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江蘇通州市高三第四次統(tǒng)一檢測

數(shù)學(xué)試題

第Ⅰ部分必考內(nèi)容

（命題單位：通州中學(xué) 滿分160分，答卷時(shí)間120分鐘）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需寫出解答過程，請把答案填寫在答題紙相應(yīng)位置上．

1．對于命題p：，使得x²+ x +1 < 0．則為：_________．

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2．復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第_______象限．

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3．“”是“”的　　　　條件．

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4．一個(gè)靶子上有10個(gè)同心圓，半徑依次為1、2、……、10，擊中由內(nèi)至外的區(qū)域的成績依次為10、9、……、1環(huán)，則不考慮技術(shù)因素，射擊一次,在有成績的情況下成績?yōu)?0環(huán)的概率為 .

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5．設(shè)、滿足條件，則的最小值　　．

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6．如果執(zhí)行下面的程序框圖，那么輸出的

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7．△ABC中，，則△ABC的面積等于_________．

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8．給出下列命題：

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①變量 y與x之間的相關(guān)系數(shù)，查表到相關(guān)系數(shù)的臨界值為，則變量 y與x之間具有線性關(guān)系；

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② 則不等式恒成立；

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③ 對于函數(shù)若則函數(shù)在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)；

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④ 與的圖象關(guān)于對稱．

其中所有正確命題的序號是__________．

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9．若∆ABC內(nèi)切圓半徑為r，三邊長為a、b、c，則∆ABC的面積S＝r (a+b+c) 類比到空間，若四面體內(nèi)切球半徑為R，四個(gè)面的面積為S₁、S₂ 、S₃ 、S₄，則四面體的體積V＝．

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10．已知，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)=在R上有極值，則與的夾角范圍為_______．

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11．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則________．

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12．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（n,n＋1），則正整數(shù)n=______．

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13．四棱錐的頂點(diǎn)P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三視圖如圖：

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則四棱錐的表面積為　　　　．

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14．已知點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，a），則當(dāng)4時(shí)，的最小值是．

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二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

15.(本題滿分12分)某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績（是不小于40不大于100的整數(shù)）分成六段，…后

（1）求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)畫出如下部分頻率分布直方圖.

(2) 觀察頻率分布直方圖圖形的信息，估計(jì)這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分．

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16. （本題滿分13分）如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F為棱AD、AB的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面CB₁D₁；

（2）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

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17．(本題滿分15分)在中，分別是角A、B、C的對邊，，且．

（1）求角A的大小；

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（2）求的值域．

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18．(本題滿分15分)橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，離心率e = ，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1－, 直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且．

（1）求橢圓方程；

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（2）若，求m的取值范圍．

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19．（本題滿分16分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且、、（n ≥2）分別是直線上的點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)，，設(shè)，．

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⑴ 判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

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⑵ 設(shè)，證明：．

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20．對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)。如果函數(shù)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)、，且。

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（1）試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

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（2）點(diǎn)從左到右依次是函數(shù)圖象上三點(diǎn)，其中求證：ㄓ是鈍角三角形．

第Ⅱ部分加試內(nèi)容

（命題單位：通州中學(xué) 滿分40分，答卷時(shí)間30分鐘）

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一．必答題：本大題共2小題，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

1．（本小題滿分10分）一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：f₁(x)=x，f₂(x)=x²，f₃(x)=x³，f₄(x)=sinx，f₅(x)=cosx，f₆(x)=2．

（1）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；

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（2）現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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2．（本小題滿分10分）已知數(shù)列滿足，且（）

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（1）求的值；

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（2）由（1）猜想的通項(xiàng)公式，并給出證明．

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二、選答題：本大題共4小題，請從這4題中選做2小題，如果多做，則按所做的前兩題記分．每小題10分，共20分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

3．（幾何證明選講）（本小題滿分10分）如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點(diǎn)，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE²=EF?EC.

（1）求證：ÐP=ÐEDF；

(2)求證：CE?EB=EF?EP．

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4．（矩陣與變換）

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（本小題滿分10分）設(shè)是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到倍，縱坐標(biāo)伸長到倍的伸壓變換．求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線的方程．

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5．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）

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（本小題滿分10分）已知直線經(jīng)過點(diǎn),傾斜角，

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（1）寫出直線的參數(shù)方程;

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（2）設(shè)與圓相交與兩點(diǎn)，求點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積.

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6．（不等式選講）

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（本小題滿分10分）設(shè)求的最大值.

