海 淀 區(qū) 高 三 年 級 第 一 學 期 期 末 練 習

數(shù)  學（文科）             2008.1

 

學校                班級               姓名          

 

題號

一

二

三

總分

（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

（20）

分數(shù)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.

（A）                  （B）-                 （C）                     （D）－

（2）過兩點(-1,1)和(0,3)的直線在x軸上的截距為                                                (    )

試題詳情

（A）-                    （B）                            （C）3                （D）-3

（3）已知函數(shù)y=log2 x的反函數(shù)是y=f -1(x),那么函數(shù)y=f -1(x)+1的圖象大致是          (    )

試題詳情

 

 

 

 

 

試題詳情

（4）已知向量a=(1-sinθ,1),b=(,1+ sinθ),且a∥b,則銳角θ等于                            (    )

（A）30°                 （B）45°                 （C）60°          （D）75°

試題詳情

（5）設m、n是不同的直線，、、是不同的平面，有以下四個命題：

試題詳情

①若∥, ∥,則∥             ②若⊥, m∥,則m⊥

試題詳情

③若m⊥, m∥,則⊥                   ④若m∥n，n?，則 m∥

其中真命題的序號是                                                                                     (    )

（A）①④                 （B）②③                  （C）②④           （D）①③

（6）在等差數(shù)列｛an｝中，若a1+a7+a8+a12=12,則此數(shù)列的前13項之和為               (    )

（A）39                            （B）52                            （C）78                     （D）104

試題詳情

（7）已知點A(0,b),B為橢圓+=1(a>b>0)的左準線與x軸的交點，若線段AB的中點C在橢圓上，則該橢圓的離心率為                                                                        (    )

試題詳情

（A）                   （B）                  （C）           （D）

試題詳情

（8）已知函數(shù)f(x)= -1的定義域是［a,b］(a,b,∈Z),值域是［0,1］,那么滿足條件

的整數(shù)數(shù)對(a,b)共有                                                                                        (    )

（A）2個                  （B）3個                   （C）5個            （D）無數(shù)個

試題詳情

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請把答案填在題中橫線上.

（9）雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是          .

試題詳情

（10）把函數(shù)y=sin2x的圖象按向量a=(－,0)平移得到的函數(shù)圖象的解析式為        .

（11）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若M為棱BB1的中點，則異面直線B1D與AM所成

角的余弦值是        .

試題詳情

（12）已知函數(shù)f(x)=               那么不等式f(x)<0的解集為          .

 

試題詳情

 

（13）設不等式組           所表示的平面區(qū)域為S，則S的面積為      ;若A,B

 

 

為S內(nèi)的兩個點，則｜AB｜的最大值為         .

試題詳情

（14）平面內(nèi)有四個點，平面內(nèi)有五個點，從這九個點中任取三點，最多可確

定      個平面;任取四點最多可確定         個四面體.(用數(shù)字作答)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（15）(本小題共13分)

試題詳情

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

已知函數(shù)f(x)=cos2x+2sinxcosx-sin2x

       （Ⅰ）求f(x)的最小正周期和值域；

試題詳情

（Ⅱ）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若f()=2且a2=bc，試判斷

△ABC的形狀.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（16） (本小題共13分)

設數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,a1=1,且數(shù)列｛Sn｝是以2為公比的等比數(shù)列.

（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項公式；

試題詳情

（Ⅱ）求a1+a3+…+a2n+1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

（17）(本小題共14分)

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正

方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB,點M是SD的中點，

AN⊥SC,且交SC于點N.

（Ⅰ）求證：SB∥平面ACM;

（Ⅱ）求二面角D-AC-M的大小;

（Ⅲ）求證：平面SAC⊥平面AMN.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（18）（本小題共12分）

某城市有30%的家庭訂閱了A報，有60%的家庭訂閱了B報，有20%的家庭同時訂閱了A報和B報，從該城市中任取4個家庭.

(Ⅰ)求這4個家庭中恰好有3個家庭訂閱了A報的概率;

(Ⅱ)求這4個家庭中至多有3個家庭訂閱了B報的概率;

(Ⅲ)求這4個家庭中恰好有2個家庭A，B報都沒有訂閱的概率.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（19）(本小題共14分)

試題詳情

已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，△ABC的三個頂點都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0.

