上海市閔行區(qū)2008學(xué)年第二學(xué)期高三年級(jí)質(zhì)量調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試卷（文理科）

考生注意：

1．答卷前，考生務(wù)必在答題紙上將學(xué)校、班級(jí)、考號(hào)、姓名等填寫(xiě)清楚．

2．本試卷共有21道題，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．

一. 填空題（本大題滿(mǎn)分60分）本大題共有12題，考生應(yīng)在答題紙上相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)

直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分．

1．方程的解                   .

2．（理）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且法向量為，則直線的方程是              

（結(jié)果用直線的一般式表示）.

（文）計(jì)算                   .

3．（理）若函數(shù)則                 .

（文）若，則                   .

4．（理）若是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)                   .

（文）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且法向量為，則直線的方程是              

（結(jié)果用直線的一般式表示）.

5．（理）在極坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為、，為極點(diǎn)，則面積為              .

（文）若，則函數(shù)的最大值為           .

6．（理）無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)和為                   .

（文）若是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)                   .

7．根據(jù)右面的框圖，該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為       .

8．（理）已知地球半徑為公里，位于赤道上兩點(diǎn)、分別在東經(jīng)和上，則、兩點(diǎn)的球面距離為           公里（取3.14，結(jié)果精確到1公里）.

（文）已知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為4的正方形，則該圓柱的體積為            .

9．（理）一個(gè)袋子里裝有外形和質(zhì)地一樣的5個(gè)白球、3個(gè)綠球和2個(gè)紅球，將它們充分混合后，摸得一個(gè)白球計(jì)1分，摸得一個(gè)綠球計(jì)2分，摸得一個(gè)紅球計(jì)4分，記隨機(jī)摸出一個(gè)球的得分為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望              .

（文）在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空試驗(yàn)中，先后要實(shí)施道程序，則滿(mǎn)足程序只能出現(xiàn)在最后一步，且程序和程序必須相鄰實(shí)施的概率為               .

10．（理）若關(guān)于的方程在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是              .

（文）若關(guān)于的方程在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是              .

11．（理）對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍為              .

（文）對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為              .

12．（理）通過(guò)研究函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)一步研究可得在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為          .

（文）通過(guò)研究方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解的個(gè)數(shù)，進(jìn)一步研究可得函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為          .

二. 選擇題（本大題滿(mǎn)分16分）本大題共有4題，每題只有一個(gè)正確答案，選對(duì)得4分，答案代號(hào)必須填在答題紙上．注意試題題號(hào)與答題紙上相應(yīng)編號(hào)一一對(duì)應(yīng)，不能錯(cuò)位.

13．（理）“”是“”的                      [答]（    ）

(A) 充分非必要條件.                (B) 必要非充分條件.

(C) 充要條件.                      (D) 既非充分也非必要條件.

（文）“”是“”的                            [答]（    ）

(A) 充分非必要條件.                (B) 必要非充分條件.

(C) 充要條件.                      (D) 既非充分也非必要條件.

14．（理）若，且，則的取值范圍是   [答]（    ）

(A) .       (B) .        (C) .       (D) .

（文）若，且，則的最大值是                   [答]（    ）

(A) 2.            (B) 3.            (C) 4.            (D) 5.

15．函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到軸的距離為，則                                           [答]（    ）

(A) 5.            (B).          (C).         (D) 不確定的正數(shù).

16．（理）已知橢圓（為參數(shù)）上的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之比，且，則的最大值為[答]（    ）

(A) .            (B) .            (C) .            (D) .

（文）橢圓上的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之比，且，則的最大值為   [答]（    ）

(A) .            (B) .            (C) .            (D) .

三.  解答題（本大題滿(mǎn)分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙上與題號(hào)對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟．

_{17.（本題滿(mǎn)分12分）}

（理）已知的最大值為2，求實(shí)數(shù)的值．

（文）已知的最大值為2，求實(shí)數(shù)的值．

_{18.（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分．}

（理）在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)在棱上移動(dòng).

（1）探求等于何值時(shí)，直線與平面成角；

（2）點(diǎn)移動(dòng)為棱中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．

（文）如圖幾何體是由一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體與一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱錐組合而成.

