雅禮中學2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學（理科）試卷

 

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試時量120分鐘.

第Ⅰ卷（選擇題）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知集合，則是的    （   ）

       A  充分而不必要條件                             B  必要而不充分條件

       C  充要條件                                           D  既不充分也不必要條件

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2．下列函數(shù)中周期為1的奇函數(shù)是                                            （   ）

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A                   B     

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C                        D 

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3．下列不等式中恒成立的個數(shù)有                                                                           （   ）

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       ①                                 ②

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       ③             ④

       A  4                        B  3                        C  2                        D  1

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4．25人排成5×5方陣，從中選出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，則不同的選出方法種數(shù)為                      （   ）

       A  600                        B  300                        C  100                        D  60

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5．已知的前n項和                 （   ）

A  67                 B  65                C  6l                  D  56

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6．對于平面直角坐標系內(nèi)任意兩點（，）、（，），定義它們之間的一種“距離”：‖‖=??+??．給出下列三個命題：

①若點C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

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②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．

其中真命題的個數(shù)為                                                    （   ）

A  0                B  1                 C  2             D  3

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7．如圖,設(shè)O點在內(nèi)部,且有,則的面積與的面積的比為                                                              （   ）

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A  2             B              

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C  3             D   

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8． 已知點P 是拋物線上一點，設(shè)點P到此拋物線準線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是                           （   ）

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    A  5              B  4                 C              D

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    A  
    

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    B  
    

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    C  
    

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    D  
    

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    10．在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則將某些數(shù)染成紅色．先染1，再染2個偶數(shù)2、4；再染4后面最鄰近的3個連續(xù)奇數(shù)5、7、9；再染9后面最鄰近的4個連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16；再染此后最鄰近的5個連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25．按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．則在這個紅色子數(shù)列中，由1開始的第2003個數(shù)是                                                 
（   ）
    A  3844              B  3943                 C 
3945                 D  4006
     
    

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    二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上.
    11．某校為了了解高三年級學生的身體狀況，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從全段600名學生中抽取60名進行體檢，如果在抽取的學生中有男生36名，則在高三年級中共有女生      名．
    

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    12．，則               
 
    

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    13．通過兩個定點 且在軸上截得的弦長等于的圓的方程是      
    

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    14．已知平面α、β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③；④α⊥β；⑤α∥β.
    

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    （）當滿足條件           時，m∥β；
    

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    （）當滿足條件           時，m⊥β　 （注意：只要填條件中的序號）
    

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    15．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對稱，對任意，，有，，則
    

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    （）    
  ；
    

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    （）若記，那么         
     
    

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    三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
    16．（本小題滿分12分）
    

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    已知△ABC的三邊成等比數(shù)列，且， 
    

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    （Ⅰ）求；                 

    

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    （Ⅱ）求的面積。
     
    

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    17．（本小題滿分12分）
    

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    　　設(shè)輪船有兩個發(fā)動機，輪船有四個發(fā)動機，如果半數(shù)或半數(shù)以上的發(fā)動機沒有故障，輪船就能夠安全航行．現(xiàn)設(shè)每個發(fā)動機發(fā)生故障的概率是的函數(shù)：（其中為發(fā)動機啟動后所經(jīng)歷的時間,為正常數(shù)，每個發(fā)動機工作相互獨立）．
    

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    （Ⅰ）分別求出輪船安全航行的概率（用表示）；
    

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    （Ⅱ）根據(jù)時間的變化，比較輪船和輪船哪一個更能安全航行（除發(fā)動機發(fā)生故障外，不考慮其他因素）．
     
    

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    18．（本小題滿分12分）
    

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    如圖，等腰直角△中，，平面，∥，.
    

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    （Ⅰ）求二面角的大��；
    

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    （Ⅱ）求點到平面的距離；
    

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    19．（本小題滿分13分）
    如圖所示，某校把一塊邊長為2a的等邊△ABC的邊角地(如圖)辟為生物園，圖中DE把生物園分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.
    （Ⅰ）設(shè)AD＝x（x≥a），ED＝y，求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式；?
    （Ⅱ）如果DE是灌溉水管的位置，為了省錢，希望它最短，DE的位置應該在哪里?如果DE是參觀線路，即希望它最長，DE的位置又應該在哪里?請給予證明.?
    

