2、求最值問題的步驟是什么？（先求極值，再與端點(diǎn)值比較得到最值）

問題：如何應(yīng)用？又如何求實(shí)際問題的最值？

   例1、把長(zhǎng)為60cm的鐵絲圍成矩形，長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)矩形的面積最大？

解：設(shè)長(zhǎng)為xcm,則寬為30-xcm，0<x<30

[方法一]S=x(30-x)=-x²+30x,是x的二次函數(shù)當(dāng)x=-=15時(shí)，S最大

答：長(zhǎng)、寬都為15cm時(shí)，矩形的面積最大

[方法二]S=x(30-x)≤=225，等號(hào)成立x=30-xx=15

答：長(zhǎng)、寬都為15cm時(shí)，矩形的面積最大

[方法三]S= x(30-x)=-x²+30x,S^/=-2x+30,0<x<15時(shí)S^/>0,S(x)↑；x>15時(shí)S^/<0,S(x)↓；∴當(dāng)x=15時(shí)，S極大，在定義域內(nèi)無其他極值，故S最大   

答：長(zhǎng)、寬都為15cm時(shí)，矩形的面積最大

說明1：解應(yīng)用題一般有四個(gè)要點(diǎn)步驟：設(shè)――列――解――答

說明2：用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，與求函數(shù)極值方法類似，加一步與幾個(gè)極值及端點(diǎn)值比較即可。

變形1：把長(zhǎng)為60cm的鐵絲分成兩段，各圍成一個(gè)正方形，怎樣分法能使正方形面積和最��？（均30cm）

變形2：把長(zhǎng)為60cm的鐵絲分成兩段，一個(gè)圍成一個(gè)正方形，另一個(gè)圍成圓，怎樣分法能使正方形和圓的面積和最�。浚ㄒ欢螢�）

例2、有一個(gè)容積為256m³的方底無蓋水箱，它的高為多少時(shí)，用料最�。�

解：設(shè)高為h, 底面邊長(zhǎng)為x，則x²h=256,表面積S=x²+4xh=x²+,S^/=2x-= x>8時(shí)S^/>0,S(x)↑；0<x<8時(shí)S^/<0,S(x) ↓,在x>0上只有一個(gè)極小值，故x=8時(shí)S最小此時(shí)h=4

答：高為4m時(shí)，用料最省

練習(xí)：在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長(zhǎng)相等的小正方形，再把它的邊沿折起，做成一個(gè)無蓋的方底鐵皮箱。當(dāng)箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？（40cm,16000cm³）

例3、如圖所示的電路圖中，已知電源的內(nèi)阻為r,電動(dòng)勢(shì)為E。當(dāng)外電阻R多大時(shí)，才能使電功率最大？最大電功率是多少？

解：電功率P=I²R,其中I=為電流強(qiáng)度，則P=()²R=(R>0),

[方法一]P^/=E²=E²,R>r時(shí)P^/<0函數(shù)單調(diào)減，R<r時(shí)P^/>0函數(shù)單調(diào)增，而且僅有一個(gè)極值，故R=r時(shí)，P最大，最大值為

答：外電阻R=r時(shí)，電功率最大,最大電功率是

 [方法二]P==≤=，等號(hào)成立R=R=r

答：外電阻R=r時(shí)，電功率最大,最大電功率是

[方法三] P=，PR²+(2rP-E²)R+Pr²=0在R>0上有解，△=（2rP-E²）²-4P²r²≥0,P≤，

此時(shí)R=r

答：外電阻R=r時(shí)，電功率最大,最大電功率是

說明：求最值要注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，也就是說取得這樣的值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量必須有解

練習(xí)：已知在某點(diǎn)的照度與光的強(qiáng)度成正比，與距光源的距離的平方成反比。強(qiáng)度分別為a,b的兩個(gè)光源A,B的距離為d,問在連接兩個(gè)光源的線段AB上，何處照度最��？

2、用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，與求函數(shù)極值方法類似，加一步與幾個(gè)極值及端點(diǎn)值比較即可，注意取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量必須有解。

[補(bǔ)充習(xí)題B]

1、要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則其高應(yīng)為_____

2、如圖，某農(nóng)場(chǎng)要修建3個(gè)養(yǎng)魚塘，每個(gè)面積為10 000米²，魚塘前面要留4米的運(yùn)料通道，其余各邊為2米寬的堤埂，則占地面積最少時(shí)，每個(gè)魚塘的長(zhǎng)寬分別為 _____

3、如圖,將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個(gè)無蓋的正六棱柱容器．當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為_______時(shí),其容積最大．

4、已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y=4-x²在x軸上方的曲線上，求這種矩形面積最大時(shí)的邊長(zhǎng)

[C]組5、從邊長(zhǎng)2a的正方形鐵片的四個(gè)角各截一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形，然后折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子，要求長(zhǎng)方體的高度x與底面正方形邊長(zhǎng)的比不超過正常數(shù)t .

（Ⅰ）把鐵盒的容積V表示為x的函數(shù)，并指出其定義域；

（Ⅱ）x為何值時(shí)，容積V有最大值.

