2008屆全國(guó)百套高考數(shù)學(xué)模擬試題分類(lèi)匯編

圓錐曲線

三、解答題(第三部分)

51、(河北省正定中學(xué)2008年高三第五次月考)已知直線過(guò)橢圓E:的右焦點(diǎn),且與E相交于兩點(diǎn).

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(1)設(shè)為原點(diǎn)),求點(diǎn)的軌跡方程;

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(2)若直線的傾斜角為60°,求的值.

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解:(1)設(shè)

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    由,易得右焦點(diǎn)           ----------(2分)

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當(dāng)直線軸時(shí),直線的方程是:,根據(jù)對(duì)稱性可知

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當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè)直線的方程為

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代入E有;   ----(5分)

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于是 ; 

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消去參數(shù)也適上式,故R的軌跡方程是-(8分)

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(2)設(shè)橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)為,

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設(shè),則

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由余弦定理得

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同理,在,設(shè),則

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也由余弦定理得

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于是                  ---------(12分)

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52、(河南省開(kāi)封市2008屆高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在雙曲線的右支上,點(diǎn)B在雙曲線左準(zhǔn)線上,

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   (1)求雙曲線的離心率e;

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   (2)若此雙曲線過(guò)C(2,),求雙曲線的方程;

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   (3)在(2)的條件下,D1、D2分別是雙曲線的虛軸端點(diǎn)(D2在y軸正半軸上),過(guò)D1的直線l交雙曲線M、N,的方程。

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解:(1)四邊形F2ABO是平行四邊形

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∴四邊 形F2ABO是菱形.

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由雙曲線定義得

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(2)

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,雙曲線方程為

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把點(diǎn)C代入有

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∴雙曲線方程

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(3)D1(0,-3),D2(0,3),設(shè)l的方程為

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則由

l與與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),

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故所求直線l方程為

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53、(河南省濮陽(yáng)市2008年高三摸底考試)直線AB過(guò)拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F,并與其相交于A、B兩點(diǎn),Q是線段AB的中點(diǎn),M是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).

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    (1)求?的取值范圍;

    (2)過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線,兩切線相交于N點(diǎn).

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    求證:?=0,

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54、設(shè)圓滿足:(1)截直線y=x所得弦長(zhǎng)為2;(2)被直線y=-x分成的一段劣弧所在的扇形面積是圓面積的倍.在滿足條件(1)、(2)的所有圓中,求圓心到直線x+3y=0的距離最小的圓的的方程.

解:設(shè)所求圓的圓心為P(a,b),半徑為r,

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則P到直線y=x、直線y=-x的距離分別為、.………(2分)

由題設(shè)知圓P截直線y=-x所得劣弧所對(duì)圓心角為90°,

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圓P截直線y=-x所得弦長(zhǎng)為r,故r2=2,

即r2=(a+b)2,……………………(4分)

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又圓P截直線y=x所得弦長(zhǎng)為2,所以有r2=1+,

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從而有.……………………(6分)

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又點(diǎn)P到直線x+3y=0的距離為d=,

所以10d2=|a+3b|2=a2+6ab+9b2=8b2+2≥2……………………(8分)

當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)上式等號(hào)成立,

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此時(shí)5d2=1,從而d取得最小值,由此有a=±,r=.…………(10分)

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于是所求圓的方程為(x-2+y2=2或(x-2+y2=2…………(12分)

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55、(河南省許昌市2008年上期末質(zhì)量評(píng)估)已知橢圓+y2=l的左焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

    ( I )求過(guò)點(diǎn)O、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程;

    (Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),并且線段AB的中點(diǎn)在直線x+y=0上,求直線AB的方程.

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56、(黑龍江省哈爾濱九中2008年第三次模擬考試)已知,點(diǎn)軸上,點(diǎn)的正半軸上,點(diǎn)在直線上,且.

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(1)當(dāng)軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)軌跡C;

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(2)若曲線的準(zhǔn)線交軸于,過(guò)的直線交曲線于兩點(diǎn),又的中垂線交軸于點(diǎn),求橫坐標(biāo)取值范圍;

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(3)在(2)中,能否為正三角形.

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解:(1)設(shè)

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又由得 

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…………………………4分

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(2)由(1)知N(-1,0)設(shè)得:

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設(shè)

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對(duì)

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∴AB的中點(diǎn)為

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∴AB的中點(diǎn)為

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即x0>3.

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57、(湖北省八校高2008第二次聯(lián)考)已知A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),非零向量滿足

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(Ⅰ)求證:直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn);

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(Ⅱ)當(dāng)的中點(diǎn)到直線的距離的最小值為時(shí),求的值.

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解:, .設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(),()則 .