（Ⅰ）求拋物線S的方程;

（Ⅱ）若O是坐標原點，P,Q是拋物線S上的兩個動點，且滿足OP⊥OQ.試說明動直線PQ是否過定點.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（20）（本小題共14分）

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx的圖象過點(-4n, 0) , f′( x)是f(x)的導函數(shù)，且

試題詳情

f′(0)=2n,(nN*).

(Ⅰ)求a的值;

試題詳情

(Ⅱ)若數(shù)列｛an｝滿足f′(),且a1=4,求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(Ⅲ)對于(Ⅱ)中的數(shù)列｛an｝，求證a1+a2+a3+…+ak<5(k =1,2,3…).

 

 

海 淀 區(qū) 高 三 年 級 第 一 學 期 期 末 練 習

數(shù)   學（文科）            

 

試題詳情

一、              選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

 

題號

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

D

A

B

B

D

A

C

C

 

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）

(9)2    (10)y=sin(2x+ )    (11)     (12)(-∞,-1)∪(-1,1)    (13)16,

(14)72,120

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）f(x)=cos2x+2sinxcosx-sin2x

=sin2x+cos2x……………………………………………………4分

＝2sin(2x+)………………………………………………………5分

∴T=, f(x)∈［-2,2］ ……………………………………………7分

（Ⅱ）由f()=2，有f()=2sin(A+)=2, ………………………………8分

∴sin(A+)=1.

∵0<A<,∴A+=,即A=.……………………………………10分

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及a2=bc,∴(b-c)2=0. ………………12分

則b=c,∴B=C=.

∴△ABC為等邊三角形. ……………………………………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）∵S1=a1=1,且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列，

∴Sn=2n-1.……………………………………………………………2分

又當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2. …………………………5分

∴an=          ………………………………………………7分

 

（Ⅱ）a3,a5,…,a2n+1是以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列，…………9分

∴a3+a5+…＋a2n+1=…………………………11分

∴a1+a3+…＋a2n+1=1+…………………………13分

（17）（共14分）

方法一：

（Ⅰ）證明：連結BD交AC于E,連結ME.…………………………………1分

∵ABCD是正方形,∴E是BD的中點.∵M是SD的中點,∴ME是△DSB的中位線.

∴ME∥SB.………………………………………………………………………2分

又∵ME?平面ACM,SB?平面ACM, ………………………………………3分

∴SB∥平面ACM.………………………………………………………………4分

（Ⅱ）解：取AD中點F,則MF∥SA.作FQ⊥AC于Q，連結MQ. ………5分

∵SA⊥底面ABCD,∴MF⊥底面ABCD.

∴FQ為MQ在平面ABCD內(nèi)的射影.

∵FQ⊥AC,

∴MQ⊥AC.

∴∠FQM為二面角D-AC-M的平面角.………………………………………7分

設SA=AB=a,在Rt△MFQ中，MF=SA=,FQ=DE=a,

∴tanFQM=

∴二面角D-AC-M的大小為arctan. ………………………………………9分

（Ⅲ）證明：由條件有DC⊥SA,DC⊥DA,∴DC⊥平面SAD,∴AM⊥DC.…………10分

又∵SA=AD,M是SD的中點，∴AM⊥SD.

∴AM⊥平面SDC. ………………………………………………………………11分

∴SC⊥AM.

由已知SC⊥AN,∴SC⊥平面AMN.

又SC?平面SAC,∴平面SAC⊥平面AMN. …………………………………14分

方法二：

解：（Ⅱ）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐

標系A-xyz, ……………………………5分

由SA=AB,故設AB=AD=AS=1,則

A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),

D(1,0,0),S(0,0,1),M（，0，）.

∵SA⊥底面ABCD,

∴是平面ABCD的法向量，

*=(0,0,1).

