山西省太原五中2008―2009學(xué)年度第二學(xué)期月考試題(5月)
高 三 數(shù) 學(xué)(理)
第Ⅰ卷(共60分)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個備選項中,只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)為虛數(shù)單位,則的展開式中第三項為( )
A. B. C. D.
2. 已知集合,,,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
3. “”是“直線和直線互相垂直”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
4. 橢圓的焦點在軸上,長軸長是短軸長的兩倍,則的值為( )
A. B. C.2 D.4
5. 對于不重合的兩個平面與, 給定下列條件
①存在平面,使得、都垂直于;
②存在平面,使得、都平行于;
③存在直線,直線,使得;
④存在異面直線、,使得,,,;其中可以判定與平行的條件有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
6. 從集合中任。硞不同的數(shù)排成數(shù)列,則這個數(shù)列為等差數(shù)列的概率為( 。
A. B. C. D.
7. 若,則與的大小關(guān)系是( )
A. B.
C. D.與的取值有關(guān)
8. 已知F1、F2是橢圓左、右焦點,過F1的直線與橢圓相交于A、B,且,,則橢圓離心率為( )
A. B. C. D.
9.若直線通過點,則( )
A. B. C. D.
10.已知圖甲中的圖像對應(yīng)的函數(shù),則圖乙中的圖像對應(yīng)的函數(shù)在下列給出的四式中只可能是 ( )
甲 乙
A. B. C. D.
11.已知可導(dǎo)函數(shù),則當(dāng)時,大小關(guān)系為( )
A. B. C. D.
12. 在正整數(shù)數(shù)列中,由1開始依次按如下規(guī)則將某些數(shù)染成紅色.先染1,再染2個偶數(shù)2、4;再染4后面最鄰近的3個連續(xù)奇數(shù)5、7、9;再染9后面最鄰近的4個連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16;再染此后最鄰近的5個連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25.按此規(guī)則一直染下去,得到一紅色子數(shù)列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,….則在這個紅色子數(shù)列中,由1開始的第2009個數(shù)是( )
A.3955 B
第II卷(非選擇題,共90分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填答題卷中相應(yīng)的橫線上.
13. 設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布, 若,則
14. 已知曲線與直線有兩個不同的公共點,則實數(shù)的取值范圍是 .
15. 已知如圖,正方體的棱長為,以頂點為球心,為半徑作一個球,則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和等于 _________ .
16.已知圓,圓,過圓上的點M向圓作切線,為切點,給出下列命題:
①兩圓上任意兩點間的距離的范圍是
②確定時,兩圓的公切線有兩條
③對于任意存在定直線與兩圓都相交
④的范圍是
其中正確的命題是 。
三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟
17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點,且當(dāng)時,的最大值為.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)是否存在向量,使得將的圖象按照向量平移后可以得到一個奇函數(shù)的圖象?若存在,請求出滿足條件的一個;若不存在,請說明理由.
18.(本小題滿分10分)已知數(shù)列、滿足,,且,
(Ⅰ)求數(shù)列和的通項公式;
(Ⅱ)記數(shù)列的前項和為,數(shù)列的前項和為,求.
19. (本小題滿分10分) 在一個盒子中,放有標(biāo)號分別為1,2,3,的三張卡片,從這個盒子中,有放回地先后抽取兩張卡片的標(biāo)號分別為,,記.
(Ⅰ)求隨機變量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;
(Ⅱ) 求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望。
20. (本小題滿分14分) 如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,DAB為直角,AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分別為PC、CD的中點.
(Ⅰ)試證:CD平面BEF;
(Ⅱ)設(shè)PA=k?AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范圍.
21.(本小題滿分12分)已知橢圓C:的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形,直線是拋物線的一條切線.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點的動直線L交橢圓C于A、B兩點,試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點T,使得以AB為直徑的圓恒過點T?若存在,求出點T的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
22. (本小題滿分14分)設(shè)函數(shù),其圖象在點處的切線的斜率分別為.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)若函數(shù)的遞增區(qū)間為,求的取值范圍;
(Ⅲ)若當(dāng)時(是與無關(guān)的常數(shù)),恒有,試求的最小值.
