江蘇省南通市2009屆高三數(shù)學(xué)押題卷(一)
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分. 不需寫出解答過程.請把答案直接填寫在答案卷上.
1.函數(shù)的定義域為______ .
2.設(shè),且為純虛數(shù),則______.
3.如圖(),直三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為2,正視圖和俯視圖如圖(b),(c)所示,則其左視圖的面積為_______________.
4.如果執(zhí)行如圖的流程圖,那么輸出的 .
5.已知雙曲線的一條漸近線的方程為,則此雙曲線兩條準(zhǔn)線間距離為_____.
6.如圖是某次青年歌手電視大獎賽上一位選手得分的莖葉統(tǒng)計圖,
但是有一個數(shù)字不清晰.根據(jù)比賽規(guī)則要去掉一個最高分和一個
最低分.已知所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為85,則所剩數(shù)據(jù)的方差為 _____.
7.利用計算機(jī)在區(qū)間上產(chǎn)生兩個隨機(jī)數(shù)和,則方程有實(shí)根的概率為 .
8.已知,則的值等于________.
9.某單位用3.2萬元購買了一臺實(shí)驗儀器,假設(shè)這臺儀器從啟用的第一天起連續(xù)使用,第天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元,若使用這臺儀器的日平均費(fèi)用最少,則一共使用了 天.
10.連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6),記“兩次向上的數(shù)字之和等于”為事件,則最大時, .
11. 已知下列兩個命題:
:,不等式恒成立;
:1是關(guān)于x的不等式的一個解.
若兩個命題中有且只有一個是真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
12.定義一個對應(yīng)法則.現(xiàn)有點(diǎn)與,點(diǎn)是
線段上一動點(diǎn),按定義的對應(yīng)法則.當(dāng)點(diǎn)在線段上從點(diǎn)開始運(yùn)動到點(diǎn)結(jié)束時,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)所經(jīng)過的路線長度為 .
13.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為,曲線在點(diǎn)處的切線為,若存在,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
14.?dāng)?shù)列滿足,其中為常數(shù).若存在實(shí)數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列,則數(shù)列的通項公式 .
二.解答題(本大題共6道題,計90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15.在中,角的對邊分別為,且成等差數(shù)列.
⑴求角的值;
⑵若,求△周長的取值范圍.
16.已知直三棱柱中,分別為的中點(diǎn),,點(diǎn)在線段上,且.
⑴求證:;
⑵若為線段上一點(diǎn),試確定在線段上的位置,
使得平面.
17.如圖,在邊長為1的正三角形中,分別是邊上的點(diǎn),若,.設(shè)的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為.
⑴若三點(diǎn)共線,求證;
⑵若,求的最小值.
18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,其右準(zhǔn)線上上存在點(diǎn)(點(diǎn)在 軸上方),使為等腰三角形.
⑴求離心率的范圍;
⑵若橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為,求的內(nèi)切圓的方程.
19.已知函數(shù)
⑴當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
⑵求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
20.設(shè)數(shù)列滿足,令.
⑴試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列?并求數(shù)列的通項公式;
⑵令,是否存在實(shí)數(shù),使得不等式對一切
都成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
⑶比較與的大。
試題答案
一.填空題
1.2. 3. 4. 25 5. 6.
7. 8. 9. 800 10.7 11. a 12. 13. 14.
二.解答題
15.⑴因為成等差數(shù)列,所以 …………2分
由正弦定理得,即.
因為,又,所以.…………6分
⑵,,同理,…………8分
因為,所以,
所以△周長
…………12分
因為,所以,所以△周長的取值范圍為. …14分
16.⑴由直三棱柱可知平面,所以,…………2分
又因為,面,
故, …………4分
又在直三棱柱中,,
故面在平面內(nèi),所以 …………6分
⑵連結(jié)AE,在BE上取點(diǎn)M,使BE=4ME, …………8分
連結(jié)FM,,F,在中,由BE=4ME,AB=4AF
所以MF//AE, …………12分
又在面AA
17.⑴由三點(diǎn)共線,得, …………………………2分
設(shè),即, …………………………4分
所以,所以. …………………………6分
⑵因為=,
又,所以, …………………………10分
所以
。
故當(dāng)時,. …………………………14分
18.⑴由題意有. …………2分
設(shè),由為等腰三角形,則只能是,又,
即,所以. …………6分
⑵由題意得橢圓的方程為,其離心率為,此時.
由,可得. …………10分
設(shè)內(nèi)切圓的圓心,,
因為為等腰三角形,所以的內(nèi)切圓的圓心點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到軸的距離,即, ①
由點(diǎn)在直線上,所以, ②
由①②可得
所以的內(nèi)切圓的方程為.…………16分
注:本題亦可先用面積求出半徑,再求圓的方程.
19.⑴,, …………2分
由得, 解得或.
注意到,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
由得,解得,
注意到,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
綜上所述,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.…………6分
⑵當(dāng)時, ,所以,
設(shè).
①當(dāng)時,有, 此時,所以,在上單調(diào)遞增.所以. …………8分
②當(dāng)時,,
令,即,解得或(舍);
令,即,解得.
若,即時, 在區(qū)間單調(diào)遞減,
所以.
若,即時, 在區(qū)間上單調(diào)遞減,
在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以.
若,即時, 在區(qū)間單調(diào)遞增,
所以. …………14分
綜上所述,當(dāng)時, ;
當(dāng)時,;
當(dāng)時, . …………16分
20. ⑴由已知得,
即, …………2分
所以,即,
又,所以數(shù)列為等差數(shù)列,通項公式為. …………6分
(2)令,由,得
所以,數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列, …………8分
所以數(shù)列的最大項為,
若不等式對一切都成立,只需,解得,
又,所以的取值范圍為. …………12分
(3)問題可轉(zhuǎn)化為比較與的大。O(shè)函數(shù),所以.
當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以在上為增函數(shù);
在上為減函數(shù).
當(dāng)時,顯然有,
當(dāng)時,,即,所以,
即所以.
綜上:當(dāng)時,,即;
當(dāng)時,即. …………16分
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