 

設平面ACM的法向量為n=(x, y, z),

=(1,1,0), =（），………………………………………………7分

 

      

 

令x=1,則n=(1,-1,-1).  …………………………………………………………8分

∴cos＜, n＞=     =      =

∴二面角D-AC-M的大小為arccos.………………………………………9分

（Ⅲ）∵=（，0，），=(-1,-1,1),…………………………………………10分

∴? = -+=0.

∴⊥.…………………………………………………………………………12分

又∵SC⊥AN且AN∩AM=A,

∴SC⊥平面AMN.又SC平面SAC,

∴平面SAC⊥平面AMN.…………………………………………………………14分

（18）（共12分）

解：(Ⅰ)設“這4個家庭中恰好有3個家庭訂閱了A報”的事件為A,………1分

P(A)=  (0.3)3(0.7)=0.0756 …………………………………………4分

答：這4個家庭中恰好有3個家庭訂閱了A報的概率為0.0756.

(Ⅱ)設“這4個家庭中至多有3個家庭訂閱了B報”的事件為B,………5分

P(B)=1-(0.6)4=1-0.1296=0.8704…………………………………………8分

答：這4個家庭中至多有3個家庭訂閱了B報的概率為0.8704.

(Ⅲ)設“這4個家庭中恰好有2個家庭A,B報都沒有訂閱”的事件為C, …9分

因為有30%的家庭訂閱了A報,有60%的家庭訂閱了B報，

有20%的家庭同時訂閱了A報和B報.所以兩份報紙都沒有訂閱的家庭

有30%.

所以P(C)=  (0.3)2(0.7)2=0.2646 …………………………………12分

答：這4個家庭中恰好有2個家庭A,B報都沒有訂閱的概率為0.2646.

注：第三問若寫出兩份報紙都沒有訂閱的家庭有30%，后面計算有誤，給到10分.

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）設拋物線S的方程為y2=2px.…………………………………………1分

由可得2y2+py-20p=0.……………………………………3分

由Δ>0,有p>0,或p<-160.

設B(x1,y1),C(x2,y2),則y1+y2=.

∴x1+x2=（5-）+（5-）=10- =10+.…………………………5分

設A(x3,y3)，由△ABC的重心為F（，0）,則

∴x3=

∵點A在拋物線S上，∴（）2=2p（）,∴p=8.…………………6分

∴拋物線S的方程為y2=16x.……………………………………………………7分

(Ⅱ)當動直線PQ的斜率存在時，設PQ的方程為y=kx+b,顯然k≠0,b≠0.………

……………………………………………………………………………………8分

設P(xp, yp),Q(xQ, yQ),∵OP⊥OQ,∴kOP?kOQ=-1.

∴?=-1，∴xP xQ + yP yQ=0.  …………………………………………10分

將y=kx+b代入拋物線方程，得ky2-16y+16b=0,∴yPyQ=.

∵k≠0,b≠0,∴b=-16k,∴動直線方程為y=kx-16k=k(x-16).

此時動直線PQ過定點（16,0）.………………………………………………12分

當直線PQ 的斜率不存在時，顯然PQ⊥x軸，又OP⊥OQ,∴△POQ為等腰直角三角形.

由得到P(16,16),Q(16,-16).

此時直線PQ亦過點（16,0）. …………………………………………………13分

綜上所述，動直線PQ過定點M(16,0). ………………………………………14分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）由已知，可得f '(x)=2ax+b,  …………………………………………1分

∴ 解之得a=.…………………………………………3分

（Ⅱ）∵∴

由=2×1

=2×2

=2×3

…

累加得=n2-n(n=2,3…).………………………………………………6分

∴an=（n=2,3…）.

當n=1時，………………………………………………7分

∴an=（n=1,2,3…）.……………………………………………8分

（Ⅲ）當k=1時，由已知a1=4<5顯然成立;………………………………………9分

當k≥2時,ak=<(k≥2)……………………11分

則a1+a2+a3+…+ak<4+［(1-)+()+…+ ()］=5-<5

………………………………………………………………………………13分

綜上，a1+a2+a3+…+ak<5(k=1,2,3…)成立. ………………………………14分

 

說明：其他正確解法按相應步驟給分.

 


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