一、選擇題
1(漢沽一中2008~2009屆月考理5).已知等差數(shù)列的公差,它的第1、5、17項順次成等比數(shù)列,則這個等比數(shù)列的公比是(B)
A.4 B.
2(漢沽一中2008~2009屆月考文7)、已知是等差數(shù)列,,,則該數(shù)列前10項和等于( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A.64 B.100 C.110 D.120
【答案】B
【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、求和公式以及考查學生的運算能力和方程的思想方法.
【解析】設(shè)公差為,
則由已知得
3(漢沽一中2009屆月考文7).四個小動物換座位,開始是鼠、猴、兔、貓分別坐1,2,3,4號位子上(如圖),第一次前后排動物互換座位,第二次左右列動物互換座位,…,這樣交替進行下去,那么第2009次互換座位后,小兔的座位對應(yīng)的是 ( A )
1
鼠
2
猴
1
兔
2
貓
1
貓
2
兔
1
猴
2
鼠
兔
3
貓
4
鼠
3
猴
4
猴
3
鼠
4
貓
3
兔
4
開始
第一次
第二次
第三次
A.編號1 B. 編號2 C. 編號3 D. 編號4
4(武清區(qū)2008~2009學年度期中理)
C
5(和平區(qū)2008年高考數(shù)學(理)三模7). 已知等差數(shù)列的前n項和為,若M、N、P三點共線,O為坐標原點,且(直線MP不過點O),則等于(D )
A. 31 B. 32 C. 15 D. 16
6(2009年濱海新區(qū)五所重點學校聯(lián)考理6).已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),公比1,設(shè), P與Q的大小關(guān)系是 ( 6.D )
A.P≥Q B.P<Q C.P≤Q D.P>Q
7(2009年濱海新區(qū)五所重點學校聯(lián)考理9).數(shù)列中;數(shù)列中,,,在直角坐標平面內(nèi),已知點列,則向量的坐標為 (9.C )
A.(,8) B. (,8)
C. (,8) D. (,8
8(漢沽一中2008~2008學年月考理5).等差數(shù)列中, ,那么的值是B
A. 12 B. 24 C .16 D. 48
二、填空題
1(2009年濱海新區(qū)五所重點學校聯(lián)考文12). 等差數(shù)列各項都是正數(shù),且,則它的前10項和等于 12. 15
2(漢沽一中2009屆月考文11).已知等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列, 則=___________ 11 -4
3(武清區(qū)2008~2009學年度期中理)若數(shù)列{}的前
4(武清區(qū)2008~2009學年度期中理)
5(和平區(qū)2008年高考數(shù)學(文)三模13). 已知各項均正的等比數(shù)列中,,則的值為 。
13. 10000
6(和平區(qū)2008年高考數(shù)學(理)三模15). 已知數(shù)列的通項公式,設(shè)數(shù)列的前n項的和為,則使成立的正整數(shù)n的最小值為 。63
7(一中2008-2009月考理14).已知等差數(shù)列,若,且 ,則公差=__ _。2
三、解答題
1(一中2008-2009月考理18).已知數(shù)列{}中,在直線y=x上,其中n=1,2,3….
(1)令求證數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列
⑶ 設(shè)的前n項和,是否存在實數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,試求出.若不存在,則說明理由。
解:(I)由已知得
又
是以為首項,以為公比的等比數(shù)列.
(II)由(I)知,
將以上各式相加得:
(III)解法一:
存在,使數(shù)列是等差數(shù)列.
數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)
即
又
當且僅當,即時,數(shù)列為等差數(shù)列.
解法二:
存在,使數(shù)列是等差數(shù)列.
由(I)、(II)知,
又
當且僅當時,數(shù)列是等差數(shù)列.
2(2009年濱海新區(qū)五所重點學校聯(lián)考理22).(本小題滿分14分)
已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且公比不等于1,數(shù)列對任意正整數(shù)n,均有:
成立,又。
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式及前n項和;
(Ⅱ)在數(shù)列中依次取出第1項,第2項,第4項,第8項,……,第項,……,組成一個新數(shù)列,求數(shù)列的前n項和;
(Ⅲ)當時,比較與的大小。
22.(本小題滿分14分)
解:(I)設(shè)公比為 ……………………2分
代入
得
即
∵,∴,∴
∴是等差數(shù)列 ……………………4分
=2 ∴ …………6分
(Ⅱ)
……………………8分
(3)
時,時,
猜測時, ……………………10分
用數(shù)學歸納法證明如下
(1)時,(已證)
(2)假設(shè)時不等式成立,即 ……………………12分
時,
又
∴
即時,不等式成立。
由(1)(2)知,當時, ……………14分
3(2009年濱海新區(qū)五所重點學校聯(lián)考文21).(本小題滿分14分)
已知數(shù)列的前項和和通項滿足.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ) 求證:;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù),,
求.