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(1)經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線方程為

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    由,得

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    . 令,得, .   

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從而. (否則, 有一個(gè)為零向量),

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.  代入①,得  ,始終經(jīng)過(guò)定點(diǎn).  ……………(6分)

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(2)設(shè)AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為(),則 .

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    又,

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.……………①

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AB的中點(diǎn)到直線的距離.

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將①代入,得.

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因?yàn)閐的最小值為.        ……………(12分)

(若用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率為2的切點(diǎn)坐標(biāo),參考給分.)

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58、(湖北省三校聯(lián)合體高2008屆2月測(cè)試)已知半圓,動(dòng)圓與此半圓相切且與軸相切。

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(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。

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(2)是否存在斜率為的直線,它與(1)中所得軌跡由左到右順次交于A、B、C、D四個(gè)不同的點(diǎn),且滿足|AD|=2|BC|?若存在,求出的方程,若不存在,說(shuō)明理由。

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(1)設(shè)動(dòng)圓圓心,作軸于點(diǎn)

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①若兩圓外切:    ,則  化簡(jiǎn)得:

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      ……………3分

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②若兩圓內(nèi)切:  ,則*    

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*     ……………5分

綜上,動(dòng)圓圓心的軌跡方程是

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       ………6分

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其圖象為兩條拋物線位于軸上方的部分,如圖所示。

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(2)假設(shè)直線存在,可設(shè)的方程為。

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*

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*

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    ①             ②

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,       

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2    =2

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+=4    得……………11分

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將其代入方程①得      

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因?yàn)榍的橫坐標(biāo)范圍為,所以這樣的直線不存在!13分

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59、(湖北省鄂州市2008年高考模擬)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn),滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn),點(diǎn)T在線段F2Q上,并且滿足

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   (Ⅰ)設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo),證明;

   (Ⅱ)求點(diǎn)T的軌跡C的方程;

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   (Ⅲ)試問(wèn):在點(diǎn)T的軌跡C上,是否存在點(diǎn)M,使△F1MF2的面積S=若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解 (Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由P(x,y)在橢圓上,得

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又由,

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所以

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   (Ⅱ) 當(dāng)時(shí),點(diǎn)(,0)和點(diǎn)(-,0)在軌跡上.

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當(dāng)時(shí),由,得

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,所以T為線段F2Q的中點(diǎn).

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在△QF1F2中,,所以有

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綜上所述,點(diǎn)T的軌跡C的方程是

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(Ⅲ) C上存在點(diǎn)M()使S=的充要條件是

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由③得,由④得  所以,當(dāng)時(shí),存在點(diǎn)M,使S=;

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當(dāng)時(shí),不存在滿足條件的點(diǎn)M.

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當(dāng)時(shí),,

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,

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,

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,得

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【總結(jié)點(diǎn)評(píng)】平面向量與橢圓的綜合問(wèn)題是《考試大綱》所

強(qiáng)調(diào)的問(wèn)題,應(yīng)熟練掌握其解題技巧,一般地,在這類(lèi)問(wèn)題

種,平面向量只起“背景”或“結(jié)論”的作用,幾乎都不會(huì)

在向量的知識(shí)上設(shè)置障礙,所考查的核心內(nèi)容仍然是解析幾

何的基本方法和基本思想,比如本題(Ⅰ)本質(zhì)是焦半徑公

式,核心內(nèi)容還是橢圓的第二定義的轉(zhuǎn)化思想.(Ⅱ) 由

“PT其實(shí)為線段QF2的垂直平分線”可聯(lián)想到下面的題目:如右圖,Q為長(zhǎng)軸為2a橢圓上一動(dòng)點(diǎn),QP是∠F1QF2的外角平分線,且F1P⊥QP,延長(zhǎng)F2Q,使F2Q與F1P交于點(diǎn)M,則|QF1|=|QM|,所以點(diǎn)M的軌跡是以F2為圓心2a為半徑的圓,進(jìn)一步可得到P的軌跡是以O(shè)為圓心a為半徑的圓.

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60、(湖北省黃岡市麻城博達(dá)學(xué)校2008屆三月綜合測(cè)試)已知直線相交于A、B兩點(diǎn),M是線段AB上的一點(diǎn),,且點(diǎn)M在直線上.

   (Ⅰ)求橢圓的離心率;

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   (Ⅱ)若橢圓的焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在單位圓上,求橢圓的方程.

