則

又，（8分）

∵橢圓的右頂點(diǎn)為，

                                         （9分）

        解得：，且均滿足，           （10分）

        當(dāng)時，的方程為，直線過定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾．

當(dāng)時，的方程為，直線過定點(diǎn)（，0），       （11分）

∴直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．                              （12分）

22，解：（1）由題意：的定義域?yàn)?sub>，且．

，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)．          （2分）

（2）由（1）可知：

① 若，則，即在上恒成立，此時在上為增函數(shù)，

（舍去）．                       （4分）

② 若，則，即在上恒成立，此時在上為減函數(shù)，

（舍去）．                 （6分）

        ③ 若，令得，

        當(dāng)時，在上為減函數(shù)，

        當(dāng)時，在上為增函數(shù)，

                    （9分）

綜上可知：．                                           （10分）（3）．

        又                                         （11分）

        令，

        在上是減函數(shù)，，即，

        在上也是減函數(shù)，．

        令得，∴當(dāng)在恒成立時，．（14分）

 

 


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