上海普陀區(qū)

2008學(xué)年度高三第一學(xué)期質(zhì)量調(diào)研測試

數(shù)學(xué)試題（理科）

 

說明：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應(yīng)位置，本卷上任何解答都不作評分依據(jù)。

一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結(jié)果填寫在答題紙對應(yīng)的空格中.每個空格填對得5分，填錯或不填在正確的位置一律得零分.

1．已知集合，集合,則            ．

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2．拋物線的焦點坐標(biāo)為              ．

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3．已知函數(shù)，則          ．

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4．設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則

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         .

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5．已知兩直線方程分別為、，若，則直線的一個法向量為               ．

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6．已知，且為鈍角，則

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           ．

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7．在的二面角內(nèi)放一個半徑為的球，使球與兩個半平

面各只有一個公共點（其過球心且垂直于二面角的棱的直

截面如圖所示），則這兩個公共點AB之間的球面距離為

             ．

 

 

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8．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為．若，且，則正整數(shù)         ．

 

 

 

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9． 一個圓柱形容器的軸截面尺寸如右圖所示，容器內(nèi)

有一個實心的球，球的直徑恰等于圓柱的高.現(xiàn)用水

將該容器注滿，然后取出該球（假設(shè)球的密度大于

水且操作過程中水量損失不計），則球取出后，容

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器中水面的高度為            cm．（精確到0.1cm）

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10．已知函數(shù)，若，

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則實數(shù)的取值范圍是               ．

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11．下列有關(guān)平面向量分解定理的四個命題中，所有正確命題的序號

是                 ．（填寫命題所對應(yīng)的序號即可）

   ① 一個平面內(nèi)有且只有一對不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基；

   ② 一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不平行向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基； 

   ③ 平面向量的基向量可能互相垂直；

④ 一個平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)三個互不平行向量的線性組合.

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二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在答題紙相應(yīng)的空格中．每題選對得4分，不選、選錯或選出的代號超過一個（不論是否都寫在空格內(nèi)），或者沒有填寫在題號對應(yīng)的空格內(nèi)，一律得零分.

12．對任意的實數(shù)、，下列等式恒成立的是                             （    ）

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A． ；

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B． ；

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C． ；

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D． .

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13．若平面向量和互相平行，其中.則（    ）    

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A． 或0；    B．；       C． 2或；     D．或.

 

 

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14．設(shè)、為兩條直線，、為兩個平面．下列四個命題中，正確的命題是 （　�。�

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A．若、與所成的角相等，則； 

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B．若；

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C．若; 

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D．若，，則.

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15．若不等式成立的一個充分非必要條件是，則

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實數(shù)的取值范圍是                                                   （　�。�

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A．；                     B．；   

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C．；                                         D．以上結(jié)論都不對.

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三、解答題（本大題滿分79分）本大題共有6題，解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)寫出必要的步驟.

16．（本題滿分12分）設(shè)點在橢圓的長軸上，點是橢圓上任意一點．當(dāng)的模最小時，點恰好落在橢圓的右頂點，求實數(shù)的取值范圍．

 

 

 

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17．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知關(guān)于的不等式

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，其中.

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   （1）當(dāng)變化時，試求不等式的解集；

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   （2）對于不等式的解集，若滿足（其中為整數(shù)集）．試探究集合能否為有限集？若能，求出使得集合中元素個數(shù)最少的的所有取值，并用列舉法表示集合；若不能，請說明理由.

 

 

 

 

 

 

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18．（本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）如圖，在直三棱柱中，

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，，是的中點，是的中點.

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   （1）求異面直線與所成角的大��；  

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   （2）若直三棱柱的體積為，求四棱錐的體積.

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19．（本題滿分16分，第1小題10分，第2小題6分）在某個旅游業(yè)為主的地區(qū)，每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)會發(fā)生周期性的變化． 現(xiàn)假設(shè)該地區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)來刻畫．其中：正整數(shù)表示月份且，例如時表示1月份；和是正整數(shù)；.

統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：

① 各年相同的月份，該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；

② 該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約400人；

③ 2月份該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多.

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   （1）試根據(jù)已知信息，確定一個符合條件的的表達(dá)式；

   （2） 一般地，當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過400人時，該地區(qū)也進(jìn)入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游“旺季”？請說明理由.

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20．（本題滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）

定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列.

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已知無窮等比數(shù)列的首項、公比均為.