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解:(Ⅰ)由MAB的中點(diǎn),

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設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

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M點(diǎn)的坐標(biāo)為                                 4分

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M點(diǎn)的直線l上:

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                                                  7分

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   (Ⅱ)由(Ⅰ)知,不妨設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為關(guān)于直線l

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上的對(duì)稱點(diǎn)為,

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則有                       10分

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由已知

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,∴所求的橢圓的方程為                 12分

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61、(湖北省黃岡市2007年秋季高三年級(jí)期末考試)在△ABC中,B是橢圓在x軸上方的頂點(diǎn),是雙曲線位于x軸下方的準(zhǔn)線,當(dāng)AC在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)。

(1)求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程;

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(2)過(guò)定點(diǎn)作互相垂直的直線,分別交軌跡E于M、N和R、Q,求四邊形MRNQ面積的最小值。

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解:(1)由橢圓方程及雙曲線方程可得點(diǎn)直線方程是

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   在直線上運(yùn)動(dòng)。

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   可設(shè)

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   則的垂直平分線方程為                            ①

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   的垂直平分線方程為          ②

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P是△ABC的外接圓圓心,點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足方程①和②

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由①和②聯(lián)立消去

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故圓心P的軌跡E的方程為

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(2)由圖可知,直線的斜率存在且不為零,設(shè)的方程為,

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的方程為

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由         得

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  △=直線與軌跡E交于兩點(diǎn)。

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設(shè),則

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同理可得:四邊形MRNQ的面積

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當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立。

故四邊形MNRQ的面積的最小值為72。(13分)

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62、(湖北省荊門(mén)市2008屆上期末)已知F1、F2為雙曲線C:的左、右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),P在雙曲線的左支上,點(diǎn)M在右準(zhǔn)線上,且滿足:,(λ>0)

   (1)求此雙曲線的離心率;

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   (2)若過(guò)點(diǎn)N()的雙曲線C的虛軸端點(diǎn)分別為B1、B2(B1在y軸正半軸上),點(diǎn)A、B在雙曲線上,且,,求雙曲線C和直線AB的方程.

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解:(1)法一:依題意四邊形OF1PM為菱形,設(shè)P(x,y)則F1(-c,0),M(,y)

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    代入

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       化簡(jiǎn)得e=2                    ……………4分

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法二:OF1PM為平行四邊形,

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(λ>0)知P在的角平分線上

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∴四邊形OF1PM為菱形,且邊長(zhǎng)為,∴   ………4分

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由第二定義知  又

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   (2)∴雙曲線C的方程為 ……………8分

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   ∵∴過(guò)B2的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn),且

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    設(shè)直線AB:代入

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    設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)由 

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文本框:      ∴直線AB的方程為

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63、(湖北省荊州市2008屆高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè))如圖,已知為平面上的兩個(gè)定點(diǎn),為動(dòng)點(diǎn),,,的交點(diǎn))

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⑴建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系求出點(diǎn)的軌跡方程;

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⑵若點(diǎn)的軌跡上存在兩個(gè)不同的點(diǎn),且線段的中垂線與(或的延長(zhǎng)線)相交于一點(diǎn),證明:的中點(diǎn))

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解:⑴如圖1,以所在的直線為軸,的中垂線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系

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由題設(shè)

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,而

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點(diǎn)是以為焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓,故點(diǎn)的軌跡方程為          (6分)

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⑵如圖2,設(shè),,且,

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,又在軌跡上,

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代入整理得:

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,                                                  (10分)

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,,

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,

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,即。

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64、(湖北省隨州市2008年高三五月模擬)已知方向向量為的直線過(guò)點(diǎn)和橢圓的焦點(diǎn),且橢圓的中心和橢圓的右準(zhǔn)線上的點(diǎn)滿足:。

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⑴求橢圓的方程;

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⑵設(shè)為橢圓上任一點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn)的弦分別為,設(shè),求的值。

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65、(湖北省武漢市武昌區(qū)2008屆高中畢業(yè)生元月調(diào)研測(cè)試)已知圓A:,圓B:,動(dòng)圓P與圓A、圓B均外切,直線的方程為x=a(a≤).

(Ⅰ) 求動(dòng)圓P的圓心的軌跡C的方程;

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(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)B的直線與曲線C交于M、N兩點(diǎn),(1)求|MN|的最小值;(2)若MN的中點(diǎn)R在上的射影Q滿足MQ⊥NQ,求的取值范圍.

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解:(Ⅰ)設(shè)動(dòng)圓P的半徑為,則│PA│=,│PB│=,

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∴│PA│-│PB│=2.                   

 故點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支,

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其方程為≥1).          ………………………………………3分

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(Ⅱ)(1)設(shè)MN的方程為,代入雙曲線方程,得

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.

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,解得.  ………………………………………5分

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設(shè),則

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.

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當(dāng)時(shí),.               ………………………………………7分

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(2)由(1)知 ,.