江蘇通州市高三第四次統(tǒng)一檢測

數(shù)學(xué)試題（答卷）

試題詳情

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在相應(yīng)位置上．

1．________________2．_____________3．_______________ 4．____________

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5．_______________6．______________7．_______________ 8．____________

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9．_______________ 10．____________ 11．______________ 12．___________

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13．_________________ 14．_______________

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二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

15.(本題滿分12分)

16. （本題滿分13分）

17．(本題滿分15分)

18．（本題滿分16分）

19．（本題滿分16分）

20．(本題滿分18分)

江蘇通州市高三第三次統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)答卷

第Ⅱ部分加試內(nèi)容

試題詳情

一．必答題：本大題共2小題，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

1．（本小題滿分10分）

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2．（本小題滿分10分）

選答題1，你所選擇的題號是．

解：

選答題2，你所選擇的題號是．

解：

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一、填空題：

1．，均有x²+ x +1≥0 2．第一象限 3．充分而不必要條件 4． 0.01

5． 4 6． 2550 7． 8．①④ 9． R(S₁＋S₂＋S₃＋S₄)

10．，11． 12．1 13． 14．

二、解答題：

15．（Ⅰ）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故第四組的頻率：

3′

直方圖如右所示 6′

（Ⅱ）依題意，60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為所以，抽樣學(xué)生成績的合格率是%.. 9 ′

利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分

＝

＝71

估計(jì)這次考試的平均分是71分 12′

16.（1）證明:連結(jié)BD.

在長方體中，對角線.

又 E、F為棱AD、AB的中點(diǎn)，

又B₁D₁平面，平面，

EF∥平面CB₁D₁. 6′

（2）在長方體中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

AA₁⊥B₁D₁.

又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，

B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.

又 B₁D₁平面CB₁D₁，

平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁． 13′

17．（1）由得 4′

由正弦定理得

6′

8′

（2）

= 10′

= 12′

由（1）得

15′

18．（1）設(shè)C：＋＝1（a>b>0），設(shè)c>0，c²＝a²－b²，由條件知a-c＝，＝，

∴a＝1，b＝c＝，

故C的方程為：y²＋＝1　 5′

（2）由＝λ，

∴λ＋1＝4，λ＝3　或O點(diǎn)與P點(diǎn)重合= 7′

當(dāng)O點(diǎn)與P點(diǎn)重合=時(shí)，m=0

當(dāng)λ＝3時(shí)，直線l與y軸相交，則斜率存在。

設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　 11′

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　 13′

m²＝時(shí)，上式不成立；m²≠時(shí)，k²＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－或 <m<1

容易驗(yàn)證k²>2m²－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1）∪｛0｝ 16′

19． ⑴由題意得 4′

（n≥2），

又∵，

數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列。 8′

[則（）]

⑵由及得

， 11′

則 13′

16′

20．（1）設(shè)

∴ ∴

由

又∵ ∴

∴ 6′

于是

由得或；由得或

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)減區(qū)間為和 10′

（2）證明:據(jù)題意且x₁<x₂<x₃,

由(1)知f (x₁)>f (x₂)>f (x₃),

14′

即ㄓ是鈍角三角形． 18′

第Ⅱ部分加試內(nèi)容

一．必答題：

1．（1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，由題意知 4′

（2）ξ可取1，2，3，4.

，

； 8′

故ξ的分布列為

答：ξ的數(shù)學(xué)期望為 10′

2．（1）由得，

求得 3′

（2）猜想 5′

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立。 6′

②設(shè)當(dāng)n=k時(shí)時(shí)，猜想成立，即， 7′

則當(dāng)n=k+1時(shí)，有，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立 9′

③綜合①②，猜想對任何都成立。 10′

二、選答題：

3．（1）∵DE²=EF?EC，

∴DE : CE=EF: ED．

∵ÐDEF是公共角，

∴ΔDEF∽ΔCED． ∴ÐEDF=ÐC．

∵CD∥AP， ∴ÐC=Ð P．

∴ÐP=ÐEDF．----5′

（2）∵ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，

∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．

∵弦AD、BC相交于點(diǎn)E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP． 10′

4．（矩陣與變換）

解：．

， 5′

橢圓在的作用下的新曲線的方程為 10′

5．（1）直線的參數(shù)方程為，即． 5′

（2）把直線代入，

得，，
則點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積為． 10′

6．

7′

當(dāng)且僅當(dāng) 且

F有最小值 10′

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