吉林省長春市第二實驗中學2009屆高三第四次月考
數(shù)學(理科)
參考公式:錐體的體積公式,其中S表示底面面積,h表示錐體的高。
如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).
如果事件A、B相互獨立,那么P(A?B)=P(A)?P(B).
第Ⅰ卷 選擇題(共40分)
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,滿分40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.集合(其中i為虛數(shù)單位),,且,則實數(shù)的值為 ( )
A. B. C.或 D.
2.某中學高一年級有學生1200人,高二年級有學生900人,高三年級有學生1500人,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為720的樣本進行某項調(diào)查,則高二年級應(yīng)抽取的學生數(shù)為( )
A.180
B.
3.在邊長為1的等邊中,設(shè),則( )
A. B.
4.如圖是某幾何體的三視圖,其中正視圖是腰長為2的等腰三角形,
俯視圖是半徑為1的半圓,則該幾何體的體積是( )
A. B. C. D.
5.下列命題錯誤的是( )
A.命題“若,則方程有實根”的逆否命題為:“若方程無實根,則”。
B.“”是“”的充分不必要條件。
C.命題“若,則中至少有一個為零”的否定是:“若,則都不為零”。
D.對于命題,使得;則是,均有。
6.直線與圓的位置關(guān)系是( )
A.相離 B.相交 C.相切 D.不確定
7.設(shè)集合,分別從集合和中隨機取一個數(shù)和,確定平面上的一個點,記“點落在直線上”為事件,若事件的概率最大,則的可能值為( )
A.3 B.
8. 已知函數(shù)的定義域為[―2,,部分對應(yīng)值如下表,為的導函數(shù),函數(shù)的圖象如右圖所示:
―2
0
4
1
―1
1
若兩正數(shù)滿足,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非選擇題(共110分)
二、填空題(本大題共7小題,每小題5分,滿分30分.其中13~15題是選做題,考生只需選做二題作答,三題全答的,只計算前兩題得分.)
9. 已知,若,,則 。
10.已知流程圖如右圖所示,該程序運行后,為使輸出的值為,則循環(huán)體的判斷框內(nèi)①處應(yīng)填 。
11. 以、為焦點的橢圓=1()上
一動點P,當最大時的正切值為2,
則此橢圓離心率e的大小為 。
12. 已知等差數(shù)列的前項和為,且,,則過點和N*)的直線的斜率是__________。
(★請考生在以下三個小題中任選做二題作答,三題全答的,只計算前兩題得分.)
13.極坐標系中,曲線和相交于點,則= .
14.函數(shù)的最大值是 。
15.如圖,已知:內(nèi)接于,點在
的延長線上,是⊙的切線,若,
,則的長為 。
三、解答題(本大題共計6小題,滿分80分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。)(★請在答題卷的指定區(qū)域內(nèi)作答,否則該題計為零分.)
16.(本小題滿分12分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的周期和最大值;
(Ⅱ)已知,求的值.
17.(本小題滿分14分)
統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量(升)關(guān)于行駛速度(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為:.已知甲、乙兩地相距100千米
(Ⅰ)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升?
(Ⅱ)當汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?
18.(本小題滿分12分)
已知關(guān)于的一元二次函數(shù)
(Ⅰ)設(shè)集合P={1,2, 3}和Q={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為和,求函數(shù)在區(qū)間[上是增函數(shù)的概率;
(Ⅱ)設(shè)點(,)是區(qū)域內(nèi)的隨機點,求函數(shù)上是增函數(shù)的概率。
19.(本小題滿分14分)
如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,
AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=1200,F(xiàn)為AE中點。
(Ⅰ) 求證:平面ADE⊥平面ABE ;
(Ⅱ) 求二面角A―EB―D的大小的余弦值;
(Ⅲ)求點F到平面BDE的距離。
20.(本小題滿分14分)
如圖,已知直線l:與拋物線C:交于A,B兩點,為坐標原點,。
(Ⅰ)求直線l和拋物線C的方程;
(Ⅱ)拋物線上一動點P從A到B運動時,
求△ABP面積最大值.
21.(本小題滿分14分)
已知數(shù)列的首項,,.
(Ⅰ)求的通項公式;
(Ⅱ)證明:對任意的,,;
(Ⅲ)證明:.
2009屆高三模擬考試數(shù)學試題(理科)評分標準
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
D
C
D
A
B
一.選擇題(本大題共8小題,每小題5分,滿分40分)
1、解析:則中的復數(shù)必須為實數(shù),所以m=3;實部恰為-9, ∴選:B
2、解析:抽取學生數(shù)為(人)!噙xA。
3、解析:,故選C。
4、解析:由三視圖知幾何體的直觀圖是半個圓錐,
,∴選D.
5、解析:命題的否定是只否定結(jié)論,∴選C.
6、解析:圓心(0,0)到直線的距離, 圓的半徑為1,可能相切或相交。故選D。
7、解析:P點取法總共有16種,由圖知直線截距為3時經(jīng)過的點最多;∴選A.
8、解析:由題意,函數(shù)的圖象大致如圖,
,
則由不等式組所表示的區(qū)域如圖所示,
的取值范圍即區(qū)域內(nèi)的點與
連線的斜率的取值范圍,
,故選B。
二.填空題(本大題共7小題,每小題5分,滿分30分.其中13~15題是選做題,考生只需選做二題作答,三題全答的,只計算前兩題得分.)
