2009年江西省撫州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試卷(理科)

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共150分.考試時(shí)間120分鐘.

第Ⅰ卷 (選擇題,共60分)

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每一小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=1-i3,則復(fù)數(shù)z等于

A.1       B.-i       C.1-i      D.-1-i

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2.命題p:|x|≥1,命題q:x2+x-6≥0,則“非p”是“非q”成立的

A.必要不充分條件                  B.充分不必要條件

C.充要條件                        D.既不充分也不必要條件

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3.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0),其導(dǎo)函數(shù)的圖象過(guò)二、三、四象限,則函數(shù)f(x)的圖象不經(jīng)過(guò)  

A.第一象限         B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限

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4.已知直線l1:x+y+2=0和直線l2:x+y=0,設(shè)點(diǎn)P到l1與l2的距離分別為d1與d2,記d=max{d1,d2},那么當(dāng)d≥時(shí)點(diǎn)P所在的區(qū)域是

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高考資源網(wǎng)( m.sscsoft.com),中國(guó)最大的高考網(wǎng)站,您身邊的高考專家。    A        B         C         D

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5.如圖在正方體ABCD―A1B1C1D1中,點(diǎn)E、F分別在棱AD、CC1上,若AF⊥A1E,則

A.AE=ED        B.AE=C1F     C.AE=CF        D.C1F=CF

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6.函數(shù)y=log3cos x(-<x<)的圖象是

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    A        B         C         D

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7.在函數(shù)y=f(x)的圖象上有點(diǎn)列(xn,yn),若數(shù)列{xn}是等差數(shù)列,數(shù)列{yn}是等比數(shù)列,則函數(shù)y=f(x)的解析式可能為

A.f(x)=2x+1       B.f(x)=4x2              C.f(x)=log3x       D.f(x)=()x

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8.若AB是過(guò)橢圓+=1(a>b>0)中心的一條弦,M是橢圓上任意一點(diǎn),且AM、BM與坐標(biāo)軸不平行,kAM、kBM分別表示直線AM、BM的斜率,則kAM?kBM等于

A.-            B.-               C.-         D.-

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高考資源網(wǎng)( m.sscsoft.com),中國(guó)最大的高考網(wǎng)站,您身邊的高考專家。9.若△ABC三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知m=(a+b,c),n=(a-b,c-a),若|m+n|=|m-n|,則角B的大小

A.30°             B.60°               C.90°          D.120°

 

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10.將1、2、3、4填入4×4方格中,要求每行、每列都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字.右圖是一種填法.不同的填法共有

A.24種            B.144種           C.216種          D.432種

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11.x、y、z均為正實(shí)數(shù),且4xy+z2+2yz+2xz=8,則x+y+z的最小值為

A.2               B.2              C.4               D.8

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12.已知f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2009|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2009|(x∈R)且f(a2-1)=f(a-1),則f(a)的值有

A.2個(gè)            B.3個(gè)               C.4個(gè)            D.無(wú)數(shù)個(gè)

第Ⅱ卷 (非選擇題,共90分)

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二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分,答案填寫(xiě)在題中橫線上.

13.已知函數(shù)f(x)=,則f1(-)的值是    .

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14.在(-)n的展開(kāi)式中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是    .

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15.給出下列命題:

①一個(gè)球與棱長(zhǎng)為的正方體的所有棱都相切,則此球的體積為;

②若 ()=2,則實(shí)數(shù)a=1+;

③已知函數(shù)f(x)=ln(x2+1),則方程f(x)=0在(1,2)內(nèi)必有實(shí)根;

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④圓(x-2)2+y2=2外的點(diǎn)M對(duì)該圓的視角為90°時(shí),則點(diǎn)M的軌跡方程是(x-2)2+y2=4.

其中正確的命題序號(hào)是    .

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16.在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”,具有性質(zhì):

①對(duì)任意a,b∈R,a*b=b*a;

②對(duì)任意a∈R,a*0=a;

③對(duì)任意a,b,c∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-2c.

則函數(shù)f(x)=x*(x>0)的最小值為    .

 

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三、解答題:本大題共6小題,滿分74分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、推理過(guò)程或演算步驟.

