甘肅省蘭州市

2009年高三年級(jí)診斷考試

數(shù)學(xué)試題（理科）

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿(mǎn)分150分�？荚嚂r(shí)間120分鐘。

注：請(qǐng)把第I卷1―12小題正確答案的選項(xiàng)填寫(xiě)在試卷答題卡上。

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么             P(A+B)=P(A)+P(B)                        

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么         P(A?B)=P(A)?P(B)                   

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率         

球的表面積公式      其中R表示球的半徑

球的體積公式         其中R表示球的半徑

 

第Ⅰ卷（選擇題  共60分）

 

一、選擇題（本大題12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1．已知集合為            （    ）

       A．{1，2，3，4}    B．{1，3，4，5}     C．{2，3，4，5}    D．{1，2，3，4，5}

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2．函數(shù)的最大值是                        （    ）

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       A．2                       B．1                        C．                 D．

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3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，命題處取得極值，則的                （    ）

       A．充分不必要條件                                B．必要不充分條件

       C．充要條件                                           D．既不充分又不必要條件

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4．已知復(fù)數(shù)有（    ）

       A．第一象限           B．第二象限            C．第三象限           D．第四象限

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5．設(shè)隨機(jī)變量，則的值是                         （    ）

       A．8                       B．6                        C．4                       D．2

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6．下列結(jié)論正確的是                                                                                             （    ）

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       A．當(dāng)     B．當(dāng)

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       C．當(dāng)的最小值是2          D．當(dāng)無(wú)最大值

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       A．1                       B．

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       C．                   D．

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8．已知設(shè)的圖象是                                                    （    ）

       A．過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)                             B．不過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)

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       C．對(duì)稱(chēng)軸為軸的拋物線(xiàn)                      D．對(duì)稱(chēng)軸不是軸的拋物線(xiàn)

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9．在等差數(shù)列等于                                （    ）

       A．20                     B．100                    C．25                     D．50

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10．已知直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸分別相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，圓C的圓心的坐標(biāo)原點(diǎn)，且與線(xiàn)段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則圓C的半徑的取值范圍是                                                    （    ）

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       A．      B．       C．     D．

 

 

 

 

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11．從數(shù)字0，1，2，3，5，7，8，11中任取3個(gè)分別作為中的A，B，C（A，B，C互不相等）的值，所得直線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的概率為              （    ）

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       A．                  B．                      C．                   D．

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12．已知定直線(xiàn)的距離為2。則動(dòng)點(diǎn)Ｐ的軌跡的離心率是                                                                     （　�。�

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       A．                   Ｂ．                  C．１                      D．

 

第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）

 

20090318

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二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分。將符合題意的答案填在題后的橫線(xiàn)上）

14．若的系數(shù)為　　　　　　　　　　。（用數(shù)字作答）

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15．已知點(diǎn)P、Q是的取值范圍是     。

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16．設(shè)

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則     。

 

 

 

 

 

 

 

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三、解答題（本大題共6小 題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17．（10分）已知函數(shù)的最小正周期為

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   （I）求的值；

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   （II）在角A、B、C的對(duì)邊分別是求函數(shù)的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

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18．（12分）2008年北京奧運(yùn)會(huì)志愿者中有這樣一組志愿者：有幾個(gè)人通曉英語(yǔ)，還有幾個(gè)人通曉俄語(yǔ)，剩下的人通曉法語(yǔ)，已知從中任抽一人是通曉英語(yǔ)的人的概率為，是通曉俄語(yǔ)的人數(shù)的概率為，是通曉法語(yǔ)的人的概率為，且通曉法語(yǔ)的人數(shù)不超過(guò)3人�，F(xiàn)從這組志愿者中選出通曉英語(yǔ)、俄語(yǔ)和法語(yǔ)的志愿者各1名。

   （I）求這組志愿者的人數(shù)；

   （II）若A通曉英語(yǔ)，求A被選中的概率；

   （III）若B通曉俄語(yǔ)，C通曉法語(yǔ)，求B和C不全被選中的概率。

20090318

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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   （I）求證：平面PAD；
   （II）求點(diǎn)A到平面PEF的距離；
   （III）求二面角E―PF―A的大小。
 
 
 
 
 
 
 
 


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20．（12）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其且為等比數(shù)列，且是公比為64的等比數(shù)列。