一、選擇題:(每小題5分,共60分)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
A
B
C
D
C
B
C
B
A
二、填空題:(每小題5分,共20分)
13、 0.1; 14、__(0,1]_; 15、; 16、①④ ;
三、解答題:(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17. (1)由得:, ……………………………… 2分
即, ……………… 4分
當(dāng)時,,
因為,有,,得
故 …………………………… 7分
(2)∵是奇函數(shù),且將的圖象先向右平移個單位,再向上平移1個單位,可以得到的圖象,∴是滿足條件的一個平移向量.……10分
18. (Ⅰ),……5分
(Ⅱ),……8分
,……10分
19. (Ⅰ) ,的可能取值為1,2,3
∴ ∴,因此,隨機變量的最大值為3
……5分
(Ⅱ)的可能取值為0,1,2,3,則……6分
,,,……9分
隨機變量的分布列(略)
……10分
20.(Ⅰ) 解法一:
(Ⅰ)證:由已知DF∥AB且DAD為直角,故ABFD是矩形,從而CDBF. ………..4分
又PA底面ABCD,CDAD,故知CDPD.在△PDC中,E、F分別PC、CD的中點,故EF∥PD,從而CDEF,由此得CD面BEF. ………..7分
(Ⅱ)連結(jié)AC交BF于G.易知G為AC的中點.連接EG,則在△PAC中易知EC∥PA.又因
PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中,過C作GHBD,垂足為H,連接EH.由三垂線定理知EHBD.從而EHG為二面角E-BD-C的平面角. ………..10分
設(shè)AB=a,則在△PAC中,有
BG=PA=ka.
以下計算GH,考察底面的平面圖(如答(19)圖2).連結(jié)GD.
因S△CBD=BD?GH=GB?OF.故GH=.
在△ABD中,因為AB=a,AD=
而GB=FB=AD-a.DF-AB,從而得GH== =因此tanEHG==………..12分
由k>0知是銳角,故要使>,必須>tan=
解之得,k的取值范圍為k>………..14分
解法二:
(Ⅰ)如圖,以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為:軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=a,則易知點A,B,C,D,F的坐標(biāo)分別為
A(0,0,0),B(a,0,0),C(
F(a,
從而=(
?=0,故 .
設(shè)PA=b,則P(0,0,b),而E為PC中點.故 第(20)
?=0,故.
由此得CD面BEF.
(Ⅱ)設(shè)E在xOy平面上的投影為G,過G作GHBD垂足為H,由三垂線定理知EHBD.
從而EHG為二面角E-BD-C的平面角.
由PA=k?AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).設(shè)H(x,y,0),則=(x-a,y-a,0), =(-a,
由?=0得=a(x-a)+
又因=(x,a,y,0),且與的方向相同,故=,即2x+y=
由①②解得x=a,y=a,從而=,||=a.
tanEHG===.由k>0知,EHC是銳角,由EHC>得tanEHG>tan即>故k的取值范圍為k>.
21.解:(1)由
因直線相切,
,
∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形,∴
故所求橢圓方程為 …………4分
(2)當(dāng)L與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程:
當(dāng)L與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程:
由
即兩圓相切于點(0,1)
因此,所求的點T如果存在,只能是(0,1)…………8分
事實上,點T(0,1)就是所求的點,證明如下.
當(dāng)直線L垂直于x軸時,以AB為直徑的圓過點T(0,1)
若直線L不垂直于x軸,可設(shè)直線L:
由
記點、
所以TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過點T(0,1)
所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點T(0,1)滿足條件.…………12分
22. 解答:(1),由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義得
, 。1)
, (2) ……2分
又,可得,即,故
由(1)得,代入,再由,得
, (3) ……4分
將代入(2)得,即方程有實根.
故其判別式得,或, (4)
由(3),(4)得;……6分
(2)由的判別式,
知方程有兩個不等實根,設(shè)為,
又由知,為方程()的一個實根,則有根與系數(shù)的關(guān)系得
, ……8分
當(dāng)或時,,當(dāng)時,,
故函數(shù)的遞增區(qū)間為,由題設(shè)知,
因此,由(Ⅰ)知得的取值范圍為;……10分
(3)由,即,即
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