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2003年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷）

數(shù)學(xué)（文史類）

 

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．直線關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為                                                            （    ）

       A．          B．             C．            D．

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2．已知                                                              （    ）

       A．                    B．－                C．                    D．－

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3．拋物線的準(zhǔn)線方程是，則a的值為                                              （    ）

       A．                      B．－                   C．8                        D．－8

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4．等差數(shù)列{a n}中，已知                               （    ）

       A．48                      B．49                      C．50                      D．51

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5．雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，∠ F1MF2=120°則雙曲線的離心率為

                                                                                                                              （    ）

       A．                    B．                   C．                   D．

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6．設(shè)函數(shù)的取值范圍是                           （    ）

       A．（－1，1）                                         B．（―1，+∞）

       C．（－∞，－2）∪（0，+∞）               D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

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7．已知                                                                              （    ）

       A．                   B．                 C．                 D．

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8．函數(shù)上的偶函數(shù)，則=                                    （    ）

       A．0                        B．                      C．                     D．

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9．已知點(diǎn)的距離為1，則a=                          （    ）

       A．                   B．－                C．               D．

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10．已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，它的內(nèi)接圓柱的底面半徑為R，該圓柱的全面積為                         （    ）

       A．                B．                C．                D．

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11．已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）.若P4與P0重合，則tgθ=                                （    ）

       A．                      B．                      C．                      D．1

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12．一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為 （    ）

       A．                    B．4                    C．                D．

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.

13．不等式的解集是        .

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14．的系數(shù)是         .

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15．在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”

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16．如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地

圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，

現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方

法共有        種.（以數(shù)字作答）

 

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三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17．（本小題滿分12分）

       （I）證明EF為BD1與CC1的公垂線；

       （II）求點(diǎn)D1到面BDE的距離.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．（本小題滿分12分）

       已知復(fù)數(shù)z的輻角為60°，且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中項(xiàng)，求|z|.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19．（本小題滿分12分）

       已知數(shù)列||滿足

       （I）求

       （II）證明

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20．（本小題滿分12分）

       已知函數(shù).

       （I）函數(shù)數(shù)的最小正周期和最大值;

       （II）在給出的直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)上的圖象.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21．（本小題滿分12分）

       在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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22．（本小題滿分14分）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

一、

1．C  2．D  3．B  4．C  5．B  6．D  7．D  8．C  9．C  10．B  11．C  12．A

二、13．   14．  15．  16．72

三、

17．（I）證明：取BD中點(diǎn)M，連結(jié)MC，F(xiàn)M，

        ∵F為BD1中點(diǎn)， ∴FM∥D1D且FM=D1D

又EC=CC1，且EC⊥MC，

∴四邊形EFMC是矩形  ∴EF⊥CC1  

又CM⊥面DBD1  ∴EF⊥面DBD1

∵BD1面DBD1，

∴EF⊥BD1  故EF為BD1與CC1的公垂線

（II）解：連結(jié)ED1，有V

由（I）知EF⊥面DBD1，設(shè)點(diǎn)D1到面BDE的距離為d，

則S△DBC?d=S△DCD?EF.

∵AA1=2?AB=1.

故點(diǎn)D1到平面BDE的距離為.

18．解：設(shè)z=

        由題設(shè)

       即 

    （舍去）

 

       即|z|=

19．（I）解∵

（II）證明：由已知

     

         =

           所以

20．解（I）

               

       所以函數(shù)的最小正周期為π，最大值為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21．解：如圖建立坐標(biāo)系：以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)?i>x軸正向.

        在時(shí)刻：t（h）臺(tái)風(fēng)中心的坐標(biāo)為

        此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是，

        其中t+60，

        若在t時(shí)，該城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則有

即

即，   解得.

答：12小時(shí)后該城市開(kāi)始受到臺(tái)風(fēng)氣侵襲

22．解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得

點(diǎn)P到定點(diǎn)距離的和為定值.

按題意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）

設(shè)，

由此有E（2，4ak），F(xiàn)（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.

直線OF的方程為：，        ①

直線GE的方程為：.　�、�

從①，②消去參數(shù)k，得點(diǎn)P（x，y）坐標(biāo)滿足方程，

整理得.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長(zhǎng).

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之

和為定值.

 

 

 

 


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