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,知.

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所以,從而.

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,得.           ………………………………………13分

另解:

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 (1)若MN的斜率存在,設(shè)斜率為,則直線MN的方程為,代入雙曲線方程,得.

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  解得.       …………………………………5分

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設(shè),則

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│=6+.

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當(dāng)直線斜率不存在時(shí),=2,得=3,=-3.此時(shí)=6.

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所以=6.                   ……………………………………………7分

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(2)當(dāng)MQ⊥NQ時(shí),│RQ│=.①  

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=2,即=2 ,

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所以│MN│=, 故.  ② 

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將②代入①,得│MN│=2-.

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由│MN│=2-,得≤-1.        ………………………………………13分

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66、(湖南省十二校2008屆高三第一次聯(lián)考)已知拋物線x2=4y上的點(diǎn)P(非原點(diǎn))處切線與x、y軸分別交于Q、R點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)。

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(Ⅰ)

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(Ⅱ)若拋物線上的點(diǎn)面積的最小值,并寫(xiě)出此時(shí)過(guò)P點(diǎn)的切線方程。

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解:(Ⅰ)設(shè)

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。

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(Ⅱ) 

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=

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顯然只需考查函數(shù)

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     時(shí),也取得最小值 。

     故此時(shí)過(guò)P點(diǎn)的切線PR的方程為:

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67、(湖南省十二校2008屆高三第一次聯(lián)考)如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形紙片,沿某動(dòng)直線為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后點(diǎn)B都落在邊AD上,記為;折痕與AB交于點(diǎn)E,點(diǎn)M滿足關(guān)系式。若以B為原點(diǎn),BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如下圖):

    (Ⅰ).求點(diǎn)M的軌跡方程;

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    (Ⅱ).若曲線S是由點(diǎn)M的軌跡及其關(guān)于邊AB對(duì)稱的曲線組成的,等腰梯形的三邊分別與曲線S切于點(diǎn).求梯形面積的最小值.

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解:(1)如圖,設(shè)M(x,y),,又E(0,b)

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顯然直線l的斜率存在,故不妨設(shè)直線l的方程為y=kx+b,,則

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的中點(diǎn)在直線l上,

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,①

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由于代入①即得,又

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點(diǎn)M的軌跡方程)-------------6分

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(2)易知曲線S的方程為

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設(shè)梯形的面積為,點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

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        由題意得,點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為.

試題詳情

                 

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    *  直線的方程為

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即:

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        令  得,

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  得,

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*  

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當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取“=”且,

試題詳情

 * 時(shí),有最小值為.

試題詳情

梯形的面積的最小值為----------13分

試題詳情

68、(湖南省長(zhǎng)沙市一中2008屆高三第六次月考)已知圓M:(x+2+y2=36及定點(diǎn)N(,0),點(diǎn)P是圓M上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在NP上,點(diǎn)G在MP上,且滿足.

(1)求點(diǎn)G的軌跡C的方程.

試題詳情

(2)過(guò)點(diǎn)K(2,0)作直線l,與曲線C交于A、B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),是否存在這樣的直線,使四邊形OASB的對(duì)角線相等?若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

試題詳情

解:(1)為PN的中點(diǎn),且GQ是PN的中垂線.

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∴點(diǎn)G的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓,

試題詳情

的軌跡方程是……………………………………(5分)

試題詳情

(2)四邊形OASB為平行四邊形,假設(shè)存在直線,使;則四邊形OASB為矩形.

試題詳情

若直線的斜率不存在,則的方程為.

試題詳情

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,這與=0矛盾,故的斜率存在.………………………(7分)

試題詳情

設(shè)直線的方程為、.

試題詳情

     ………………………(9分)

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………………………(12分)

試題詳情

試題詳情

∴存在直線滿足條件. ……………………(13分)

試題詳情

69、(湖南省雅禮中學(xué)2008年高三年級(jí)第六次月考)在平面直角坐標(biāo)系中,已知,若實(shí)數(shù)使得為坐標(biāo)原點(diǎn))

試題詳情

(I)求點(diǎn)的軌跡方程,并討論點(diǎn)的軌跡類(lèi)型;

試題詳情

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若過(guò)點(diǎn)的直線(斜率不等于零)與(I)中點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)E、F(E在B、F之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

試題詳情

解:(I)由已知可得

試題詳情

                                                     5分

試題詳情

試題詳情

即P點(diǎn)的軌跡方程是                        7分.

