2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）

數(shù)  學(xué)（理 科）  2009.3

本試卷共4頁(yè)，21小題， 滿分150分。 考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1．答卷前，考生務(wù)必用2B鉛筆在“考生號(hào)”處填涂考生號(hào)，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的市、縣/區(qū)、學(xué)校，以及自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。

3. 非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。

4．作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效。

5．考生必須保持答題卡的整潔�？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

 

參考公式：

錐體的體積公式, 其中是錐體的底面積, 是錐體的高.

 

如果事件、互斥，那么.

 

如果事件、相互獨(dú)立，那么.

 

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.                                               

1．函數(shù)的最小正周期為  

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   A．                        B.                        C.                    D.

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2．已知i（1i）（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

    A．第一象限         B．第二象限              C．第三象限       D．第四象限

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3．某商場(chǎng)在國(guó)慶黃金周的促銷活動(dòng)中，對(duì)10月2號(hào)9時(shí)至14時(shí)

的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖1所示．已知9時(shí)

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至10時(shí)的銷售額為2.5萬(wàn)元，則11時(shí)至12時(shí)的銷售額為

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  A. 萬(wàn)元                   B. 萬(wàn)元       

 

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 C. 萬(wàn)元                  D.萬(wàn)元

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4．已知過、兩點(diǎn)的直線與直線平行，

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則的值為

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A.                       B.   

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 C.                          D.                                                

 

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若輸出的的值等于,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫的條件是                      

 

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A．?                     B. ?                                

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 C. ?                     D. ?                                         

 

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6．已知：關(guān)于的不等式的解集是R，

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：，則是的

  A．充分非必要條件              B．必要非充分條件

C．充分必要條件                D．既非充分又非必要條件

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7．在中，若，則自然數(shù)的值是

A．7             B．8         C．9         D．10

 

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8．在區(qū)間上任意取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上有且僅

一個(gè)零點(diǎn)的概率為

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A．           B．        C．        D．

 

 

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二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.

（一）必做題（9～12題）

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9.  若，則               .

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10．若d=1, 則實(shí)數(shù)的值是                .               

 

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11.一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸（單位：cm）如圖3所示，

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則該幾何體的側(cè)面積為            cm.

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12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意N都有，

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且（ N），則的值為       ，的值為       . 

（二）選做題（13～15題，考生只能從中選做兩題）                          

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13．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為__               .

 

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14.（幾何證明選講選做題）已知是圓（為圓心）的切線，切點(diǎn)為，交圓于

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兩點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)為                .

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 15．（不等式選講選做題）已知R，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________．

 

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三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說(shuō)明、證明過程和演算步驟.

16.（本小題滿分12分）

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 已知△的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且.

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（1）若, 求的值;

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(2) 若△的面積 求的值.

   

 

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17.（本小題滿分14分）

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 甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊游戲，兩人約定，其中任何一人每射擊一次，擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分. 若甲、乙兩名同學(xué)射擊的命中率分別為和, 且甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為2的概率為.假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響.

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（1）求的值；

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（2）記甲、乙兩人各射擊一次所得分?jǐn)?shù)之和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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18. （本小題滿分14分）

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如圖4, 在三棱錐中，平面，,

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分別是棱的中點(diǎn)，連接.          

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(1)    求證: 平面平面;

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(2) 若, 當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),

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求二面角的平面角的余弦值.

 

                                                                       圖4

 

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19．(本小題滿分12分)

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某車間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每件產(chǎn)品由3個(gè)型零件和1個(gè)型零件配套組成.每個(gè)工人每小時(shí)能加工5個(gè)型零件或者3個(gè)型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時(shí)工作(分組后人數(shù)不再進(jìn)行調(diào)整)，每組加工同一種型號(hào)的零件.設(shè)加工型零件的工人人數(shù)為名（N）.

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（1）設(shè)完成型零件加工所需時(shí)間為小時(shí)，寫出的解析式；

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（2）為了在最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，應(yīng)取何值？

 

 

 

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20．（本小題滿分14分）

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已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切.

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（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程；

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（2）設(shè)直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點(diǎn)，D，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

 

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21. (本小題滿分14分)

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已知數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程N的兩根,且

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.

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(1) 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;

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(2) 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和, 問是否存在常數(shù),使得對(duì)任意N都成立,若存在, 求出的取值范圍; 若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

 

 

2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）

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說(shuō)明：1．參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．

      2．對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．

4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．

 

一、選擇題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．共8小題，每小題5分，滿分40分．

 

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

C

D

A

C

B

D

 

二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15是選做題,考生只能選做兩題. 第12題第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分．

9．         10．    11．       12．-1；4     13．

14．1         15.   