17.(本小題滿分12分)

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已知f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A>0,ω>0,0<φ<)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,2),f(x)的最小正周期為4π,且最大值與最小值的差為2.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)在△ABC中,B=,其對(duì)邊為b,若f(B)=b,求△ABC的最大面積.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18.(本小題滿分12分)

某公司通過(guò)三次測(cè)試來(lái)聘用職員,一旦某次測(cè)試通過(guò)就聘用,否則就一直測(cè)試到第三次為止,現(xiàn)有4人前來(lái)應(yīng)聘,假設(shè)每位應(yīng)聘者三次通過(guò)測(cè)試的概率都依次為,,p,每位應(yīng)聘者被聘用的概率為p0.

(1)求p0與p之間的關(guān)系式(用p表示p0);

(2)若4位應(yīng)聘者中恰有2人被聘用的概率最大,求p0與p的值;

(3)在(2)的條件下,求4位應(yīng)聘者中被聘用人數(shù)ξ的分布列及Eξ.

 

 

 

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19.(本小題滿分12分)

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高考資源網(wǎng)( m.sscsoft.com),中國(guó)最大的高考網(wǎng)站,您身邊的高考專家。如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,Q是BC邊上的一點(diǎn),又PA⊥平面ABCD,且PA=4,直線PQ與平面ABCD所成角的正切值為.

(1)求二面角Q―PD―A的大小;

(2)求點(diǎn)A到平面PDQ的距離.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20.(本小題滿分12分)

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,四邊形OABC是邊長(zhǎng)為3的正方形,曲線段MN是反比例函數(shù)圖象的一段,記這段圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=f(x).

(1)寫(xiě)出函數(shù)y=f(x)的解析式,并指出它的定義域;

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高考資源網(wǎng)( m.sscsoft.com),中國(guó)最大的高考網(wǎng)站,您身邊的高考專家。(2)設(shè)P是函數(shù)f(x)圖象上的任意一點(diǎn),P點(diǎn)的橫坐標(biāo)設(shè)為t,過(guò)P作切線l,l將正方形OABC截成兩部分,其中正方形左下部分的面積設(shè)為f(t),求f(t)的解析式,并求出f(t)的最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21.(本小題滿分12分)

已知點(diǎn)A(1,0),B(-2,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足∠MBA=2∠MAB(∠MAB≠0°).

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程;

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高考資源網(wǎng)( m.sscsoft.com),中國(guó)最大的高考網(wǎng)站,您身邊的高考專家。(2)設(shè)直線l:y=x+b,若軌跡E上存在不同的兩點(diǎn)C、D關(guān)于直線l對(duì)稱,是否可能使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓?若有,求實(shí)數(shù)b的值,否則說(shuō)明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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22.(本小題滿分14分)

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已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足4Sn=3an+8n2-3.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)bn=(an-2)an(an+2),求證:++…+<.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

撫州市2009屆高三統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(理)

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1.A 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.D 8.B 9.B 10.D 11.B 12.D

13.-3 14.7 15.①④ 16.3

17.解:(1)f(x)=Acos2(ωx+φ)+1=cos(2ωx+2φ)++1.

又A>0,ω>0,0<φ<,∴f(x)的最大值為A+1,最小值為1.

由f(x)的最大值與最小值的差為2,∴A=2.

由f(x)過(guò)點(diǎn)(0,2),f(0)=cos 2φ+2=2,∴φ=,

則T=4π=,∴ω=,f(x)=cos(x+)+2=2-sinx.6分

(2)∵B=,∴b=f(B)=2-sin(?)=.

設(shè)A,C所對(duì)的邊分別為a,c,由余弦定理得=a2+c2-2accos,+ac=a2+c2≥2ac,ac≤,

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=時(shí)等號(hào)成立,△ABC的面積S=acsin≤.12分

18.解:(1)某應(yīng)聘者能被聘用的概率為p0=1-(1-)(1-)(1-p)=+p.4分

(2)在4位應(yīng)聘者中恰好有2人被聘用的概率為CP?(1-P0)2

由于p0(1-p0)≤()2,當(dāng)p0=1-p0,即p0=時(shí),p0(1-p0)取最大值,

此時(shí)+p=,解得p=.7分

(3)4位應(yīng)聘者中被聘用人數(shù)ξ的取值為0,1,2,3,4,

P(ξ=0)=C()4()0=,P(ξ=1)=C()3()1=,

P(ξ=2)=C()2()2=,P(ξ=3)=C()1()3=,

P(ξ=4)=C()0()4=,

其分布列為

ξ

0

1

2

3

4

p

由于ξ服從二項(xiàng)分布,所以Eξ=2.12分

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19.解:(1)連AQ,∠PQA是PQ與平面ABCD所成角,AQ=2,BQ=2,即Q是BC的中點(diǎn),過(guò)Q作QH⊥AD于H,則QH⊥平面PAD,過(guò)Q作QM⊥PD,連MH,則∠QMH為所求二面角的平面角.

