山東省日照實(shí)驗(yàn)高中2007級高二下學(xué)期模塊考試
數(shù)學(xué)試卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、選擇題（每小題5分，共60分，將答案填涂到答題卡上）
1.復(fù)數(shù)等于
A．1 B．－1 C． D．
2.觀察按下列順序排列的等式：，，，，，猜想第個(gè)等式應(yīng)為
A． B．
C． D．
3.函數(shù)處的切線方程為
A． B． C． D．
相同，則不同的涂色方法種數(shù)是
A 36 B 72 C 24 D 54
5.用反證法證明某命題時(shí)，對結(jié)論：“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為
Ａ．都是奇數(shù) Ｂ．都是偶數(shù)
Ｃ．中至少有兩個(gè)偶數(shù) Ｄ．中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)
6.兩曲線，所圍成圖形的面積等于
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7.函數(shù) (,則
A． B.
C． D.大小關(guān)系不能確定
8.已知函數(shù)則的值為
A．-20 B．-10 C．10 D．20
9.在等差數(shù)列中，若，公差，則有，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若，公比，則，，，的一個(gè)不等關(guān)系是
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
10.函數(shù)圖象如圖，則函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為
C． D．
11.已知函數(shù)，且，則等于
A． B． C． D．
12.設(shè)函數(shù)，且，，則下列結(jié)論不正確的是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空題（每小題4分 ，共16分，將答案填在答題紙上）
13.若復(fù)數(shù)(a2-3a+2)+(a-1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_______.
14.從0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字中每次取3個(gè)不同的數(shù)字，可以組成 個(gè)無重復(fù)數(shù)字的3位偶數(shù)?
15.若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
16.觀察下列等式：（說明：）
……………………………………
可以推測，當(dāng)k≥2（）時(shí)， ，
三、解答題（本大題共6小題，滿分74分。解答須寫出文字說明，證明過程和演算步驟）
17.若復(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)使成立.（其中為的共軛復(fù)數(shù)）
18.已知函數(shù)（m為常數(shù)，且m>0）有極大值9.
（1）求m的值；
（2）若斜率為-5的直線是曲線的切線，求此直線方程.
19.在數(shù)列中，，且前項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第項(xiàng)的倍．
（1）寫出此數(shù)列的前項(xiàng)；
（2）歸納猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
20.某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是元，銷售價(jià)是元，月平均銷售件.通過改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場分析的結(jié)果表明，如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為，那么月平均銷售量減少的百分率為.記改進(jìn)工藝后，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤是（元）.
(1)寫出與的函數(shù)關(guān)系式；
(2)改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價(jià)，使旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大.
21.設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實(shí)數(shù)根；
②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足.”
（1）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由；
（2）集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)镈，則對于任意
[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，
試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
22. 已知，，直線與函數(shù)、的圖象都相切，且與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求直線的方程及的值；
(Ⅱ)若(其中是的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù)的最大值；
(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，求證：.
日照實(shí)驗(yàn)高中2007級高二下學(xué)期模塊考試
數(shù)學(xué)試卷答題紙（理科）
題號
二
17
18
19
20
21
22
合計(jì)
得分
二、填空題
13.____________________________. 14. _____________________________.
15. ____________________________. 16. _____________ , ____________.
三、解答題
17.解：
18.解：
19.解：
20解
21.解：
22.解：
ABABD DCAAD AC
13. 2； 14.52； 15. ； 16 ，0 17. 或
18. 解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m,
當(dāng)x變化時(shí)，f’(x)與f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞,－m)
－m
(－m,)
(,+∞)
f’(x)
+
0
－
0
+
f (x)
極大值
極小值
從而可知，當(dāng)x=－m時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值9，
即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,
依題意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.
又f(－1)＝6，f(－)＝，
所以切線方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，
即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.
19. 解：（1）由已知，，分別取，得，，，
；
所以數(shù)列的前5項(xiàng)是：，，，，；
（2）由（1）中的分析可以猜想．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即．
那么由已知，得，
即．所以，
即，又由歸納假設(shè)，得，
所以，即當(dāng)時(shí)，公式也成立．
當(dāng)①和②知，對一切，都有成立．
20. 解: (Ⅰ)改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為，月平均銷售量為件，則月平均利潤（元），
∴與的函數(shù)關(guān)系式為 .
(Ⅱ)由得，（舍）,
當(dāng)時(shí)；時(shí)，
∴函數(shù) 在取得最大值.
故改進(jìn)工藝后，產(chǎn)品的銷售價(jià)為元時(shí)，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大.
21. 解：（1）因?yàn)椋?
所以滿足條件
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以方程有實(shí)數(shù)根0.
所以函數(shù)是集合M中的元素.
（2）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根），
則，
不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)
使得等式成立
因?yàn)椋?/p>
與已知矛盾，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
22. 解：(Ⅰ)，.∴直線的斜率為，且與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為. ∴直線的方程為. 又∵直線與函數(shù)的圖象相切,
∴方程組有一解. 由上述方程消去，并整理得
①
依題意，方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
解之，得或 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，
. .
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
∴當(dāng)時(shí)，取最大值，其最大值為2.
(Ⅲ) .
， ， .
由(Ⅱ)知當(dāng)時(shí)， ∴當(dāng)時(shí)，，
. ∴
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