§1.5.1曲邊梯形的面積

[教學(xué)目標(biāo)]

三、情感態(tài)度和價值觀:體會求曲邊圖形面積的過程;感受在其過程中滲透的思想方法:分割、以直代曲、逼近。

問題:如圖,陰影部分類似于一個梯形,但有一邊是曲線的一段,我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形.如何計算這個曲邊梯形的面積?

試題詳情

如研究:求圖中陰影部分是由拋物線,直線,x=0以及軸所圍成的平面圖形的面積S。

思考1:(1)曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別?(曲邊梯形有一邊是曲線段,“直邊圖形”的所有邊都是直線段)

     (2)能否將求這個曲邊梯形面積S的問題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問題?

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二、問題探究:

( “以直代曲”的思想).

 

 

 

 

 

試題詳情

                                           

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把區(qū)間分成許多個小區(qū)間,進(jìn)而把曲邊梯形拆為一些小曲邊梯形,對每個小曲邊梯形“以直代曲”,即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,得到每個小曲邊梯形面積的近似值,對這些近似值求和,就得到曲邊梯形面積的近似值.分割越細(xì),面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無限變細(xì)時,這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S.也即:用劃歸為計算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積.

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解:1.分割:在區(qū)間上等間隔地插入個點,將區(qū)間等分成個小區(qū)間:

試題詳情

             ,…,  

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記第個區(qū)間為,其長度為

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分別過上述個分點軸的垂線,從而得到個小曲邊梯形,他們的面積分別記作:

試題詳情

           ,,…,

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顯然,S≈

                      

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(2)以直代曲:記,如圖所示,當(dāng)很大,即很小時,在區(qū)間上,可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小,近似的等于一個常數(shù),不妨認(rèn)為它近似的等于左端點處的函數(shù)值,從圖形上看,就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊(如圖).這樣,在區(qū)間上,用小矩形的面積近似的代替,即在局部范圍內(nèi)“以直代曲”,則有△Si=f()△x=()2   (i=1,2,3,……,n) ①

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(3)求和:由①,上圖中陰影部分的面積為Sn====從而得到的近似值

試題詳情

(4)逼近:分別將區(qū)間等分8,16,20,…等份(如圖),可以看到,當(dāng)趨向于無窮大時,即趨向于0時,趨向于,從而有S→

從數(shù)值上的變化趨勢(可以電子表格驗證)

試題詳情

           

試題詳情

說明:這樣求曲邊梯形的思想和步驟:分割以直代曲求和逼近    (“以直代曲”的思想)

思考2:它有什么實際背景呢?

試題詳情

例1、火箭發(fā)射后t秒內(nèi)的速度為v(t)(單位:米/秒),假定0≤t≤10,對函數(shù)v(t)按照以直代曲作和有什么實際意義?

試題詳情

解:將區(qū)間[0,10]分成n個小區(qū)間,每個小區(qū)間的長度為△t,每個小區(qū)間上取一點,依次為t1,t2,……,tn.雖然火箭的速度不是常數(shù),但在一個小區(qū)間內(nèi)其變化很小,所以用V(t1)來代替火箭在第一小區(qū)間上的長度,這樣v(t1)△t≈火箭在第一個時間段內(nèi)運行的路程,同理v(t2)△t≈火箭在第二個時間段內(nèi)運行的路程,從而Sn=≈火箭在10秒內(nèi)的總路程。

思考:當(dāng)分割無限變細(xì)時(△t→0),以上和表示的意義是什么?(表示10秒內(nèi)的總路程)

試題詳情

練習(xí):汽車以速度勻速直線運動時,經(jīng)過時間所行駛的路程為.如果汽車作變速直線運動,在時刻的速度為(單位:km/h),那么它在0≤≤1(單位:h)這段時間內(nèi)行駛的路程(單位:km)是多少?(