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    20．（本小題滿分13分）
    

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    如圖，設(shè)是橢圓的左焦點，直線為對應的準線，直線與軸交于點，線段為橢圓的長軸，已知，且．
    

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    （Ⅰ）求證：對于任意的割線，恒有；
    

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    （Ⅱ）求三角形△ABF面積的最大值．
     
     
     
     
    

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    21．（本小題滿分13分）
    

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    已知點是且
    

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    （Ⅰ）求的定義域；
    

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    （Ⅱ）求證：；
    

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    （Ⅲ）求證：數(shù)列{an}前n項和
     
     
     
    

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    一、選擇題：ADBAA    BCCDB
    二、填空題
    11.;        12． ;         
13． 
    14．（）③⑤  （）②⑤
             15． （）；    （） 0 
    三、解答題：
    16．解：（1）
                                                                    …………5分
    由成等比數(shù)列，知不是最大邊
                                                        …………6分
    （2）由余弦定理
    得ac=2                                                                                                        …………11分
    =                                                                          …………12分
    17.解：（Ⅰ）．
    （Ⅱ）．
    1當時，則．此時輪船更安全．
    2當時，則．此時輪船和輪船一樣安全．
    3當時，則．此時輪船更安全．
    解：方法一
    （Ⅰ）取的中點，連結(jié)，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.
    在△中，，，，
    由余弦定理有
    ，
    所以二面角的大小是.（6分）
    （Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.
    故.                            
…（12分）
     
    19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為2a，D在AB上，則a≤x≤2a，?
    ∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，
    ∴x?AEsin60°＝?（2a）2，?
    解得AE＝，?
    在△ADE中，由余弦定理:?
    y2＝x2＋?cos60°，?
    ∴y2＝x2＋－2a2
    ∴y＝  (a≤x≤2a)?
    （Ⅱ）證明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x2＝t，則a2≤t≤4a2
    且y＝，設(shè)f（t）＝t＋（a2≤t≤4a2）?
    當t∈（a2，2a2）時，任取a2＜t1＜t2＜2a2，?
    f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）
    ＝（t1－t2）?，?
    ∵a2＜t1＜t2＜2a2?
    ∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－4a4＜0?
    ∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
    ∴f（x）在（a2，2a2）上是減函數(shù).?
    同理可得，f（x）在（2a2，4a2）上是增函數(shù).?
    又∵f（2a2）＝4a2，f（a2）＝f（4a2）＝5a2，當t＝2a2時，f（x）有最小值，即x＝a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當t＝a2或4a2時，f（x）有最大值，即x＝a或2a時，y有最大值，且ymax＝a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?
     
    20.解：（Ⅰ）∵，∴，
    又∵，∴，
    ∴，
    ∴橢圓的標準方程為．                                     
………（3分）
    當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，
    當的斜率不為0時，設(shè)方程為，
    代入橢圓方程整理得：．
    ，，．
    則
             
，
    而
    ∴，從而． 
    綜合可知：對于任意的割線，恒有．               
………（8分）
    （Ⅱ），
    即：，
    當且僅當，即（此時適合于的條件）取到等號．
    ∴三角形△ABF面積的最大值是．                 ………………………………（13分）
    21.解：（Ⅰ）由
    故x>0或x≤－1
    f(x)定義域為                         
…………………………（4分）
    （Ⅱ）
    下面使用數(shù)學歸納法證明：
    ①在n=1時，a1=1，<a1<2，則n=1時（*）式成立.
    ②假設(shè)n=k時成立，
    由
    要證明：
    只需
    只需(2k+1)3≤8k(k+1)2
    只需1≤4k2+2k
    而4k2+2k≥1在k≥1時恒成立.
    只需證：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1時恒成立.
    于是：
    因此得證.
    綜合①②可知（*）式得證.從而原不等式成立.                    
………………9分
    （Ⅲ）要證明：
    由（2）可知只需證：
    …………（**）
    下面用分析法證明：（**）式成立。
    要使（**）成立，只需證：
    即只需證：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)
    只需證：2n>1
    而2n>1在n≥1時顯然成立.故（**）式得證：
    于是由（**）式可知有：
    因此有：
                        
……………………………………（13分）
     
    
				
	
    
		
    


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