 [答案]1、;  2、長(zhǎng)150米，寬米；3、；4、分別為、

5、解：（Ⅰ）由已知正方形的長(zhǎng)為2a-2x,高為x，

（Ⅱ）

x

V′

+

0

－

[教后感想與作業(yè)情況]

1.4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用(2)____單峰函數(shù)的最值

[教學(xué)目標(biāo)]

[重點(diǎn)、難點(diǎn)]單峰函數(shù)求最值的步驟與方法

[教學(xué)流程]

思考問題：每個(gè)問題這樣進(jìn)行，能否進(jìn)一步簡(jiǎn)化？

例1、某種圓柱形飲料溶積V一定，如何確定其高與底面半徑，才能使它的用料最��？

解：設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為R，則V=πR²h,表面積S(R)=2πRh+2πR²=2(+πR²)(R>0),S^/(R)=-+4πR=0,解得R=,h=2即h=2R,∵S(R)在定義域內(nèi)僅有一個(gè)極小值∴它就是最小值

答：當(dāng)高與罐底直徑相等時(shí)，用料最省

說明1：這種在定義域內(nèi)僅有一個(gè)極值的函數(shù)稱單峰函數(shù)

說明2：用導(dǎo)數(shù)法求單峰函數(shù)最值，可以對(duì)一般的求法加以簡(jiǎn)化，其步驟為：

S1:列：列出函數(shù)關(guān)系式

S2:求：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

S3:述：說明函數(shù)在定義域內(nèi)僅有一個(gè)極大（小）值，從而斷定為函數(shù)的最大（�。┲�，必要時(shí)作答

練習(xí)：一個(gè)底面半徑為R,高為h的圓錐，求其內(nèi)接圓柱體積的最大值（R²h）

例2、甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時(shí)．已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：

_{可變部分與速度 v (千米/時(shí))的平方成正比、比例系數(shù)為b；固定部分為a元}

_{I．把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域}

_{II．為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？}

解：（Ⅰ）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為，全程運(yùn)輸成本為 故所求函數(shù)及其定義域?yàn)?sub>

(Ⅱ)依題意知S，a，b，v都為正數(shù)，y^/=S(-+b)=S=(v-)(v+)=0 ；若，函數(shù)在僅有一個(gè)極小值，則當(dāng)時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最小， y↑，當(dāng)v=c時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最�。�

答：為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為；當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為v=c．

例3、在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)，記為C(x),出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x),R(x)-C(x)稱為利潤(rùn)函數(shù)，記為P(x)

(1)若C(x)=10^-6x³-0.003x²+5x+1000,那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí)，邊際成本C^/(x)最低？

(2)如果C(x)=50x+10000,產(chǎn)品的單價(jià)p=100-0.01x,那么怎樣定價(jià)可以使利潤(rùn)最大？

解：(1)C^/(x)=3×10^-6x²-0.006x+5=g(x),g^/(x)=6×10^-6x-0.006=0,x=1000,而g(x)在x>0上僅有一個(gè)極小值，故x=1000時(shí)邊際成本最低

1、做一個(gè)圓柱形鍋爐，容積為V，兩個(gè)底面的材料每單位面積的價(jià)格為a元，側(cè)面的材料每單位面積價(jià)格為b元，當(dāng)造價(jià)最低時(shí)，鍋爐的直每徑與高的比為（      ）

2、過拋物線y=x²-3x上一點(diǎn)P的切線的傾斜角為45°，它與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，則△AOB的面積是                 ．

3、在半徑為的半圓內(nèi)作一內(nèi)接矩形，使其底為直徑，其他三邊為圓的弦，則梯形面積最大時(shí)，梯形上底長(zhǎng)為_________

4、海輪每小時(shí)使用的燃料費(fèi)與它的航行速度的立方成正比，已知某海輪的最大航速為30海里/小時(shí)，當(dāng)速度為10海里/小時(shí)時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)25元，其余費(fèi)用（無論速度如何）都是每小時(shí)400元，如果甲乙兩地相距800海里，則要使該海輪從甲地航行到乙地的總費(fèi)用最低，它的航速應(yīng)為__________

5、某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(t)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格p(元/t)之間的關(guān)系式為:p=24200－x²,且生產(chǎn)x t的成本為:R=50000+200x(元).問該產(chǎn)品每月生產(chǎn)多少噸才能使利潤(rùn)達(dá)到最大?最大利潤(rùn)是多少?(利潤(rùn)=收入－成本)

[C組]

6、在長(zhǎng)為100千米的鐵路線AB旁的C處有一個(gè)工廠，工廠與鐵路的距離CA為20千米.由鐵路上的B處向工廠提供原料，公路與鐵路每噸千米的貨物運(yùn)價(jià)比為5∶3，為節(jié)約運(yùn)費(fèi)，在鐵路的D處修一貨物轉(zhuǎn)運(yùn)站，設(shè)AD距離為x千米，沿CD直線修一條公路(如圖).

(1)將每噸貨物運(yùn)費(fèi)y(元)表示成x的函數(shù).

(2)當(dāng)x為何值時(shí)運(yùn)費(fèi)最�。�

答案

1、b/a ；2、8;3、r；4、20海里/小時(shí)

5、解:每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤(rùn)為f(x)=(24200－x²)x－(50000+200x)

=－x³+24000x－50000(x≥0).                                       

由f′(x)=－x²+24000=0,解得x₁=200,x₂=－200(舍去).                     

∵f(x)在［0,+∞)內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x₁=200使f′(x)=0,

∴它就是最大值點(diǎn).f(x)的最大值為f(200)=3150000(元).

∴每月生產(chǎn)200 t才能使利潤(rùn)達(dá)到最大,最大利潤(rùn)是315萬元

6、(1)設(shè)公路與鐵路每噸千米的貨物運(yùn)價(jià)分別為5k、3k(元)(k為常數(shù))AD=x，則DB=100－x.

∴每噸貨物運(yùn)費(fèi)y=(100－x)?3k+?5k(元)

(2)令y′=－3k+5k??k=0

∴5x－3=0∵x>0，∴解得x=15當(dāng)0<x<15時(shí)，y′<0;當(dāng)x>15時(shí)，y′>0

∴當(dāng)x=15時(shí)，y有最小值.       答：當(dāng)x為15千米時(shí)運(yùn)費(fèi)最省

[教后感想與作業(yè)情況]