試題詳情

例2、如圖,有兩個電荷A,B,電量分別為qA,qB.固定電荷A,將電荷B從距離A為a處移動到距離A為b處,求庫侖力對電荷B所做的功

試題詳情

試題詳情

解:將[a,b]分成n個區(qū)間,每個小區(qū)間的長度為△r,在每個小區(qū)間上取一點,依次為r1,r2,……,rn,雖然庫侖力F=(k為比例常數(shù))不是常數(shù),但在每個小范圍內(nèi)其變化很小,所以可以用F(ri)來代替第i個區(qū)間上的庫侖力,這樣,F(xiàn)(ri)△r≈庫侖力在第i個小區(qū)間上所做的功,Sn=≈電荷B移動過程中庫侖力所做的總功

思考:當(dāng)分割無限變細(xì)時(△t→0),以上式子表示什么意義?(表示a到b所做的功)

試題詳情

練習(xí):彈簧在拉伸的過程中,力與伸長量成正比,即力為常數(shù),是伸長量),求彈簧從平衡位置拉長所作的功(

試題詳情

三、匯總:1、求曲邊梯形面積的四個步驟:分割以直代曲求和逼近最后所得曲邊形的面積不是近似值,而是真實值。

2、變速這樣過程得到的結(jié)果是路程,變力經(jīng)過這樣過程得到的結(jié)果是功

[A組]

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四、布置作業(yè):

1、已知自由落體運動的速率,則落體運動從所走的路程為 _______

試題詳情

2、由直線,及x軸圍成平面圖形的面積為______      

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3、如果1N能拉長彈簧1cm,為了將彈簧拉長6cm,求需要做的功

[B組]

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4、在曲線上的某點A處做一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求:切點A的坐標(biāo)以及切線方程. 

試題詳情

[答案] 1、

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2、

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3、0.18J

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4、

[教后感想與作業(yè)情況]

 

 

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§1.5.2定積分

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點]定積分的概念及加法運算

[教學(xué)難點]定積分的加法運算

教學(xué)過程:

一.創(chuàng)設(shè)情景

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三、情感態(tài)度與價值觀:體會從理論匯總及匯總后應(yīng)用的思路方法

復(fù)習(xí): 1. 回憶前面曲邊圖形面積的步驟:分割→以直代曲→求和→取極限(逼近      

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2.對這四個步驟再以分析、理解、歸納,找出共同點.

二.新課講授

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1.定積分的概念    一般地,設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),用分點

試題詳情

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將區(qū)間等分成個小區(qū)間,每個小區(qū)間長度為),在每個小區(qū)間上取一點,分點非常多(n很大)時,可以認(rèn)為f(x)在小區(qū)間內(nèi)幾乎沒有變化,從而可以取小區(qū)間內(nèi)任意值作和式:    *

試題詳情

如果無限接近于(亦即)時,上述和式無限趨近于常數(shù),那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。此時常常將求和號∑拉長,記為:     

試題詳情

其中成為被積函數(shù),叫做積分變量,為積分區(qū)間,積分上限,積分下限。

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說明:(1)定積分是一個常數(shù),即無限趨近的常數(shù)時)稱為,而不是

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     (2)用定義求定積分的一般方法是:①分割:等分區(qū)間;②近似代替:取點;③求和:;④取極限:

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(3)幾何意義為曲邊圖形面積:;

試題詳情

推廣說明:變速運動路程;變力F(t)作的功為W=

 

試題詳情

例1、將和式的極限在n→∞時表示成定積分為_____

試題詳情

解:

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練習(xí):由軸圍成的介于0與2π之間的平面圖形的面積,利用定積分應(yīng)表達(dá)為 

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()

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例2、計算,并說明它與+的關(guān)系,2

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解:作圖知=,=+,2=3=

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思考:一般的與A,+關(guān)系如何?

試題詳情

一般的,設(shè)被積函數(shù),若上可取負(fù)值。

試題詳情

考察和式不妨設(shè)

試題詳情

于是和式即為

試題詳情

陰影的面積―陰影的面積(即軸上方面積減軸下方的面積)

試題詳情

=A,n無限增大時有=A

試題詳情

于是有:,,后者可以推廣為

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練習(xí):求的值(5和1)

試題詳情

三、小結(jié):一個知識――定積分的概念;

兩個背景――變速運動路程;變力F(t)作的功為W=;

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三塊內(nèi)容――定積分表示方法與求法、

 

[補充習(xí)題]