在Rt△PAD中,=⇒MH===,

所以tan∠QMH===,

從而所求二面角的大小為arctan .6分

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(2)由于Q是BC的中點(diǎn),可得DQ⊥PQ,

⇒面PAQ⊥面PDQ,

過(guò)A作AG⊥PQ于G,則AG為點(diǎn)A到平面PQD的距離.

AG===.12分

另解:分別以AD,AB,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由條件知Q是BC的中點(diǎn),面PAD的一個(gè)法向量是=(0,2,0).

又D(4,0,0),Q(2,2,0),P(0,0,4),

故=(0,2,0),=(-4,0,4),

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設(shè)面PDQ的法向量為n=(x,y,z),

則⇒由此可取n=(1,1,1),

從而(1)cos〈,n〉===.

(2)面PDQ的一個(gè)法向量為n=(1,1,1),=(2,2,0),

故點(diǎn)A到平面PDQ的距離d===.

20.解:(1)設(shè)f(x)=(k為非零常數(shù)),易得f(x)=(1≤x≤2).3分

(2)f′(x)=-,f′(t)=-,點(diǎn)P(t,),∴l(xiāng):y-=-(x-t),即l:y=-x+.l在x軸和y軸上的截距分別是2t和.

①當(dāng)>3,即t<時(shí),2t<<3,此時(shí)f(t)==(8t-3t2).

②當(dāng)≤3,且2t≤3即≤t≤時(shí),f(t)=?2t?=4.

③當(dāng)2t>3,即t>時(shí),此時(shí)<3,f(t)==(4t-3).

故f(t)=8分

當(dāng)1≤t<時(shí),f′(t)=(4-3t)>0,f(t)為增函數(shù);當(dāng)<t≤2時(shí),f′(t)=<0,f(t)為減函數(shù),且f(t)在[1,2]上連續(xù),所以f(t)max=4.12分

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21.解:(1)設(shè)∠MAB=θ,M(x,y),則∠MBA=2θ,tan θ=,tan 2θ=,tan 2θ=⇒x2-=1(x<-1).4分

(2)設(shè)CD:y=-3x+m,

⇒6x2-6mx+m2+3=0.

由于此方程在(-∞,-1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根,易求得m<-.

設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),并設(shè)點(diǎn)C在直線l的上方,則

y1=-3x1+m,y2=-3x2+m.

假設(shè)A,B,C,D四點(diǎn)共圓,由于∠CBA=2∠CAB,∠DBA=2∠DAB,

故∠CBD=2∠CAD,由此∠CAD=60°.

tan 60°==.

⇒=

⇒=

⇒=-⇒(x1-x2)2=(m+6)2

⇒m=-<-.

∴x1+x2=m=-,y1+y2=-3(x1+x2)+2m=,從而CD中點(diǎn)為(-,),代入直線l的方程得=-×+b⇒b=.

故存在b=滿足題設(shè)條件.12分

22.解:(1)令n=1得a1=5.

由4Sn=3an+8n2-3

得4Sn1=3an1+8(n-1)2-3

兩式相減得an=-3an1+16n-8.

設(shè)此式可寫(xiě)成an-pn-q=-3[an1-p(n-1)-q],可解得p=4,q=1,

于是an-4n-1=(-3)n1(a1-4×1-1),而a1=5,故有an=4n+1.6分

(注:也可以采取先猜,后用數(shù)學(xué)歸納法證的辦法得出通項(xiàng))

(2)由bn=(4n-1)(4n+1)(4n+3)有

==(-)

=(-)

<(-).

++…+<[(-)+(-)+…+(-)]

=[-]<=.14分

 

 

 


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