湖北省天門六校2009屆高三第四次聯(lián)考

數(shù)學(xué)理科 

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

第Ⅰ卷（選擇題 共50分）

一.選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.f(x) =cos4x+sin4x的最小正周期是（    ）

   A .            B.          C.         D.

2.已知，且a+b=1，則下列不等式中，正確的是（    ）

A．                                               B．        

C．                              D．

3．設(shè)、是非零向量，的圖象是一條直線，則必有（    ）

       A．                B．                 C．            D．

4.從一塊短軸長(zhǎng)為2b的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值范圍是[3b2，4b2]，則這一橢圓離心率e的取值范圍是（    ）

A．      　　　　　　　　　　　　　B． 

C．      　　　　　　　　　　　　　D．

5.已知{}是等差數(shù)列,, ,則過點(diǎn)，

    20070324

    A．4              B．              C．－4                 D．－

    6.已知AB是橢圓=1的長(zhǎng)軸，若把線段AB五等份，過每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線，分別與橢圓的上半部分相交于C、D、E、G四點(diǎn)，設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn)，則的值是（   ）

    A．15                  B．16                   C．18                   D．20

    7.設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則成立的的取值范圍是

      A．                                                  B．         

    C．                                         　D．

    8.在坐標(biāo)平面內(nèi),與點(diǎn)A（1，2）的距離為1，且與點(diǎn)B（5，5）的距離為d的直線共有4條，則d的取值范圍是

    A．0＜d＜4  　　　　　　　　　　  B.d≥4    　　 

    C.4＜d＜6  　　　　　　　　　　　 D.以上結(jié)果都不對(duì)

    9.已知，滿足且目標(biāo)函數(shù)的最大值為7，最小值為１，則

    �。ā　。粒�-２；　　　　�。拢�；　　　Ｃ．１；　　　 Ｄ．-１；

    10．給出定義：若（其中m為整數(shù)），則m 叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作= m. 在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題：    

    ①函數(shù)y=的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?sub>；

    ②函數(shù)y=的圖像關(guān)于直線（）對(duì)稱；

    ③函數(shù)y=是周期函數(shù)，最小正周期為1；

    ④函數(shù)y=在上是增函數(shù)。

    其中正確的命題的序號(hào)是(    ）

    A. ①   　　　　  B.�、冖�  　　　  C ①②③ 　　　　  D ①④

     

    第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）

     

    二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在答題卡相應(yīng)位置上。

    11．已知是拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形平面區(qū)域內(nèi)（含邊界）的任意一點(diǎn)，則的最大值為           

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    12．奇函數(shù)的反函數(shù)是，若，則的值是         

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    13．在算式“9×△+1×□=48”中的△，□中，分別填入兩個(gè)正整數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，則這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)對(duì)為（△，□）應(yīng)為                。

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    14.對(duì)任意兩個(gè)集合M、N，定義：，，設(shè)，，則       ________________。

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    15已知函數(shù)f (x)=－log2x正實(shí)數(shù)a、b、c成公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且滿足

    f (a) f (b)f (c)<0,若實(shí)數(shù)d是方程f (x)=0的一個(gè)解，那么下列四個(gè)判斷：

    ① d<a;  ②d>b;  ③d<c;  ④d>c中有可能成立的為                     （填序號(hào)）

     

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    三．解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

    16.(本小題12分)已知中，，，，

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    記，（1）求關(guān)于的表達(dá)式；（2）求的值域；

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    17．(本小題滿分12分)已知數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在直線上，為常數(shù)，。 
    （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
    （2）當(dāng)，且是S中的一個(gè)最大項(xiàng)，試求的取值范圍。

     

     

     

     

     

     

     

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    18.(本小題12分)已知, ，，.

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    （1）當(dāng)時(shí)，求使不等式成立的x的取值范圍；

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    （2）求使不等式成立的x的取值范圍.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    19.(本小題12分)為貫徹落實(shí)黨的十七大精神,加快新農(nóng)村建設(shè)步伐,某鎮(zhèn)政府投資c萬元生產(chǎn)甲乙兩種商品,據(jù)測(cè)算,投資甲商品x萬元,可獲得利潤(rùn)P=x萬元,投資乙商品x萬元可獲得利潤(rùn)Q=40萬元，如果鎮(zhèn)政府聘請(qǐng)你當(dāng)投資顧問，試問對(duì)甲乙兩種商品的資金投入分別是多少萬元？才能獲得最大利潤(rùn),獲得最大利潤(rùn)是多少萬元？