試題詳情

四、作業(yè):教材P48---練習(xí)題

1、由軸圍成的介于0與2π之間的平面圖形的面積,利用定積分應(yīng)表達(dá)為  

試題詳情

2、某物體運動的速度v是時間t的一次函數(shù),v=kt+b,該物體有速度為0到速度為1時,其位移為2,從速度為0到速度為2時位移為6,則速度的函數(shù)關(guān)系式為____________

試題詳情

3、

試題詳情

4、當(dāng)f(x)為下列函數(shù)時,求  (1)f(x)為常數(shù)函數(shù),即f(x)=c;(2)f(x)=x;(3)f(x)=x2.

(4)由上猜測f(x)=xn時的積分值

[答案]

試題詳情

1、

試題詳情

2、v=2t+1

試題詳情

3、(1)(b-a)c; (2);  (3)   (4)

[教后感想與習(xí)題情況]

 

 

 

 

 

 

 

 

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1.5.3微積分的基本定理(1)――內(nèi)容及簡單應(yīng)用

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)難點]推導(dǎo)過程

[教學(xué)重點]推導(dǎo)過程及初步應(yīng)用

[教學(xué)過程]

試題詳情

一、創(chuàng)設(shè)情景:1、復(fù)習(xí):如何表示一個函數(shù)的定積分?(

2、對于復(fù)雜的定積分,怎樣計算?(根據(jù)進(jìn)行簡化)

試題詳情

3、以上簡化后,仍然需要求一個基本函數(shù)的定積分,如何求?(分割→以直代曲→求和→取極限(逼近))

思考:以上簡化后最終需要的這個龐大過程,簡單嗎?能否更進(jìn)一步將這個基本的運算過程進(jìn)行簡化?

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二、問題探究

1、回憶上一節(jié)的習(xí)題,我們得到一個結(jié)論:=,如果設(shè)F(x)=,則被積函數(shù)xn與結(jié)果與F(x)= 有什么關(guān)系?由之能得到一個什么結(jié)論?(F/(x)=xn,右邊結(jié)果為F(b)-F(a),從而得到=F(b)-F(a))

試題詳情

2、問題:以上結(jié)論對一般的函數(shù)是否仍然成立?

試題詳情

3、探究:按照定積分的步驟進(jìn)行

(1)分割:

試題詳情

一般地,設(shè)函數(shù)F/(x)在區(qū)間上連續(xù),用分

試題詳情

將區(qū)間等分成個小區(qū)間,每個小區(qū)間長度為),在每個小區(qū)間上取一點F/(xi-1)(i=1,2,3,…,n),

試題詳情

(2)以直代曲:分點非常多(n很大)時,可以認(rèn)為F/(x)在小區(qū)間內(nèi)幾乎沒有變化,從而≈F/(xi-1),從而F/(xi-1)△x≈F(xi)-F(xi-1)

試題詳情

(3)求和:

試題詳情

(4)取極限:如果無限接近于(亦即)時,上述和式無限趨近于常數(shù),S==[F(x1)-F(x0)]+[F(x2)-F(x1)]+[F(x3)-F(x2)]+…+[F(xn)-F(xn-1)]=F(xn)-F(x0)=     

F(b)-F(a)

試題詳情

   于是我們得到:對于在[a,b]上可導(dǎo)的函數(shù)F(x),有:=F(b)-F(a),由于此式將微積分聯(lián)系起來,所以我們稱作微積分的基本定理。

   三、結(jié)論應(yīng)用

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  例:求下列定積分的值:(1)   (2)   (3)  (4)

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解:(1) =-=-=52-02-(4×5-4×0)=5

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(2) ==13-03=1

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(3) ==(-cosπ)-(-cos0)=2

試題詳情

(4) ==ln3-ln1=ln3

練習(xí):教材P51---練習(xí)1,2,3

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四、小結(jié):本節(jié)主要介紹了微積分的基本定理

對于在(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)F(x),=F(b)-F(a)

五、作業(yè):教材P52---1(1)(2);2(1)(2),3,4

 [補充習(xí)題]

試題詳情

1、若,則等于________

   A    0      B    1       C     0或1     D   不確定

試題詳情

2、由曲線所圍成圖形的面積是_______________.