試題詳情

當(dāng) P點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)點(diǎn).         9分

試題詳情

,即時(shí),方程為 P點(diǎn)的軌跡是雙曲線.                                                                 11分

試題詳情

,即時(shí),方程為, P點(diǎn)的軌跡是兩條射線.        13分

試題詳情

70、(湖南省岳陽(yáng)市2008屆高三第一次模擬)已知直線l: y=2x-與橢圓C:+y2= 1 (a>1)交于P、Q兩點(diǎn), 以PQ為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A.

(1) 設(shè)PQ中點(diǎn)M(x0,y0), 求證: x0

(2)求橢圓C的方程.

解: (1)設(shè)直線l: y=2x-與橢圓C: +y2= 1 (a>1)交于P(x1,y1),Q(x2,y2), 右頂點(diǎn)A(a,0), 將y=2x-代入x2+a2y2-a2=0中整理得(4a2+1)x24a2x+2a2=0

 

∵M(jìn)(x0,y0)為PQ中點(diǎn) ∴x0= =  = - 故x0

(2)依題意: ?=0, 則(x1-a)(x2-a)+y1y2=0 又y1=2x1-, y2=2x2

故 (x1-a)(x2-a)+(2x1-)(2x2-)=0 由①②代入③ 得: 4a4-4a3-a2+3=0

∴(a-)(4a2-a-)=0 ∵a>1, 則4a2-a->0  故a=

故所橢圓方程為 + y2=1

試題詳情

71、(湖南省株洲市2008屆高三第二次質(zhì)檢)已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).

試題詳情

  (1)若直線的傾斜角,求;

  (2)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡;

  (3)設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),

試題詳情

線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.

試題詳情

解:(1)直線方程為聯(lián)立得

試題詳情

                 …………………4分

試題詳情

(2)設(shè)弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為依題意有

試題詳情

    

試題詳情

 所以弦AB的中點(diǎn)M的軌跡是以為中心,焦點(diǎn)在軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為1,短軸長(zhǎng)為的橢圓。                                                               …………………8分

試題詳情

(3)設(shè)直線AB的方程為

試題詳情

    代入整理得

試題詳情

    直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,方程有兩個(gè)不等實(shí)根。

試題詳情

    記中點(diǎn)   則

試題詳情

    的垂直平分線NG的方程為

試題詳情

   

試題詳情

    點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為                       …………………13分

試題詳情

72、(吉林省吉林市2008屆上期末)拋物線C的方程為,作斜率為的兩條直線,分別交拋物線C于A兩點(diǎn)(P、A、B三點(diǎn)互不相同),且滿足

   (1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;

試題詳情

   (2)設(shè)直線AB上一點(diǎn)M滿足證明:線段PM的中點(diǎn)在y軸上;

試題詳情

   (3)當(dāng)時(shí),若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,―1),求∠PAB為鈍角時(shí),點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取

值范圍.

試題詳情

解:(1)由拋物線C的方程得,

試題詳情

焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ……………………………………2分

試題詳情

   (2)設(shè)直線PA的方程為

      <ol id="eeiqf"></ol>

         

        試題詳情

        將②式代入①式,得,

        試題詳情

        于是     ③…………………………………………4分

        試題詳情

        將⑤式代入④式,得,

        試題詳情

        于是 …………………………………………4分

        試題詳情

        由已知得,    ⑥

        試題詳情

        設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為

        試題詳情

        將③式和⑥式代入上式,得

        所以線段PM的中點(diǎn)在y軸上 ……………………………………………………8分

        試題詳情

           (3)因?yàn)辄c(diǎn)P(1,-1)在拋物線

        試題詳情

        由③式知

        試題詳情

        代入⑥式得

        因此,直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為

        試題詳情

        試題詳情

        故當(dāng)

        試題詳情

        ………………………………………………………12分

        試題詳情

        73、(吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008屆高三年級(jí)第五次模擬考試)設(shè)分別是橢圓的左,右焦點(diǎn)。

        試題詳情

        (Ⅰ)若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且,

        試題詳情

        求點(diǎn)的坐標(biāo)。

        試題詳情

        (Ⅱ)設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率的取值范圍。

        試題詳情

        解:(Ⅰ)易知

        試題詳情

        試題詳情

        ,

                                                 ………………………………3分

        試題詳情

        聯(lián)立,解得, ………………5分

        試題詳情

        (Ⅱ)顯然 …………………………………………6分

        試題詳情

        可設(shè)

        試題詳情

        聯(lián)立

        試題詳情

          ……………………………………7分

        試題詳情

         

        試題詳情

           1   …………………………………………8分

        試題詳情

        ,

        試題詳情

           ………………………………………………9分

        試題詳情

        試題詳情

        試題詳情

        試題詳情

         2   ……………………………………11分

        試題詳情

        綜12可知 …………12分

        試題詳情

        74、(江蘇省常州市北郊中學(xué)2008屆高三第一次模擬檢測(cè))在中,已知,,、兩邊所在的直線分別與 軸交于原點(diǎn)同側(cè)的點(diǎn)、,且滿足。

