面積問題和面積方法

基礎(chǔ)知識(shí)

1．面積公式

由于平面上的凸多邊形都可以分割成若干三角形，故在面積公式中最基本的是三角形的面積公式．它形式多樣，應(yīng)在不同場(chǎng)合下選擇最佳形式使用．

設(shè)△，分別為角的對(duì)邊，為的高，、分別為△外接圓、內(nèi)切圓的半徑，．則△的面積有如下公式：

（1）；

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

2．面積定理

（1）一個(gè)圖形的面積等于它的各部分面積這和；

（2）兩個(gè)全等形的面積相等；

（3）等底等高的三角形、平行四邊形、梯形（梯形等底應(yīng)理解為兩底和相等）的面積相等；

（4）等底（或等高）的三角形、平行四邊形、梯形的面積的比等于其所對(duì)應(yīng)的高（或底）的比；

（5）兩個(gè)相似三角形的面積的比等于相似比的平方；

（6）共邊比例定理：若△和△的公共邊所在直線與直線交于，則；

（7）共角比例定理：在△和△中，若或，則．

3．張角定理：如圖，由點(diǎn)出發(fā)的三條射線，設(shè)，，，則三點(diǎn)共線的充要條件是：

．

例題分析

例1．梯形的對(duì)角線相交于，且，，求

例2．在凸五邊形中，設(shè)，求此五邊形的面積．

例3．是△內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)與分別交于，△、△、△的面積分別為40，30，35，求△的面積．

例4．分別是△的邊和上的點(diǎn)，且，求△的面積的最大值．

例5．過△內(nèi)一點(diǎn)引三邊的平行線∥，∥，∥，點(diǎn)都在△的邊上，表示六邊形的面積，表示

△的面積．求證：．

例6．在直角△中，是斜邊上的高，過△的內(nèi)心與△的內(nèi)心的直線分別交邊和于和，△和△的面積分別記為和．求證：．

例7．銳角三角形中，角等分線與三角形的外接圓交于一點(diǎn)，點(diǎn)、與此類似，直線與、兩角的外角平分線將于一點(diǎn)，點(diǎn)、與此類似．求證：

（1）三角形的面積是六邊形的面積的二倍；

（2）三角形的面積至少是三角形的四倍．

例8．在△中，將其周長(zhǎng)三等分，且在邊上，求證：．

例9．在銳角△的邊邊上有兩點(diǎn)、，滿足，作，（是垂足），延長(zhǎng)交△的外接圓于點(diǎn)，證明四邊形與△的面積相等．

三．面積的等積變換

等積變換是處理有關(guān)面積問題的重要方法之一，它的特點(diǎn)是利用間面積相等而進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換證（解）題．

例10．凸六邊形內(nèi)接于⊙，且，，求此六邊形的面積．

例11．已知的三邊，現(xiàn)在上取，在延長(zhǎng)線上截取，在上截取，求證：．

例12．在內(nèi)，且∽，求征：

例13．在的三邊上分別取點(diǎn)，使，，連相交得三角形，已知三角形的面積為13，求三角形的面積．

例14．為圓內(nèi)接四邊形的邊的中點(diǎn)，于，于，于，求證：平分．

例15．已知邊長(zhǎng)為的，過其內(nèi)心任作一直線分別交于點(diǎn)，求證：．

例16．正△正△，，，，，

，．求證：．

例17．在正內(nèi)任取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)分別為，則相交于一點(diǎn)．

例18．已知是正六邊形的兩條對(duì)角線，點(diǎn)分別內(nèi)分，且使，如果三點(diǎn)共線，試求的值．

例19．設(shè)在凸四邊形中，直線以為直徑的圓相切，求證：當(dāng)且僅當(dāng)∥時(shí)，直線與以為直徑的圓相切．

訓(xùn)練題

1．設(shè)的面積為10，分別是邊上的點(diǎn)，且若，求的面積．

2．過內(nèi)一點(diǎn)作三條平行于三邊的直線，這三條直線將分成六部份，其中，三部份為三角形，其面積為，求三角形的面積．

3．在的三邊上分別取不與端點(diǎn)重合的三點(diǎn)，求證：，中至少有一個(gè)的面積不大于的面積的．

4．銳角的頂角的平分線交邊于，又交三角形的外接圓于，過作和邊的垂線和,垂足是，求證：四邊形的面積等于的 面積．

5．在等腰直角三角形的斜邊上取一點(diǎn)，使，作交于，求證：．

6．三條直線互相平行，在的兩側(cè)，且間的距離為，間的距離為1，若正的三個(gè)頂點(diǎn)分別在上，求正的邊長(zhǎng)．

7．已知及其內(nèi)任一點(diǎn)，直線分別交對(duì)邊于（），證明：在這三個(gè)值中，至少有一個(gè)不大于2，并且至少有一個(gè)不小于2．

8．點(diǎn)和分別在的邊和上，點(diǎn)和將線段分為三等分，直線和分別與邊相交于點(diǎn)和，證明：．

9．已知P是內(nèi)一點(diǎn)，延長(zhǎng)分別交對(duì)邊于，其中，，且，求之值．

10．過點(diǎn)P作四條射線與直線分別交于和，求證：

．

11．四邊形的兩對(duì)對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別交，過作直線與對(duì)角線的延長(zhǎng)線分別，求證：．

12．為的重心，過作直線交于，求證：．