試題詳情

3、=___________

試題詳情

4、求由拋物線與過焦點的弦所圍成的圖形面積的最小值

5*、一物體按規(guī)律x=bt3作直線運動,式中x為時間t內(nèi)通過的距離,物體的阻力正比于速度的平方.試求物體由x=0運動到x=a時,阻力所作的功

[答案]

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1、1

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2、1/3

試題詳情

3、11/3

試題詳情

4、、焦點坐標(biāo)為,設(shè)弦AB、CD過焦點F,且

試題詳情

由圖得知:,故

試題詳情

所求面積為:S=2=

試題詳情

5*、物體的速度.媒質(zhì)阻力,其中k為比例常數(shù),k>0.當(dāng)x=0時,t=0;當(dāng)x=a時,,又ds=vdt,故阻力所作的功為

試題詳情

[教后感想與作業(yè)情況]

 

 

 

 

 

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1.5.3微積分的基本定理(1)――分段與復(fù)合應(yīng)用

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)難點]復(fù)合函數(shù)求定積分

[教學(xué)重點]復(fù)合函數(shù)的定積分以及分段函數(shù)的定積分

[教學(xué)過程]

用之加上兩個運算法則可以將定積分化簡求出

試題詳情

  二、典型例題:

  例1、給出函數(shù)f(x)=,求的值

試題詳情

分析:被積區(qū)間為[-1,1],而函數(shù)給出的是從0處的分段函數(shù),因此,可以將區(qū)間分割為[-1,0]及[0,1],分別求定積分再求和

試題詳情

解:=+=+=+=[×03-×(-1)3]+(×12-×02)=

試題詳情

練習(xí)1:已知S(x)=,求      (-1)

試題詳情

練習(xí)2:求曲線軸所圍成的圖形的面積(

試題詳情

例2、計算的值   (解答1)

試題詳情

變形1:計算

試題詳情

(∵(sin2x)/=2cos2x ∴==-=0)

說明:復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對應(yīng)于復(fù)合函數(shù)的積分

試題詳情

變形2:

試題詳情

(原式==+)=(+0)=

試題詳情

變形練習(xí)3:求的值  (結(jié)果:

思考:如果F/(x)=f(x),這樣的F(x)惟一嗎?有多少個?(不惟一,如F(x)+c都可以,有無數(shù)個)

 

[補充作業(yè)][B組]

試題詳情

四、作業(yè):[A組]教材P52---1(3),2(3),5,6

1、____________

試題詳情

2、設(shè)y=fx)是二次函數(shù),方程fx)=0有兩個相等的實根,且f′(x)=2x+2.

(1)求y=fx)的表達(dá)式;(2)求y=fx)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積.

[C組]

試題詳情

3、拋物線y=ax2+bx在第一象限內(nèi)與直線x+y=4相切.此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S.求使S達(dá)到最大值的a、b值,并求Smax

 [答案]

試題詳情

1、;

試題詳情

2、解:(1)設(shè)fx)=ax2+bx+c,則f′(x)=2ax+b,又已知f′(x)=2x+2

試題詳情

a=1,b=2.∴fx)=x2+2x+c  又方程fx)=0有兩個相等實根,∴判別式Δ=4-4c=0,即c=1.

試題詳情

fx)=x2+2x+1.

試題詳情

(2)依題意,有所求面積=.

試題詳情

3、解 依題設(shè)可知拋物線為凸形,它與x軸的交點的橫坐標(biāo)分別為x1=0,x2=-b/a,所以(1)  直線x+y=4與拋物線y=ax2+bx相切,即它們有唯一的公共點,由方程組得ax2+(b+1)x-4=0,其判別式必須為0,即(b+1)216a=0.

試題詳情

于是代入(1)式得:; 

試題詳情

令S'(b)=0;在b>0時得唯一駐點b=3,且當(dāng)0<b<3時,S'(b)>0;當(dāng)b>3時,S'(b)<0.故在b=3時,S(b)取得極大值,也是最大值,即a=-1,b=3時,S取得最大值,且

 [教后感想與作業(yè)情況]

試題詳情


同步練習(xí)冊答案