        試題詳情

        (1)求點(diǎn)的軌跡方程;

        試題詳情

        (2)若上任一點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在線段上,求的最小值。

        試題詳情

        解:(1)設(shè)點(diǎn),

        試題詳情

        當(dāng)時(shí),軸,當(dāng)時(shí), 軸,與題意不符,所以;

        試題詳情

        三點(diǎn)共線有,解得.同理由 三點(diǎn)共線,解得

        試題詳情

        ,   ,

        試題詳情

        化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為

        (2)解略。最小值為-2

        試題詳情

        75、(江蘇省南通市2008屆高三第二次調(diào)研考試)已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,左、右頂點(diǎn)分別為A、C,上頂點(diǎn)為B.過(guò)F、B、C作⊙P,其中圓心P的坐標(biāo)為(m,n).

        (Ⅰ)當(dāng)m+n>0時(shí),求橢圓離心率的范圍;

        (Ⅱ)直線AB與⊙P能否相切?證明你的結(jié)論.

        解:(Ⅰ)設(shè)F、B、C的坐標(biāo)分別為(-c,0),(0,b),(1,0),則FC、BC的中垂線分別為

        試題詳情

        .………………………………………………………………2分

        試題詳情

        聯(lián)立方程組,解出……………………………………………………………4分

        試題詳情

        ,即,即(1+b)(b-c)>0,

        ∴ b>c. ……………………………………………………………………………………6分

        試題詳情

        從而即有,∴.……………………………………………………7分

        試題詳情

        ,∴. …………………………………………………………………8分

        (Ⅱ)直線AB與⊙P不能相切.…………………………………………………………………9分

        試題詳情

        ,. ………………………………………………10分

        試題詳情

        如果直線AB與⊙P相切,則?=-1. ………………………………………12分

        解出c=0或2,與0<c<1矛盾,………………………………………………………14分

        所以直線AB與⊙P不能相切. …………………………………………………………15分

        評(píng)講建議:

        此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關(guān)知識(shí),要求學(xué)生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點(diǎn),從而大膽求出交點(diǎn)坐標(biāo),構(gòu)造關(guān)于橢圓中a,b,c的齊次等式得離心率的范圍.第二小題亦可以用平幾的知識(shí):圓的切割線定理,假設(shè)直線AB與⊙P相切,則有AB2=AF×AC,易由橢圓中a,b,c的關(guān)系推出矛盾.

        試題詳情

        76、(江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)2008屆高三調(diào)研)已知直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)在直線上.

        (Ⅰ)求此橢圓的離心率;

        試題詳情

        (Ⅱ)若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的在圓上,求此橢圓的方程.

        試題詳情

        解:(1)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為, 根據(jù)韋達(dá)定理,得

        試題詳情

         ∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為().

        試題詳情

         由已知得

        試題詳情

          故橢圓的離心率為

        試題詳情

        (2)由(1)知從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為解得。由已知得 ,故所求的橢圓方程為 .

        試題詳情

        77、(江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)2008屆高三調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn).

        試題詳情

         (Ⅰ)如果直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),求的值;

        試題詳情

         (Ⅱ)如果證明直線必過(guò)一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn).

        解:(Ⅰ)由題意:拋物線焦點(diǎn)為(1,0)

        試題詳情

        設(shè)消去x得

        試題詳情

        試題詳情

        ,

        試題詳情

        試題詳情

        =

        試題詳情

        (Ⅱ)設(shè)消去x,得

        試題詳情

        ,則y1+y2=4t ,y1y2=-4b。

        試題詳情

        試題詳情

        =

        試題詳情

        ,∴直線l過(guò)定點(diǎn)(2,0)。

        試題詳情

        78、(江蘇省南通通州市2008屆高三年級(jí)第二次統(tǒng)一測(cè)試)傾斜角為60°的一束平行光線,將一個(gè)半徑為的球投影在水平地面上,形成一個(gè)橢圓.若以該橢圓的中心為原點(diǎn),較長(zhǎng)的對(duì)稱軸為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.

        (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

        (2)若球的某一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)在地面上的投影恰好分別落在橢圓邊界的A、B兩點(diǎn)上,且已知C(-4,0),求?的取值范圍.