（1）求該幾何體的主視圖的面積；

（2）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）.

_{19.（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分．}

課本中介紹了諾貝爾獎(jiǎng)，其發(fā)放方式為：每年一次，把獎(jiǎng)金總金額平均分成6份，獎(jiǎng)勵(lì)在6項(xiàng)（物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平）為人類(lèi)作出了最有益貢獻(xiàn)的人.每年發(fā)放獎(jiǎng)金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息用于增加基金總額，以便保證獎(jiǎng)金數(shù)逐年遞增.資料顯示:1998年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后基金總額已達(dá)萬(wàn)美元，假設(shè)基金平均年利率為.

（1）請(qǐng)計(jì)算：1999年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后基金總額為多少萬(wàn)美元？當(dāng)年每項(xiàng)獎(jiǎng)金發(fā)放多少萬(wàn)美元（結(jié)果精確到1萬(wàn)美元）？

（2）設(shè)表示為第()年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后的基金總額(1998年記為),試求函數(shù)的表達(dá)式.并據(jù)此判斷新民網(wǎng)一則新聞 “2008年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金高達(dá)168萬(wàn)美元”是否與計(jì)算結(jié)果相符，并說(shuō)明理由.

_{20.（本題滿(mǎn)分17分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分、第3小題滿(mǎn)分7分．}

（理）斜率為1的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)、.

（1）若，求的值；

（2）將直線按向量平移得直線，是上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．

（3）設(shè)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

（文）斜率為1的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)、．

（1）求的值；

（2）將直線按向量平移得直線，是上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．

（3）設(shè)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，證明：存在一條定直線：，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值，并求出直線的方程．

_{21.（本題滿(mǎn)分17分）（理）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分5分，第3小題滿(mǎn)分8分．第3小題根據(jù)不同思維層次表現(xiàn)予以不同評(píng)分．}

對(duì)于數(shù)列

（1）當(dāng)滿(mǎn)足（常數(shù)）且（常數(shù)），

證明：為非零常數(shù)列.

（2）當(dāng)滿(mǎn)足（常數(shù)）且（常數(shù)），

判斷是否為非零常數(shù)列，并說(shuō)明理由.

（3）對(duì)（1）、（2）等式中的指數(shù)進(jìn)行推廣,寫(xiě)出推廣后的一個(gè)正確結(jié)論,并說(shuō)明理由.

_{（文）本題共有3個(gè)小題，第1、2小題滿(mǎn)分各5分，第3小題滿(mǎn)分7分．第3小題根據(jù)不同思維層次表現(xiàn)予以不同評(píng)分．}

對(duì)于數(shù)列

（1）當(dāng)滿(mǎn)足（常數(shù)）且（常數(shù)），

證明：為非零常數(shù)列.

（2）當(dāng)滿(mǎn)足（常數(shù)）且（常數(shù)），

判斷是否為非零常數(shù)列，并說(shuō)明理由.

（3）對(duì)（1）、（2）等式中的指數(shù)進(jìn)行推廣,寫(xiě)出推廣后的一個(gè)正確結(jié)論（不用說(shuō)明理由）.

閔行區(qū)2008學(xué)年第二學(xué)期高三年級(jí)質(zhì)量調(diào)研考試

一、填空題：（每題5分）

1. ；        2. 理：、文：；                      　3. 理：0、文：0；

4.理：0、文：；     5.理：；文：40；   6.理：、文：0；

7. ；          8.理：、文：；             9.理：、文：；

10.理：、文：；   11.理：、文：0；   12.理：當(dāng)為大于3的偶數(shù)時(shí)，個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)為大于或等于3的奇數(shù)時(shí)，個(gè)零點(diǎn)、文：個(gè)零點(diǎn).

二、選擇題：（每題4分）13. ；  14. ；  15. ； 16.

