江蘇省南通市08-09年度高三第二學(xué)期九校聯(lián)考
數(shù)學(xué)試卷 09.3
參考公式:線性回歸方程的系數(shù)公式為.
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.
1.已知的終邊經(jīng)過點(diǎn),且 ,則的取值范圍是 _____ ▲ .
2.如果復(fù)數(shù)是實數(shù),則實數(shù)_____ ▲ .
3.如圖所示,四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個邊長
為2的大正方形,若直角三角形中較小的銳角,現(xiàn)在向該正方形
區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢,飛鏢落在小正方形內(nèi)概率是___▲ ..
氣溫(
18
13
10
-1
用電量(度)
24
34
38
64
4.某單位為了了解用電量y度與氣溫之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫,并制作了對照表:
由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程中,預(yù)測當(dāng)氣溫為時,用電量的度數(shù)約為____▲____.
5.給出一個算法:
Read x
If
根據(jù)以上算法,可求得 ▲
6.如圖,點(diǎn)P是單位圓上的一個頂點(diǎn),它從初始位置開始沿單
位圓按逆時針方向運(yùn)動角()到達(dá)點(diǎn),然后繼續(xù)沿單位圓逆時針方向運(yùn)動到達(dá)點(diǎn),若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的值等于 ▲
7.一個三棱錐的三視圖是三個直角三角形,如圖所示,則該三棱錐的外接球的表面積為 ▲ .
8.已知平面上不共線的四點(diǎn)O,A,B,C.若,則 ▲ .
9.已知函數(shù),若直線對任意的都不是曲線的切線,則的取值范圍為 ▲
10.已知圓和過原點(diǎn)的直線的交點(diǎn)為P、Q,則|OP|?|OQ|的值為 ▲
11.已知實數(shù)a使得只有一個實數(shù)x滿足關(guān)于x的不等式,則滿足條件的所有的實數(shù)a的個數(shù)是 ▲ .
12、已知直線所經(jīng)過的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個焦點(diǎn),且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為8.則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ▲ ;
13.設(shè)A=,B=,記A?B=max,若A=,B=,且A?B=,則的取值范圍為 ▲ .
14.若關(guān)于的不等式至少有一個負(fù)數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍是__▲___.
二、解答題:本大題共6小題,共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟
15.(本小題14分)在△ABC中,分別為角A、B、C的對邊,,=3, △ABC的面積為6,D為△ABC內(nèi)任一點(diǎn),點(diǎn)D到三邊距離之和為d.
⑴求角A的正弦值; ⑵求邊b、c; ⑶求d的取值范圍
16.(本小題14分)在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn),PA=2AB=2.
(Ⅰ)求四棱錐P-ABCD的體積V;
(Ⅱ)若F為PC的中點(diǎn),求證PC⊥平面AEF;
17.(本小題15分)某建筑的金屬支架如圖所示,根據(jù)要求至少長
18.(本小題15分)已知圓C的方程為(,橢圓C的方程為,且C 的離心率為,如果C 、C相交于A、B兩點(diǎn),且線段AB恰好為C 的直徑,求直線AB的方程和橢圓C 的方程.
19.(本小題16分)已知函數(shù),
(1)已知函數(shù),如果是增函數(shù),且的導(dǎo)函數(shù)存在正零點(diǎn),求的值
(2)設(shè),且在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍.
(3)試求實數(shù)的個數(shù),使得對于每個,關(guān)于x的方程 都有滿足的偶數(shù)根
20.(本小題16分)已知為實數(shù),數(shù)列滿足,當(dāng)時,,
(Ⅰ)當(dāng)a=100時,求數(shù)列的前100項的和 S100,;(5分)
(Ⅱ)證明:對于數(shù)列,一定存在,使;(5分)
(Ⅲ)令,當(dāng)時,求證:(6分)
江蘇省南通市08-09年度第二學(xué)期九校聯(lián)考
高三數(shù)學(xué)附加題試卷 09.3
一、選做題:本大題共4小題,請從這4題中選做2小題,如果多做,則按所做的前兩題記分.每小題10分,共20分.
1.(幾何證明選講)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的圓交AC于D.求證:.
2.(矩陣與變換)設(shè)是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到倍,縱坐標(biāo)伸長到倍的伸壓變換.(Ⅰ)求矩陣的特征值及相應(yīng)的特征向量;
(Ⅱ)求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線的方程.
3. (坐標(biāo)系與參數(shù)方程)求直線()被曲線所截的弦長.
4.(不等式證明選講)若,證明 .
二、必做題:本大題共2小題,每小題10分,共20分.
5. 已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰為的中點(diǎn),又知.
(I)求證:平面;
(II)求到平面的距離;
(III)求二面角余弦值的大小.