        試題詳情

        解:(1)設(shè)橢圓方程是,由題知b=,2a=,a=2

        所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.                              6′

        (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,

        =(x1+4,y1),=(x2+4,y2),

        ?=(x1+4,y1)?(x2+4,y2)=x1x2+4(x1+x2)+16+y1y2

        = x1x2+16+y1y2                                                    9′

        AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程是y=kx,代入橢圓方程得:

        試題詳情

         

        試題詳情

        ?=                                              12′

        由于k可以取任意實(shí)數(shù),故?∈[12,13),                       14′

        試題詳情

        AB與x軸垂直時(shí),||=||=,cos∠ACB==

        ?=13

        ∴?∈[12,13].                                             16′

        試題詳情

        79、(江蘇省南通通州市2008屆高三年級(jí)第二次統(tǒng)一測(cè)試)設(shè)A、B是拋物線y=2x2上兩點(diǎn),求證:AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的充要條件是線段AB的中點(diǎn)落在y 軸上。

        證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)落在y 軸上即x1+x2=0;

        試題詳情

        ∵拋物線y=2x2的焦點(diǎn)                                         3′

        試題詳情

        充分性:當(dāng)AB的中點(diǎn)落在y 軸上即x1+x2=0時(shí),y1=y2,A、B關(guān)于y軸對(duì)稱,直線即為y軸,經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)。                                              6′

        必要性:

        試題詳情

        (1)直線的斜率不存在且經(jīng)過(guò)時(shí),直線即為y軸,A、B關(guān)于y軸對(duì)稱,AB的中點(diǎn)落在y 軸上。                                                   

        試題詳情

        (2)直線經(jīng)過(guò)且斜率存在,設(shè)斜率為k(顯然k≠0),截距為,

        試題詳情

        即直線:y=kx+

        由已知得:

        試題詳情

        ≠0

        試題詳情

        的斜率存在時(shí),AB的中點(diǎn)不可能落在y 軸上即題設(shè)A、B點(diǎn)不存在。    9′

        試題詳情

        綜上所述,經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的充要條件是線段AB的中點(diǎn)落在y 軸上。     10′

        試題詳情

        80、(江西省鷹潭市2008屆高三第一次模擬)橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為

        試題詳情

         ,是橢圓上一點(diǎn),且滿足。

        (1)求離心率e的取值范圍

        (2)當(dāng)離心率e取得最小值時(shí),點(diǎn)N( 0 , 3 )到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為5

        (i)求此時(shí)橢圓C的方程

        (ii)設(shè)斜率為k(k¹0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B,Q為AB的中點(diǎn),問(wèn)A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過(guò)點(diǎn)P(0,- )、Q的直線對(duì)稱?若能,求出k的取值范圍;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由。

        解:(1)、由幾何性質(zhì)知的取值范圍為:≤e<1………………3分

        (2)、(i) 當(dāng)離心率e取最小值時(shí),橢圓方程可表示為+ = 1 。設(shè)H( x , y )是橢圓上的一點(diǎn),則| NH |2 =x2+(y-3)2 = - (y+3)2+2b2+18 ,其中 - b≤y≤b

        若0<b<3 ,則當(dāng)y = - b時(shí),| NH |2有最大值b2+6b+9 ,所以由b2+6b+9=50解得b = -3±5(均舍去) …………………5分

        若b≥3,則當(dāng)y = -3時(shí),| NH |2有最大值2b2+18 ,所以由2b2+18=50解得b2=16

        ∴所求橢圓方程為+ = 1………………7分

        (ii) 設(shè) A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ),Q( x0 , y0 ),則由兩式相減得x0+2ky0=0;………①  ……………………8分

        又直線PQ⊥直線l,∴直線PQ的方程為y= - x - ,將點(diǎn)Q( x0 , y0 )坐標(biāo)代入得y0= - x0- ………②  ……………………9分

        由①②解得Q( - k ,  ),而點(diǎn)Q必在橢圓的內(nèi)部

        ∴ + < 1,…………… 10分

        由此得k2 < ,又k≠0

        ∴ - < k < 0或0 < k <

        故當(dāng)( - , 0 ) ∪( 0 , )時(shí),A、B兩點(diǎn)關(guān)于過(guò)點(diǎn)P、Q、的直線對(duì)稱!12分

        試題詳情

        81、(寧夏區(qū)銀川一中2008屆第六次月考)如圖,直線y=kx+b與橢圓交于A、B兩點(diǎn),記△AOB的面積為S.

           (I)求在k=0,0<b<1的條件下,S的最大值;

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           (II)當(dāng)|AB|=2,S=1時(shí),求直線AB的方程.