     

     

     

     

     

     

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    20.(本小題13分) 橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，離心率e = ，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1-e, 直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且．

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    （1）求橢圓方程；   （2）若，求m的取值范圍．

     

     

     

     

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    21.(本小題14分)設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足”

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    (1)判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由；

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    (2)若集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：“若的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意，都存在，使得等式成立”

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    試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

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    (3)設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于定義域中的任意的，當(dāng)且時(shí)，

     

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    一．BCAAC      DAAAC

     

    二．11．5　 12.０�。保�.（４，１２）１４.［－３，０）∪（３，＋∞）�。保耽佗冖�

    三.１６解：（1）由正弦定理有：；。。。。。（２分）

    　　　　∴，；。。。。。。。。。。。。。（４分）

    ∴

    　　                        。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（７分）

    （2）由；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（８分）

    ∴；。。。。。。。。（１０分）∴。。。。。。。。。。。。。（１２分）

     

    １７。解：（Ⅰ）由題意可知    數(shù)列是等差數(shù)列  ………（2分）

    ，

    當(dāng)時(shí)，

    兩式相減，得      ………………………（4分）

    時(shí)也成立

    ∴的通項(xiàng)公式為：     ………………………………（6分）

    （Ⅱ）由前項(xiàng)和公式得

    當(dāng)時(shí)，………………………………………（８分）

    ∵最大， 則有 ，解得 …………………………….（１２分）

    １８。解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，.

             . ……………………………………… 2分

             ∵ ,

    ∴     解得 或.

    ∴ 當(dāng)時(shí)，使不等式成立的x的取值范圍是

    .…………………………………………… 5分

          （Ⅱ）∵ ,…… 8分

                ∴ 當(dāng)m<0時(shí),；

                   當(dāng)m=0時(shí), ；

                   當(dāng)時(shí)，；

                   當(dāng)m＝1時(shí)，；

                   當(dāng)m>1時(shí)，.  .............................................12

    １9。解：設(shè)對(duì)甲廠投入x萬元（0≤x≤c）,則對(duì)乙廠投入為c―x萬元．所得利潤(rùn)為

    y=x+40（0≤x≤c） ……………………（3分）

    令=t（0≤t≤）,則x=c－t2

    ∴y=f（t）=－t2+40t+c=－（t―20）2+c+400……………………（6分）

    當(dāng)≥20,即c≥400時(shí),則t=20, 即x=c―400時(shí), ymax =c+400… （8分）

    當(dāng)0<<20, 即0<c<400時(shí),則t=,即x=0時(shí),ymax=40 ．…（10分）

    答：若政府投資c不少于400萬元時(shí),應(yīng)對(duì)甲投入c―400萬元, 乙對(duì)投入400萬元,可獲得最大利潤(rùn)c+400萬元．政府投資c小于400萬元時(shí),應(yīng)對(duì)甲不投入,的把全部資金c都投入乙商品可獲得最大利潤(rùn)40萬元．…（12分）

    20。解：（1）設(shè)C：＋＝1（a>b>0），設(shè)c>0，c2＝a2－b2，由條件知a-c＝，＝，

    ∴a＝1，b＝c＝，

    故C的方程為：y2＋＝1　     ………………………………………(5分)

    （2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，

    ∴λ＋1＝4，λ＝3　            ………………………………………………(7分)

    設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）

    得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0

    Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）

    x1＋x2＝， x1x2＝　  ………………………………………………(9分)

    ∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴

    消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0

    整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　  ………………………………………………(11)分

     

    m2＝時(shí)，上式不成立；m2≠時(shí)，k2＝，                                  

    因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1

    容易驗(yàn)證k2>2m2－2成立，所以（*）成立

    即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1）     ………………………(13分)

    21. 解：(Ⅰ)易知0是f(x)－x=0的根………………………（1分）

                               0＜≤(x)=+sinx≤＜1………..（3分）

                ∴f(x)∈M…………………………………………………（4分）

     

    Ⅱ)假設(shè)存在兩個(gè)實(shí)根，則，不妨設(shè)，由題知存在實(shí)數(shù)，使得成立�！�，且，∴

    與已知矛盾，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根……………………（8分）

    (Ⅲ) 不妨設(shè)，∵，∴為增函數(shù)，∴，又∵∴函數(shù)為減函數(shù)，∴，………………….（10分）

    ∴，即，……..（12分）

    ∴….（14分）

     


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