9、3 10、 3(注:答題卡填的是也給5分) 11、
12、4 13、 14、4 15、 4
9、解析:或(舍去),故
10、解析:=1時進入循環(huán)此時=21=2,=2時再進入循環(huán)此時=22=4,=3時再進入循環(huán)此時=24=16,∴=4時應(yīng)跳出循環(huán),∴循環(huán)滿足的條件為,∴填3。
(注:答題卷上填的是也給5分)
11、解析:當最大時P為橢圓與y軸的交點,的正切值為2,即,∵,則橢圓離心率e為。
12、解析:由消去得。直線的斜率為,∴填4.
13、解析:在平面直角坐標系中,曲線和分別表示圓和直線,作圖易知=。
14、解析:
15、解析:連結(jié),則,且由知為正三角形,所以。又因為是⊙的切線,即,所以
三.解答題(本大題共計6小題,滿分80分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
16.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)
=.…………………………………………………… 3分
∴周期為, …………………………………………………… 4分
最大值為6 …………………………………………………………………… 5分
(Ⅱ)由,得.………………… 6分
∴. …………………………… 7分
∴, ………………………………………………… 8分
即 ………… 9分
, ………………………………………………………10分
∴. …………………………………………………… 12分
17.(本小題滿分14分)
解:(I)當時,汽車從甲地到乙地行駛了小時, ………………2分
要耗油(升)。 ………………4分
答:當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油17.5升!6分
(II)當速度為千米/小時時,汽車從甲地到乙地行駛了小時,設(shè)耗油量為升,
依題意得
………8分
令得 ……10分
當時,是減函數(shù); 當時,是增函數(shù)。
當時,取到極小值 …………………………12分
因為在上只有一個極值,所以它是最小值。
答:當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少為11.25升。14分
18.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)∵函數(shù)的圖象的對稱軸為
要使在區(qū)間上為增函數(shù),
當且僅當>0且 …………………………………………2分
若=1則=-1,
若=2則=-1,1
若=3則=-1,1; …………………………………………4分
∴事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5
∴所求事件的概率為 …………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知當且僅當且>0時,
函數(shù)上為增函數(shù),
依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為
構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形部分。 …………………………………………8分
由 …………………………………………10分
∴所求事件的概率為 …………………………………………12分
19.(本小題滿分14分)
解法1:(Ⅰ)證明:取BE的中點O,連OC,OF,DF,則2OFBA ………………2分
∵AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,∴2CD BA,
∴OFCD,∴OC∥FD ………………4分
∵BC=CE,∴OC⊥BE,又AB⊥平面BCE.
∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.
從而平面ADE⊥平面ABE. ………………6分
(Ⅱ)二面角A―EB―D與二面角F―EB―D相等,由(Ⅰ)知二面角F―EB―D的平面角為∠FOD。BC=CE=2, ∠BCE=1200,OC⊥BE得BO=OE=,OC=1,∴OFDC為正方形,∴∠FOD=450,
∴二面角A―EB―D的余弦值為。 ……………………10分
(Ⅲ)∵OFDC為正方形,∴CF⊥OD,CF⊥EB,∴CF⊥面EBD,
∴點F到平面BDE的距離為FC,∴點F到平面BDE的距離為。……………14分
解法2:取BE的中點O,連OC.∵BC=CE, ∴OC⊥BE,又AB⊥平面BCE.
以O(shè)為原點建立如圖空間直角坐標系O-xyz,
則由已知條件有: ,,
……………………………2分
設(shè)平面ADE的法向量為,
則由?
及?
可取 …………………………… 4分
又AB⊥平面BCE,∴AB⊥OC,OC⊥平面ABE,
∴平面ABE的法向量可取為=.
∵??=0, ∴⊥,∴平面ADE⊥平面ABE.…… 6分
(Ⅱ)設(shè)平面BDE的法向量為,
則由?
及?可取……… 7分
∵平面ABE的法向量可取為= …………8分
∴銳二面角A―EB―D的余弦值為=,………… 9分
∴二面角A―EB―D的余弦值為。 ……………………………10分
(Ⅲ)點F到平面BDE的距離為!14分
20.(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)由得, ……………………2分
設(shè)則
因為=
所以解得 ………………4分
所以直線的方程為拋物線C的方程為 …………6分
(Ⅱ)方法1:設(shè)依題意,拋物線過P的切線與平行時,△APB面積最大,
,所以 所以
此時到直線的距離 ………………8分
由得, ………………………10分
∴△ABP的面積最大值為。 …………………………14分
(Ⅱ)方法2:由得, ……………………8分
……9分
設(shè) ,
因為為定值,當到直線的距離最大時,△ABP的面積最大,
……………………………12分
因為,所以當時,max=,此時
∴△ABP的面積最大值為!14分
21.(本小題滿分14分)
解法一:(Ⅰ),,, ……………………2分
又,是以為首項,為公比的等比數(shù)列. ………3分
,. ……………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ……………………5分
, 原不等式成立.………………8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,對任意的,有
. ……………………10分
取,…………12分
則.
原不等式成立. ……………………14分
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)設(shè), ……………………5分
則…………6分
,當時,;當時,,
當時,取得最大值.
原不等式成立. ……………………8分
(Ⅲ)同解法一.
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