        試題詳情

        解:(Ⅰ)解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為

        試題詳情

        ,解得,

        試題詳情

        所以

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        當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取到最大值

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        (Ⅱ)解:由

        試題詳情

        ,

        試題詳情

        試題詳情

        .                ②

        試題詳情

        設(shè)的距離為,則

        試題詳情

        ,       又因?yàn)?sub>,

        試題詳情

        所以,代入②式并整理,得

        試題詳情

        ,

        試題詳情

        解得,,代入①式檢驗(yàn),

        試題詳情

        故直線的方程是

        試題詳情

        ,或

        試題詳情

        82、(山東省聊城市2008屆第一期末統(tǒng)考)已知定點(diǎn)A(-2,0),動(dòng)點(diǎn)B是圓F:(F為圓心)上一點(diǎn),線段AB的垂直平分線交BF于P.

           (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程;

        試題詳情

           (2)直線交于M,N兩點(diǎn),試問(wèn)在曲線E位于第二象限部分上是否存在一點(diǎn)C,使共線(O為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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        解:(1)由題意

        試題詳情

        因此點(diǎn)P的軌跡是以A,F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓.……………………4分

        試題詳情

        設(shè)所求橢圓的方程為

        試題詳情

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        ∴點(diǎn)P的軌跡方程為…………………………6分

        試題詳情

        (2)假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)

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        ……………………8分

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        ……………………10分

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        所以存在滿足題意的點(diǎn)C()……………………12分

        試題詳情

        83、(山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008屆高三第三次診斷性測(cè)試)已知橢圓的離心率為,直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.

        試題詳情

           (1)求橢圓的方程;

        試題詳情

           (2)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn),直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線垂直于點(diǎn),線段垂直平分線交于點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡的方程;

        試題詳情

           (3)設(shè)軸交于點(diǎn),不同的兩點(diǎn)上,且滿足的取值范圍.

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        解:(Ⅰ)∵   ……1分

        試題詳情

        ∵直線相切,

        試題詳情

           …………2分

        試題詳情

            …………3分

        試題詳情

        ∵橢圓C1的方程是     ………………4分

        (Ⅱ)∵M(jìn)P=MF2

        試題詳情

        ∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F1(1,0)的距離,

        ∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是C為l1準(zhǔn)線,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線  ………………6分

        試題詳情

        ∴點(diǎn)M的軌跡C2的方程為    …………7分

        試題詳情

        (Ⅲ)Q(0,0),設(shè)  …………8分

        試題詳情

          …………9分

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        ,化簡(jiǎn)得

        試題詳情

            ………………11分

        試題詳情

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        當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立   …………13分

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        ∴當(dāng)的取值范圍是……14分

        試題詳情

        84、(山西大學(xué)附中2008屆二月月考)已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線 的距離小1.

           (1)求曲線C的方程;

        試題詳情

           (2)過(guò)點(diǎn)當(dāng)△AOB的面積為4時(shí)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求的值.

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        解:(1)的距離小于1,

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        ∴點(diǎn)M在直線l的上方,點(diǎn)M到F(1,0)的距離與它到直線的距離相等,所以曲線C的方程為

           (2)當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí),它與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn),不合題意,

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        設(shè)直線m的方程為,

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        代入  (*)與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)    設(shè)交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為

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        點(diǎn)O到直線m的距離,

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        (舍去)

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        當(dāng)方程(*)的解為   若

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          當(dāng)方程(☆)的解為

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         所以,

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        85、(上海市部分重點(diǎn)中學(xué)2008屆高三第二次聯(lián)考)設(shè)分別是橢圓C:的左右焦點(diǎn)

        試題詳情

        (1)設(shè)橢圓C上的點(diǎn)兩點(diǎn)距離之和等于4,寫(xiě)出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)

        試題詳情

        (2)設(shè)K是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段的中點(diǎn)B的軌跡方程

        試題詳情

        (3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C 上的任意一點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)直線PM ,PN的斜率都存在,并記為  試探究的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān),并證明你的結(jié)論。

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        [解]:(1)由于點(diǎn)在橢圓上,  ------1分

        試題詳情

        2=4,         ------2分  

        試題詳情

        橢圓C的方程為   --------3分

        焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1,0)  ,(1,0)-----------4分

        試題詳情

        (2)設(shè)的中點(diǎn)為B(x, y)則點(diǎn)--------6分

        試題詳情

        把K的坐標(biāo)代入橢圓中得-----8分

        試題詳情

        線段的中點(diǎn)B的軌跡方程為----------10分

        (3)過(guò)原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M,N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 

        試題詳情

        設(shè)           ----11分   

        試題詳情

        ,得------12分

        試題詳情

        -------------------13分

        試題詳情

        ==-----------15分

        試題詳情

        故:的值與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān),同時(shí)與直線L無(wú)關(guān),-----16分

        試題詳情

        86、

        試題詳情


        同步練習(xí)冊(cè)答案