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山東省兗州市高補(bǔ)學(xué)校2009屆高三模擬試卷

數(shù)學(xué)（文科）試題

一、選擇題（共12題，每題只有一個(gè)正確答案，每題5分，共60分）

1．定義集合運(yùn)算：設(shè)集合，

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，則集合的所有元素之和為（）

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A．1 B．0 C．－1 D．

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2．復(fù)數(shù)，則的值為（）

A．0 B．－1 C．1 D．2

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3．設(shè)集合，那么“”是“”的（）

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件

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C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

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4．某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽

得分的徑葉圖如圖，則以下說法正確的

是（）

A．甲總體得分比乙好，且甲比乙穩(wěn)定；

B．甲總體得分比乙好，但乙比甲穩(wěn)定；

C．乙總體得分比甲好，且乙比甲穩(wěn)定；

D．乙總體得分比甲好，但甲比乙穩(wěn)定。

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5．如圖所示為一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，則其對(duì)應(yīng)的實(shí)物是（）

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6．已知橢圓，是其右焦點(diǎn)，過作橢圓的弦，設(shè)，則的值為（）

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A． B． C． D．

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7．定義兩種運(yùn)算：，則函數(shù)為（）

A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．奇函數(shù)且為偶函數(shù) D．非奇函數(shù)且非偶函數(shù)

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8．已知向，若，則與的夾角為（）

A．30° B．60° C．120° D．150°

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9．右圖是計(jì)算1＋2＋3＋…＋100的一個(gè)程序框圖，則條件框內(nèi)是（）

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A． B． C． D．

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10．若過點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則

直線斜率的取值范圍為（）

A． B．

C． D．

11．如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，

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其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”類比“黃金

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橢圓”，可推算出“黃金雙典線”的離心率等于（）

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A． B． C． D．

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12．已知且，，當(dāng)時(shí)均有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

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A． B． C． D．

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二、填空題（共4題，每題4分，共16分）

13．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于4的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向中隨機(jī)投一點(diǎn)，

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則落入中的概率為____________________

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14．若且，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是___.

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15．如果實(shí)數(shù)，b滿足條件：則的最小值是________________。

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16．下列四個(gè)命題：

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①圓與直線相交，所得弦長(zhǎng)為2；

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②直線與圓恒有公共點(diǎn)；

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③若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為；

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④若棱長(zhǎng)為的正四面體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為。

其中，正確命題的序號(hào)為________________（寫出所有正確命題的序號(hào)）。

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三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．（本小題滿分12分）

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在平面直角坐標(biāo)系下，已知，，，。

（Ⅰ）求的表達(dá)式；

（Ⅱ）求的最小正周期和值域。

18．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)。

（1）若從集合中任取一個(gè)元素，從集合中任取一個(gè)元素，

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求方程有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率；

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（2）若從區(qū)間中任取一個(gè)數(shù)，從區(qū)間中任取一個(gè)數(shù)，求方程沒有實(shí)根的概率。

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19．（本小題滿分12分）

如圖1所示，正△ABC的邊長(zhǎng)為2a，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)。現(xiàn)將△ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD⊥平面BCD（如圖2）

（1）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求三棱錐C－DEF的體積。

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20．（本小題滿分12分）

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已知數(shù)列的前項(xiàng)和

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（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

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（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

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21．本小題滿分12分）

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已知?jiǎng)狱c(diǎn)到雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值，

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且的最小值為。

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（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

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（2）若已知點(diǎn)、在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上，且，

求實(shí)數(shù)的取值范圍。

22．（本小題滿分14分）

已知函數(shù)。

（Ⅰ）求的值域；

（Ⅱ）設(shè)，函數(shù)。若對(duì)任意，總存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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一、1―12 BABCA BACAD AC

二、13． 14． 15．1 16．②④

三、解答題

17．解：（Ⅰ）依題意得（2分）

∴

（4分）

（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以的最小正周期為

（7分）

∵， ∴ （8分）

∴ （10分）

∴ （11分）

所以函數(shù)的值域是（12分）

18．解：（1）a取集合｛0，1，2，3｝中任一元素，b取集合｛0，1，2｝中任一元素

∴a、b的取值情況有（0，0），（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0），

（2，1），（2，2），（3，0）（3，1）（3，2）其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值，基本事件總數(shù)為12.