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   （1）試求無窮等比子數(shù)列（）各項的和；

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   （2）是否存在數(shù)列的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項的和為？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；

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   （3）試設(shè)計一個數(shù)學(xué)問題，研究：是否存在數(shù)列的兩個（或兩個以上）無窮等比子數(shù)列，使得其各項和之間滿足某種關(guān)系.請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論.

【第3小題說明：本小題將根據(jù)你所設(shè)計的問題的質(zhì)量分層評分；問題的表達(dá)形式可以參考第2小題的表述方法.】

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、填空題：（5’×11＝55’）

題號

1

2

3

4

5

6

答案

0

(1,2)

2

題號

7

8

9

10

11

 

答案

4

8．3

②、③

 

二、選擇題：（4’×4＝16’）

題號

12

13

14

        
   
        
    
    
      • 
     
        
      
      
        
      
        20090116
        答案
        A
        C
        B
        B
        三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）
        16．（理）解：設(shè)為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故．
        因為，所以
           
推出．
        依題意可知，當(dāng)時，取得最小值．而，
        故有，解得．
        又點在橢圓的長軸上，即．故實數(shù)的取值范圍是．
        17．解：（1）當(dāng)時，；
        當(dāng)且時，；
        當(dāng)時，；（不單獨分析時的情況不扣分）
        當(dāng)時，．
        （2）由（1）知：當(dāng)時，集合中的元素的個數(shù)無限；
        當(dāng)時，集合中的元素的個數(shù)有限，此時集合為有限集．
        因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
        所以當(dāng)時，集合的元素個數(shù)最少．
        此時，故集合．
        18．（本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）
        解：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)．
        依題意，可得點的坐標(biāo)，，．
            于是，，．
          
由，則異面直線與所成角的
        大小為．
        （2）解：連結(jié)． 由，
        是的中點，得;
        由面，面，得．
        又，因此面
        由直三棱柱的體積為．可得．
        所以，四棱錐的體積為
        ．
        19．解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12．
        由此可得，；
        由規(guī)律②可知，，
        ；
        又當(dāng)時，，
        所以，，由條件是正整數(shù)，故取．
            綜上可得，符合條件．
        （2） 解法一：由條件，，可得
        ，
        ，
        ，．
        因為，，所以當(dāng)時，，
        故，即一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”．
        解法二：列表，用計算器可算得
        月份
        …
        6
        7
        8
        9
        10
        11
        …
        人數(shù)
        …
        383
        463
        499
        482
        416
        319
        …
        故一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”．
        20．解：（1）依條件得： 則無窮等比數(shù)列各項的和為：
             ；
         
（2）解法一：設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為，由條件得：，
        則，即    
        而  則 .
        所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項、公比均為，
        其通項公式為，.
        解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為．
        由………… ①
        又若，則對每一
        都有………… ②
        從①、②得；
        則；
        因而滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項、公比均為無窮等比子
        數(shù)列，通項公式為，．
        （3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：
        問題一：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．
        解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和之積為1。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則
        ，
        因為等式左邊或為偶數(shù)，或為一個分?jǐn)?shù)，而等式右邊為兩個奇數(shù)的乘積，還是一個奇數(shù)。故等式不可能成立。所以這樣的兩個子數(shù)列不存在。
        【以上解答屬于層級3，可得設(shè)計分4分，解答分6分】
        問題二：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．
        解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和相等。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則
        ………… ①
        若且，則①，矛盾；若且，則①
        ，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則
        ①………… ②
        1當(dāng)時，②，等式左邊是偶數(shù)，
        右邊是奇數(shù)，矛盾；
        2當(dāng)時，②
        或
        ，
        兩個等式的左、右端的奇偶性均矛盾；
        綜合可得，不存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們的各項和相等。
        【以上解答屬于層級4，可得設(shè)計分5分，解答分7分】
        問題三：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．
        解：假設(shè)存在滿足條件的原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則
        ，
        顯然當(dāng)時，上述等式成立。例如取，，得：
        第一個子數(shù)列：，各項和；第二個子數(shù)列：，
        各項和，有，因而存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍。
        【以上解答屬層級3，可得設(shè)計分4分，解答分6分．若進(jìn)一步分析完備性，可提高一個層級評分】
        問題四：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？并說明理由．解（略）：存在。
        問題五：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？并說明理由．解（略）：不存在．
        【以上問題四、問題五等都屬于層級4的問題設(shè)計，可得設(shè)計分5分。解答分最高7分】
         
        
				
	
        
		
        


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