三、解答題：

17.（本題滿(mǎn)分12分）

(理) 解：按行列式展開(kāi)可得：

  (3分)

  (6分)

，(9分)

從而可得：．(12分)

 (文) 解：按行列式展開(kāi)可得           (3分)

        (6分)

由題意得：    (9分)   ．(12分)

_{18.（本題滿(mǎn)分14分）}

（理）解：（1）法一：長(zhǎng)方體中，因?yàn)辄c(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，所以平面，從而為直線與平面所成的平面角，(3分)

中，.  (6分)

法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA、DC、DD₁依次為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，平面的法向量為，設(shè)，得，(3分)由，得，故    (6分)

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA、DC、DD₁依次為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，， ，

從而，，      (3分)

設(shè)平面的法向量為，由

令， (5分)

所以點(diǎn)到平面的距離為.  (8分)

（文）解：（1）畫(huà)出其主視圖（如下圖），

可知其面積為三角形與正方形面積之和.

在正四棱錐中，棱錐的高， (2分)

. (6分)

（2）取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，

則為異面直線與所成角.        (2分)

在中，，

又在正四棱錐中，斜高為， (4分)

由余弦定理可得                    (6分)

所以，異面直線與所成的角為.  (8分)

_{19.（本題滿(mǎn)分14分）}

解：（1）由題意知：1999年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后基金總額為

萬(wàn)美元；  (3分)

每項(xiàng)獎(jiǎng)金發(fā)放額為萬(wàn)美元；  (6分)

（2）由題意知：，

，

所以， （）.       (5分)

2007年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后基金總額為

2008年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金額為萬(wàn)美元，

與168萬(wàn)美元相比少了34萬(wàn)美元，計(jì)算結(jié)果與新聞不符.                (8分)

1千萬(wàn)瑞典克朗怎么換成美元成了，137，154，168萬(wàn)美元？

_{20.（本題滿(mǎn)分17分）}

（理）

解：（1）設(shè)，時(shí)，直線：代入中

可得：                                            （2分）

則，由定義可得：.                 （4分）

（2）直線：，代入中，可得：

則，，設(shè)，

則

即  （2分）

由                     （4分）

則

當(dāng)時(shí)，的最小值為．                            （6分）

（3）假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線存在，其方程為，

設(shè)的中點(diǎn)為，與以為直徑的圓相交于點(diǎn)、，設(shè)的中點(diǎn)為，

則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

，

，                                  （2分）

，

．                    （5分）

令，得，此時(shí)為定值，

故滿(mǎn)足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線． （7分）

（文）（1）設(shè)，直線：代入中

可得：                                            （2分）

則，由定義可得：.                 （4分）

（2）由（1）可設(shè)，

則

即  （2分）

由，，                       （4分）

則

當(dāng)時(shí)，的最小值為．                              （6分）

（3）設(shè)的中點(diǎn)為，與以為直徑的圓相交于點(diǎn)、，

設(shè)的中點(diǎn)為，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

，

，                                （2分）

，

．                         （5分）

令，得，此時(shí)為定值，

故滿(mǎn)足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．   （7分）

_{21.（本題滿(mǎn)分17分）}

（理）解：（1）（法一）

當(dāng)時(shí)，，所以；

當(dāng)時(shí)，是一常數(shù)，矛盾，所以為非零常數(shù)列；      （4分）

（法二）設(shè)，則有：，

即

所以，解得.由此可知數(shù)列為非零常數(shù)列；     （4分）

（2）記，由（1）證明的結(jié)論知： 為非零常數(shù)列.          （2分）

顯然，為非零常數(shù)列時(shí)，不一定為非零常數(shù)列,如:非常數(shù)數(shù)列（為大于的正常數(shù)）和常數(shù)列為非零常數(shù)）均滿(mǎn)足題意要求. （5分）

（3）根據(jù)不同思維層次表現(xiàn)予以不同評(píng)分．

僅推廣到3次方或4次方的結(jié)論或者是特殊次方的結(jié)論     （結(jié)論1分，解答1分）

滿(mǎn)足（常數(shù)）且（常數(shù)），則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，必為非零常數(shù)列；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不一定為非零常數(shù)列.

事實(shí)上，記，由（1）證明的結(jié)論知：為非零常數(shù)列，即為非零常數(shù)列.所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為非零常數(shù)列；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不一定為非零常數(shù)列.                                             （結(jié)論2分，解答2分）

或者：設(shè)，即，則,即對(duì)一切均為常數(shù)，則必有，即有，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，或者.