設(shè)“方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根”為事件A，

當(dāng)時(shí)方程有兩個(gè)不相等實(shí)根的充要條件為

當(dāng)時(shí)，的取值有（1，0）（2，0）（2，1）（3，0）（3，1）（3，2）

即A包含的基本事件數(shù)為6.

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根的概率（6分）

（2）∵a從區(qū)間［0，2］中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間［0，3］中任取一個(gè)數(shù)

則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域

這是一個(gè)矩形區(qū)域，其面積

設(shè)“方程沒有實(shí)根”為事件B

則事件B構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?sub> 高考資源網(wǎng)(www.ks5u.com)，中國(guó)最大的高考網(wǎng)站，您身邊的高考專家。

即圖中陰影部分的梯形，其面積

由幾何概型的概率計(jì)算公式可得方程沒有實(shí)根的概率

（12分）

19．解：（1）判斷：平面（2分）

高考資源網(wǎng)(www.ks5u.com)，中國(guó)最大的高考網(wǎng)站，您身邊的高考專家。證明：

因在中，，分別

是的中點(diǎn)，有

（4分）

又因

平面，

平面（5分）

所以

平面（6分）

（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，面面，面面，而面，故平面，

于是是三棱錐的高（8分）

又的面積為

（10分）

故三棱錐的體積為

（12分）

20．解：（1）時(shí)，，∴；（2分）

當(dāng)時(shí)，，∴ （4分）

∴通項(xiàng)公式（6分）

，（8分）

即

所以

（12分）

21．解：（1）因?yàn)?sub> 高考資源網(wǎng)(www.ks5u.com)，中國(guó)最大的高考網(wǎng)站，您身邊的高考專家。、為橢圓的上、下焦點(diǎn)，所以，設(shè)。

所以

因?yàn)?sub> 高考資源網(wǎng)(www.ks5u.com)，中國(guó)最大的高考網(wǎng)站，您身邊的高考專家。

所以，整理可得

所以求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為（4分）

（2）（法一）設(shè)過點(diǎn)所作曲線的切線斜率為，則切線方程

由可得：

，所以或（6分）

過點(diǎn)所作曲線的切線方程為和

由和可分別解得：和

所以直線的方程的方程為：（8分）

（法二）設(shè)過點(diǎn)所作曲線的兩切線的切點(diǎn)為，

則記則，

則兩條切線的方程為

即：

和

即：

因?yàn)閮蓷l切線均經(jīng)過點(diǎn)，所以且

所以，直線的方程的方程為：

（3）若存在，不防設(shè)其坐標(biāo)為，過點(diǎn)所作曲線的切線斜率為，則切線方程為，即

由可得：

因?yàn)橹本€和拋物線相切，所以（10分）

設(shè)兩條切線的斜率分別為，則

因?yàn)?sub> 高考資源網(wǎng)(www.ks5u.com)，中國(guó)最大的高考網(wǎng)站，您身邊的高考專家。所以

所以兩條切線垂直所以所以

所以在直線上是存在點(diǎn)滿足題意。（12分）

22．解：（1）由題設(shè)得，

∵，則 ∴，

所以（2分）

所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立

∴ 故（3分）

（2）由，求導(dǎo)數(shù)得

，在上恒單調(diào)，只需或在上恒成立，即或恒成立，所以或在上恒成立（6分）

記，可知：，

∴ 或（8分）

（3）令，則令，則，列表如下：

－1

（－1，0）

（0，1）

＋

―

＋

―

遞增

極大值

遞減

極小值1

遞增

極大值

遞減

∴時(shí)，無零點(diǎn)；或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有四個(gè)零點(diǎn) （14分）

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