6.某城市有甲、乙、丙、丁4個旅游景點(diǎn),一位客人游覽這4個景點(diǎn)的概率都是0.6,且客人是否游覽哪個景點(diǎn)互不影響.設(shè)表示客人離開該城市時游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值.
(Ⅰ)求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ) 記“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”為事件A,求事件A的概率.
江蘇省南通市08-09年度第二學(xué)期九校聯(lián)考
高三數(shù)學(xué)試卷 09.3
1. 2. 3. 4.68 5.0
6. 7. 8.2 9. 10.5 11. 2
12、 13. 14.
15.解:(1)
(2),20
由及20與=3解得b=4,c=5或b=5,c= 4
(3)設(shè)D到三邊的距離分別為x、y、z,則
又x、y滿足
畫出不等式表示的平面區(qū)域得:
16. 解:(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,
∠BAC=60°,∴BC=,AC=2.
在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,
∴CD=2,AD=4.
∴SABCD=
.……………… 3分
則V=. ……………… 7分
(Ⅱ)∵PA=CA,F(xiàn)為PC的中點(diǎn),
∴AF⊥PC. ………………8分
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.
∵E為PD中點(diǎn),F(xiàn)為PC中點(diǎn),
∴EF∥CD.則EF⊥PC. ……… 12分
∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.…… 14分
17.解:設(shè)連結(jié)BD.
則在中,
設(shè)
則
等號成立時
答:當(dāng)時,建造這個支架的成本最低.
18. 解:設(shè)A()、B()
A、B在橢圓上
又線段AB的中點(diǎn)是圓的圓心(2,1),所以
所以,
橢圓的離心率為=,=-1
直線AB的方程為y-1=-1(x-2)即x+y-3=0.
(1) 由(和x+y-3=0得
A(2+,1-)代入橢圓方程得:
所以橢圓方程為:
19.解:(1)由題意
在上恒成立
即在上恒成立
即 ,所以< ,又存在正零點(diǎn),
所以 ,即
(2)由題設(shè)得,……………5分
對稱軸方程為,.……………7分
由于在上單調(diào)遞增,則有
(Ⅰ)當(dāng)即時,有
.……………9分
(Ⅱ)當(dāng)即時,
設(shè)方程的根為,
① 若,則,有
解得;……………11分
②若,即,有;
.……………13分
由①②得 .綜合(Ⅰ), (Ⅱ)有 .…14分
⑶對任意,為偶數(shù),的取值各不同,反證法證明.答案是2009
20.解:(Ⅰ)由題意知數(shù)列的前34項成首項為100,公差為-3的等差數(shù)列,從第35項開始,奇數(shù)項均為3,偶數(shù)項均為1,從而= ……(3分)
=. …………(5分)
(Ⅱ)證明:①若,則題意成立…………………(6分)
②若,此時數(shù)列的前若干項滿足,即.
設(shè),則當(dāng)時,.
從而此時命題成立…… (8分)
③若,由題意得,則由②的結(jié)論知此時命題也成立.
綜上所述,原命題成立……………(10分)
(Ⅲ)當(dāng)時,因為,
所以=……………(11分)
因為>0,所以只要證明當(dāng)時不等式成立即可.
而
………(13分)
①當(dāng)時,
……(15分)
②當(dāng)時,由于>0,所以<
綜上所述,原不等式成立………(16分)
附加題
2.解:(Ⅰ)由條件得矩陣,
它的特征值為和,對應(yīng)的特征向量為及;
(Ⅱ),橢圓在的作用下的新曲線的方程為.
3.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)求直線()被曲線所截的弦長,將方程,分別化為普通方程:
,………(5分)
……(10分)
4.(不等式證明選講)若,證明 .
柯西不等式一步可得
二、必做題:本大題共2小題,每小題10分,共20分.
5. 解:(I)如圖,取的中點(diǎn),則,因為,
所以,又平面,
以為軸建立空間坐標(biāo)系,
則,,,,,
,,
,由,知,又,從而平面;
(II)由,得.
設(shè)平面的法向量為,,,所以
,設(shè),則
所以點(diǎn)到平面的距離.
(III)再設(shè)平面的法向量為,,,
所以
,設(shè),則,
故,根據(jù)法向量的方向,
可知二面角的余弦值大小為
6. 解:(1)分別設(shè)“客人游覽甲景點(diǎn)”、“客人游覽乙景點(diǎn)”、“客人游覽丙景點(diǎn)” 、“客人游覽丁景點(diǎn)”為事件,由已知相互獨(dú)立,且
客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0,1,2,3,4;相應(yīng)的,客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為4,3,2,1,0.所以的可能取值為0,2,4
0
2
4
P
0.3456
0.4992
0.1552
所以的分布列為
………………(5分)
(2)因為所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.要使在上單調(diào)遞增,當(dāng)且僅當(dāng)即
從而…………………(10分)
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