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   （I）求的通項(xiàng)公式；


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   （II）求證：
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


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21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系的距離之比為。設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C。
   （I）寫(xiě)出C的方程；


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   （II）設(shè)直線(xiàn)的值。


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   （III）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)
 
 
 
 
 
 
 
 
 


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22．（12分）已知函數(shù)


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   （I）若函數(shù)的值；


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   （II）設(shè)的取值范圍。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


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一、選擇題（本大題12小題，每小題5分，共60分。在每小題經(jīng)出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。））
1―5DCBAC  6―10BCADB  11―12BB
二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分。將符合題意的答案填在題后的橫線(xiàn)上）
13．2   14．70  15．  16．
三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
17．解：（I）…………4分
      
       …………6分
   （II）
       
                
       …………8分
       
       
       …………10分
18．解：（I）設(shè)通曉英語(yǔ)的有人，
       且…………1分
       則依題意有：
       …………3分
       所以，這組志愿者有人�！�4分
   （II）所有可能的選法有種…………5分
       A被選中的選法有種…………7分
       A被選中的概率為…………8分
   （III）用N表示事件“B，C不全被選中”，則表示事件“B，C全被選中”……10分
       則…………11分
       所以B和C不全被選中的概率為……12分
       說(shuō)明：其他解法請(qǐng)酌情給分。




 

  
  
    
   
    
    
    
    
    
       （I），
           AD為PD在平面ABC內(nèi)的射影。
           又點(diǎn)E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，
           
           在中，由于A(yíng)B=AC，故
           ，平面PAD……4分
       （II）設(shè)EF與AD相交于點(diǎn)G，連接PG。
           平面PAD，dm PAD,交線(xiàn)為PG，
           過(guò)A做AO平面PEF，則O在PG上，
           所以線(xiàn)段AO的長(zhǎng)為點(diǎn)A到平面PEF的距離
           在
           
           即點(diǎn)A到平面PEF的距離為…………8分
           說(shuō)
明：該問(wèn)還可以用等體積轉(zhuǎn)化法求解，請(qǐng)根據(jù)解答給分。
       （III）
           平面PAC。
           過(guò)A做，垂足為H，連接EH。
           則
           所以為二面角E―PF―A的一個(gè)平面角。
           在
           
           即二面角E―PF―A的正切值為
           …………12分
           解法二：
           
      AB、AC、AP兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
           則A（0，0，0），E（2，0，0），D（2，2，0），F(xiàn)（0，2，0），P（0，0，2）……2分
    


      
 
      
  
  
      
   
      
    
    
      
    
             且
             
             
             平面PAD
         （II）為平面PEF的一個(gè)法向量，
             則
             令…………6分
             故點(diǎn)A到平面PEF的距離為：
             
             所以點(diǎn)A到平面PEF的距離為…………8分
         （III）依題意為平面PAF的一個(gè)法向量，
             設(shè)二面角E―PF―A的大小為（由圖知為銳角）
             則，…………10分
             即二面角E―PF―A的大小…………12分
      20．解：（I）依題意有：  ①
             所以當(dāng)  ②……2分
             ①-②得：化簡(jiǎn)得：
             
             
             
             所以數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列�！�4分
             故…………5分
             設(shè)
             是公比為64的等比數(shù)列
             
             …………8分
         （II）……9分
             …………10分
             …………11分
             …………12分
      21．解：（I）設(shè)，則依題意有：
             
             故曲線(xiàn)C的方程為…………4分
             注：若直接用
             得出，給2分。
         （II）設(shè)，其坐標(biāo)滿(mǎn)足
             
             消去…………※
             故…………5分
             
             而
             
             化簡(jiǎn)整理得…………7分
             解得：時(shí)方程※的△>0
             
         （III）
             
             
             
             因?yàn)锳在第一象限，故
             由
             故
             即在題設(shè)條件下，恒有…………12分
      22．解：（I）…………3分
             處的切線(xiàn)互相平行
             …………5分
             
             …………6分
         （II）
             
             令
             
             
             當(dāng)
             是單調(diào)增函數(shù)。…………9分
             
             
             
             恒成立，
             …………10分
             值滿(mǎn)足下列不等式組
              ①，或②
             不等式組①的解集為空集，解不等式組②得
             綜上所述，滿(mǎn)足條件的…………12分
       
       
       
       
      
				
	
      
		
      


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