21.解:(Ⅰ)當時
,
∴,---------------------------------------------------------------------------3分
由得
∴數(shù)列是首項、公比為的等比數(shù)列,∴------5分
(Ⅱ)證法1: 由得---------------------------------7分
,∴
∴---------------------------------------------------------9分
〔證法2:由(Ⅰ)知,
∴ --------------------------------7分
,∴---------------------------------8分
即 -------------------------------------------------9分
(Ⅲ)
= -----------10分
= -------------------12分
∵
∴=--------14分
4(漢沽一中2008~2009屆月考文15).(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列的首項,公差,前項和為,,
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求證:
解:(1)等差數(shù)列中,公差
…………………………4分
(2) …………………………6分
………8分
…………10分
. …………………12分
5(漢沽一中2008~2009屆月考理20).(本小題滿分分)
如圖,是曲線
上的個點,點在軸的正半軸上,是正三角形(是坐標原點) .
(Ⅰ) 寫出;
(Ⅱ)求出點的橫坐標關(guān)于的表達式;
(Ⅲ)設(shè),若對任意正整數(shù),當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
解:(Ⅰ) .…………………………………………… 2分
(Ⅱ)依題意,則
,… 3分
在正三角形中,有
.
.…………………………………………………… 4分
,
, ①
同理可得 . ②
①-②并變形得
,
, ………………………………… 6分
.
∴數(shù)列是以為首項,公差為的等差數(shù)列.
, …………………………………… 7分
,
.
. ………………………… 8分
(Ⅲ)解法1 :∵,
∴.
.
∴當時,上式恒為負值,
∴當時,,
∴數(shù)列是遞減數(shù)列.
的最大值為. ………………………………………………… 11分
若對任意正整數(shù),當時,不等式恒成立,則不等式在時恒成立,即不等式在時恒成立.
設(shè),則且,
∴
解之,得 或,
即的取值范圍是.…………………………………………… 14分
解法2:∵,
設(shè),則
.
當時,,
在是增函數(shù).
∴數(shù)列是遞減數(shù)列.
的最大值為. ………………………………………………… 11分
(以下解答過程與解法1相同)
6(漢沽一中2008~2009屆月考文19)、(本小題滿分14分)
已知數(shù)列{}的前項和,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設(shè),且,求.
【命題意圖】本題主要是對數(shù)列通項和求和公式的綜合考查,以及考查學生的分析綜合能力和分類討論的數(shù)學思想.
【解析】(Ⅰ)∵Sn=n2+2n ∴當時, ……4分
當n=1時,a1=S1=3, ,滿足上式 ……6分
故 ……7分
(Ⅱ)∵, ∴ ……9分
∴ ……11分
∴
……13分
……14分
7(漢沽一中2008~2008學年月考理19).(本小題滿分13分)已知,,數(shù)列滿足,
, .
(Ⅰ)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(Ⅱ)當n取何值時,取最大值,并求出最大值;
(III)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
(8(漢沽一中2009屆月考文18).(本小題滿分12分)在數(shù)列中,
且
(1)求c的值 (2)求的通項公式。
18.(本小題滿分12分)
解:(1)由
. 2分
因為
所以
解得c=2 6分
(2)。 10分
把上面n-1個式子相加得
所以 12分
9(漢沽一中2009屆月考文22).(本小題滿分14分)
已知函數(shù),設(shè)曲線在點處的切線與軸的交點為,其中為正實數(shù)
(1)用表示;
(2),若,試證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;
(3)若數(shù)列的前項和,記數(shù)列的前項和,求。
22、(本小題滿分14分)
解:(1)由題可得,所以在曲線上點處的切線方程為
,即 -----------------2分
令,得,即
由題意得,所以 -----------------4分
(2)因為,所以
即,所以數(shù)列為等比數(shù)列故 ---8分
(3)當時,
當時,
所以數(shù)列的通項公式為,故數(shù)列的通項公式為
①
①的 ②
①②得
故 -----------------14分
10(武清區(qū)2008~2009學年度期中21)
11 (和平區(qū)2008年高考數(shù)學(理)三模21). (本小題滿分14分)
定義一種運算*,滿足(為非零實常數(shù))
(1)對任意給定的k,設(shè),求證數(shù)列是等差數(shù)列,并求k=2時,該數(shù)列的前10項和;
(2)對任意給定的n,設(shè),求證數(shù)列是等比數(shù)列,并求出此時該數(shù)列前10項的和;
(3)設(shè),試求數(shù)列的前n項和,并求當時,。
21. (本小題滿分14分)
解:(1)∵ ,又 ∴
所以,所以(2分)
所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列(3分)
當時,,所以(4分)
(2)∵ ,又 ∴
故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列(6分)
當時,
當時,(8分)
(3)∵ ∴ ,而 ∴
所以①(9分)
當時,(10分)
當時,②(11分)
①-②得
所以(13分)
則當時,(14分)
和平區(qū)2008年高考數(shù)學(文)三模21. (本小題滿分14分)
已知數(shù)列的前n項和為,且,(n=1,2,3…)數(shù)列中,,點在直線上。
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)記,求滿足的最大正整數(shù)n。
21. (本小題滿分14分)
解:(1)∵
∴ 當時,
即 ∵ ∴
即數(shù)列是等比數(shù)列(2分)
∵ ∴ 即
∴ (4分)
∵ 點在直線上
∴ ∴
即數(shù)列是等差數(shù)列,又 ∴ (6分)
(2)
①(7分)
∴ ②
①-②得
即
∴ (10分)
∵ 即
于是(11分)
又由于當時,(12分)
當時,(13分)
故滿足條件最大的正整數(shù)n為4(14分)
.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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