試卷類型：A

2009年廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）

數(shù)  學(xué)（文科）

                                                                   2009．4

本試卷共4頁，21小題， 滿分150分。 考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1．答卷前，考生務(wù)必用2B鉛筆在“考生號(hào)”處填涂考生號(hào)，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在的市、縣/區(qū)、學(xué)校，以及自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。

3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。

4．作答選做題時(shí)，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)（或題組號(hào)）對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無效。

5．考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

參考公式：錐體的體積公式， 其中是錐體的底面積，是錐體的高．

球的表面積公式，其中為球的半徑．

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．                                                

1．已知全集，集合，，則

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A．          B．        C．           D．

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2．如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為

A．0                 B．2                    C．0或3            D．2或3

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3．已知函數(shù) 則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A．1                 B．2                    C．3                D．4

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4．命題“，”的否定是

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A．，≥0                    B．，

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C．，≥0                   D．，

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5．在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的是以為底邊的等腰三角形，則實(shí)數(shù)的值為

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A．             B．2              C．6               D．2或6

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6．如圖1所示的圖形是由若干個(gè)小正方體所疊成的幾何體的側(cè)（左）視圖與俯視圖，其中俯視圖的小正方形中的數(shù)字表示該幾何體在同一位置上疊放的小正方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的正（主）視圖是

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    A．                B.                 C.                 D.

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7．曲線在點(diǎn)處的切線與軸及直線所圍成的三角形的面積為

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A．             B．              C．              D．

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8．已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為

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A．  B．        C．        D．

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9．在長為1的線段上任取兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間的距離小于的概率為

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A．             B．               C．              D．

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10．在平面內(nèi)有≥條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點(diǎn)，若這條直線把平面分成個(gè)平面區(qū)域，則等于

A．18             B．22               C．24              D．32

 

（一）必做題（11～13題）

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二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．

12．在某項(xiàng)才藝競賽中，有9位評(píng)委，主辦單位規(guī)定計(jì)算       參賽者比賽成績的規(guī)則如下：剔除評(píng)委中的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，再計(jì)算其他7位評(píng)委的平均分作為此參賽者的比賽成績．現(xiàn)有一位參賽者所獲9位評(píng)委一個(gè)最高分為86分、一個(gè)最低分為45分，若未剔除最高分與最低分時(shí)9位評(píng)委的平均分為76分，則這位參賽者的比賽成績?yōu)?u>  ?? 分．

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13．在中，已知，則 的最大值為       ，此時(shí)角的大小為   ?   

（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）                          

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14．（幾何證明選講選做題）如圖3所示，在四邊形中，，，則的值為              ．

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15．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 直線被圓（為參數(shù)）所截得的弦長為               ．

 

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三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

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已知向量，，設(shè)函數(shù)．

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（1）求函數(shù)的值域；

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（2）已知銳角的三個(gè)內(nèi)角分別為若，，求 的值．

 

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17．（本小題滿分12分）

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已知實(shí)數(shù)，．

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（1）求直線不經(jīng)過第四象限的概率；

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（2）求直線與圓有公共點(diǎn)的概率．

 

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18．（本小題滿分14分）

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在長方體中，，過、、

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三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得到如圖4所示的幾何體

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，且這個(gè)幾何體的體積為．

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（1）證明：直線平面；

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（2）求棱的長；

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（3）求經(jīng)過四點(diǎn)的球的表面積．

 

 

 

 

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19．（本小題滿分14分）

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    已知橢圓：的離心率，且經(jīng)過點(diǎn)．

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    （1）求橢圓的方程；

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    （2）設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，判斷以為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

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20．（本小題滿分14分）

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已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，試判斷，，是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論．

 

 

 

 

 

 

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21．（本小題滿分14分）

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已知函數(shù)，，其中．

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（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

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（2）若對(duì)任意的（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）

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說明：1．參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．

2．對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．

3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．

4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．

 

一、選擇題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

 

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

C

C

D

A

B

D

C

B

 

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算前一題得分．第13題第1個(gè)空3分,第2個(gè)空2分.

11．0         12．79         13．，        14．1       15．6

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力）

解：（1）

                 ．                     
    ∵R，

∴函數(shù)的值域?yàn)?sub>．                                      

 

（2）∵，，

∴，．

∵都是銳角，

∴，．             

∴                                          

                             

               

∴的值為．                             

 

17．（本小題主要考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸和轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及簡單的推理論證能力）

解：由于實(shí)數(shù)對(duì)的所有取值為：，，，，，，，，，，，，，，，，共16種．                                         

設(shè)“直線不經(jīng)過第四象限”為事件，“直線與圓有公共點(diǎn)”為事件．                                                 

（1）若直線不經(jīng)過第四象限，則必須滿足             

即滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)有，，，，共4種． 

∴．

故直線不經(jīng)過第四象限的概率為．                     

（2）若直線與圓有公共點(diǎn)，則必須滿足≤1，即≤．

                                                               

 

若，則符合要求，此時(shí)實(shí)數(shù)對(duì)（）有4種不同取值；

若，則符合要求，此時(shí)實(shí)數(shù)對(duì)（）有2種不同取值；

若，則符合要求，此時(shí)實(shí)數(shù)對(duì)（）有2種不同取值；

若，則符合要求，此時(shí)實(shí)數(shù)對(duì)（）有4種不同取值．

∴滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)共有12種不同取值．                     

∴．

故直線與圓有公共點(diǎn)的概率為．            

 

18．（本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的表面積與體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、運(yùn)算求解能力）

（1）證法1：如圖，連結(jié)，

∵是長方體，

∴且．

∴四邊形是平行四邊形．

∴．

∵平面，平面，

∴平面．                                           

證法2：∵是長方體，

∴平面平面．

∵平面，平面，

∴平面．                                            

（2）解：設(shè)，∵幾何體的體積為，

∴，                        

即，

即，解得．

∴的長為4．                                                  

 

 

 

（3）如圖，連結(jié)，設(shè)的中點(diǎn)為，連

∵是長方體，∴平面．

∵平面，∴．

∴．同理．

∴．

∴經(jīng)過，，，四點(diǎn)的球的球心為點(diǎn)．                   

∵．                 

∴．

故經(jīng)過，，，四點(diǎn)的球的表面積為．                 

 

19．（本小題主要考查橢圓、圓的方程和圓與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算求解能力）

解：（1）∵橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，

∴                                                

即解得

∴橢圓的方程為．                                   

（2）∵，，∴．

∴橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為.                                  

以橢圓的長軸為直徑的圓的方程為，圓心坐標(biāo)是，半徑為2.

以為直徑的圓的方程為，圓心坐標(biāo)是，半徑為.

∵兩圓心之間的距離為，

故以為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內(nèi)切.                  

 

 

20．（本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)求和公式等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，           

若，，成等差數(shù)列，

則．                                             

∴．

∵，，∴．

解得或．                                          

當(dāng)時(shí)，∵，，，         

∴．

∴當(dāng)時(shí)，，，不成等差數(shù)列．                      

當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列．下面給出兩種證明方法．

證法1：∵

                          

                         

                         

                          ，

∴．

∴當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列．                     

證法2：∵，

又

， 

∴．

∴當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列．                

 

21．（本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

（1）解法1：∵，其定義域?yàn)?sub>，         

∴．                                            

∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，

∴，即，                                          

∵，∴．

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，=1是函數(shù)的極值點(diǎn)，

∴．        ?                                           

解法2：∵，其定義域?yàn)?sub>，               

∴．                                            

令，即，整理得，．

∵，

∴的兩個(gè)實(shí)根（舍去），，

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：


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