2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解四

1（本小題滿分14分）

     已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù).

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；

（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x₁、x₂.試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.滿分14分.

解：（Ⅰ）f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，

∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.        ①

設(shè)(x)=x²－ax－2，

方法一：

           (1)=1－a－2≤0，

①           －1≤a≤1，

               (－1)=1+a－2≤0.

∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(-1)=0以及當(dāng)a=－1時(shí)，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.      方法二：

       ≥0，                   <0，

①                     或

           (－1)=1+a－2≤0          (1)=1－a－2≤0

       0≤a≤1         或       －1≤a≤0

       －1≤a≤1.

∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(－1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí)，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

（Ⅱ）由=，得x²－ax－2=0，   ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實(shí)根，

             x₁+x₂=a，

∴          從而|x₁－x₂|==.

x₁x₂=－2，

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立.        ②

設(shè)g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

     g(－1)=m²－m－2≥0，

②  

         g(1)=m²+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.

所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二：

當(dāng)m=0時(shí)，②顯然不成立；

當(dāng)m≠0時(shí)，

      m>0，                m<0，

②                  或

       g(－1)=m²－m－2≥0      g(1)=m²+m－2≥0

 m≥2或m≤－2.

所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

2．（本小題滿分12分）

如圖，P是拋物線C：y=x²上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q.

（Ⅰ）若直線l與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；

（Ⅱ）若直線l不過原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，試求的取值范圍.

本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分12分.

解：（Ⅰ）設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，依題意x₁≠0，y₁>0，y₂>0.

由y=x²，           ①

得y＇=x.

∴過點(diǎn)P的切線的斜率k_切= x₁，

∴直線l的斜率k_l=－=-，

∴直線l的方程為y－x₁²=－ (x－x₁)，

方法一：

聯(lián)立①②消去y，得x²+x－x₁²－2=0.

∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)

           x₀==-，

∴

            y₀=x₁²－(x₀－x₁).

消去x₁，得y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x²++1(x≠0).

方法二：

由y₁=x₁²，y₂=x₂²，x₀=，

得y₁－y₂=x₁²－x₂²=(x₁+x₂)(x₁－x₂)=x₀(x₁－x₂)，

則x₀==k_l=-，

∴x₁=－，

將上式代入②并整理，得

y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x²++1(x≠0).

（Ⅱ）設(shè)直線l:y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T(0，b).

分別過P、Q作PP＇⊥x軸，QQ＇⊥y軸，垂足分別為P＇、Q＇，則

.

            y=x²

由    消去x，得y²－2(k²+b)y+b²=0.      ③

                     y=kx+b

          y₁+y₂=2(k²+b)，

則

            y₁y₂=b².

方法一：

∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.

∵y₁、y₂可取一切不相等的正數(shù)，

∴的取值范圍是（2，+）.

方法二：

∴=|b|=|b|.

當(dāng)b>0時(shí)，=b==+2>2；

當(dāng)b<0時(shí)，=－b=.

又由方程③有兩個(gè)相異實(shí)根，得△=4(k²+b)²-4b²=4k²(k²+2b)>0，

于是k²+2b>0，即k²>－2b.

所以>=2.

∵當(dāng)b>0時(shí)，可取一切正數(shù)，

∴的取值范圍是（2，+）.

方法三：

由P、Q、T三點(diǎn)共線得k_TQ=K_TP，

即=.

則x₁y₂－bx₁=x₂y₁－bx₂，即b(x₂－x₁)=(x₂y₁－x₁y₂).

于是b==－x₁x₂.