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說(shuō)明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力）

解: (1)∵, 且,

     ∴ .                                      

     由正弦定理得.                                       

     ∴.                                     

   (2)∵                                        

     ∴.

     ∴ .                                                       

    由余弦定理得,

∴.     

 

17．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查概率、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力）

解：（1）記“甲射擊一次,擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊一次,擊中目標(biāo)”為事件，“甲射擊一次,

未擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊一次,未擊中目標(biāo)”為事件，

則，.                        

依題意得，                                

        解得.

        故的值為.                                                    

（2）的取值分別為.                                            

，                      

，

，                     

的分布列為

0

2

4

 

                                                                    

                                    

 

18．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查空間中線面的位置關(guān)系、空間的角、幾何體體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

 (1) 證明: ∵分別是棱的中點(diǎn)，

         ∴是△的中位線.

         ∴.                              

         ∵平面平面

         ∴平面.                                             

         同理可證 平面.       

∵平面,平面,

∴平面// 平面.                                      

               

(2) 求三棱錐的體積的最大值, 給出如下兩種解法:

解法1: 由已知平面, ,

    ∴.

    ∴三棱錐的體積為

                                                   

                               

                              

                               .                                 

     當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，取得最大值,其值為, 此時(shí).          

 

     

解法2：設(shè)，在Rt△中，.

     

      ∴三棱錐的體積為

                                

                                                         

                                

                                 .   

       ∵,          

     ∴ 當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，其值為，此時(shí).

    求二面角的平面角的余弦值, 給出如下兩種解法:

 解法1:作,垂足為, 連接.

      ∵ 平面，平面平面,

      ∴ 平面.

      ∵ 平面,     

∴ .

      ∵ ,     

∴ 平面.

∵平面,

      ∴.

     ∴ 是二面角的平面角.                              

     在Rt△中,,

     ∴.

在Rt△中,,

.

∴二面角的平面角的余弦值為.                     

解法2:分別以所在直線為軸, 軸, 軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,

     則.

     ∴.  

   設(shè)n為平面的法向量,

 

∴

即

令, 則.

∴為平面的一個(gè)法向量.                           

∵平面的一個(gè)法向量為,

∴.             

∴二面角的平面角的余弦值為.                        

19．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查函數(shù)最值、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)）

解：（1）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工型零件450個(gè)，

則完成型零件加工所需時(shí)間N，且.   

     （2）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工型零件150個(gè)，

 則完成型零件加工所需時(shí)間N，且.

設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間為小時(shí)，則為與的較大者.

令，即，

解得.                                                       

所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

故.                             

當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，

則在上的最小值為（小時(shí)）；                  

 當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，

則在上的最小值為（小時(shí)）；            

，

在上的最小值為.

.

答：為了在最短時(shí)間內(nèi)完成生產(chǎn)任務(wù)，應(yīng)取.                        

 

20．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查圓、橢圓、直線等基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)探究，考查數(shù)形結(jié)合、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)）

解：（1）圓， 圓心的坐標(biāo)為，半徑.

∵，

∴點(diǎn)在圓內(nèi).                                                   

設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，

即.                                               

∴圓心的軌跡是中心在原點(diǎn)，以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓,設(shè)其方程為

,  則.

∴.

∴所求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為.                          

 

 (2)由 消去化簡(jiǎn)整理得：.

設(shè)，，則.

 

△.  ①                              

由 消去化簡(jiǎn)整理得：.

設(shè)，則,

 

△.  ②                          

∵，

∴，即，

 

∴.

∴或.

解得或.                                                                     

當(dāng)時(shí),由①、②得  ，

∵Z,

∴的值為 ，，;

當(dāng)，由①、②得  ，

∵Z,

∴.

∴滿足條件的直線共有9條．                                            

21．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列前項(xiàng)和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和抽象概括能力）

解: (1) ∵是關(guān)于的方程N的兩根,

      ∴                                                  

     求數(shù)列的通項(xiàng)公式, 給出如下四種解法:                

解法1: 由,得,                  

     故數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.

∴, 即.                     

解法2: 由,兩邊同除以, 得,

     令, 則.

故

    

    

    

     .

且也適合上式,

∴, 即.                     

解法3：  由，得，

       兩式相減得.

       當(dāng)為正奇數(shù)時(shí),

                        

                      

                       .

       且也適合上式.

       當(dāng)為正偶數(shù)時(shí),

                        

                        

                         .

       且也適合上式.

       ∴ 當(dāng)N時(shí)，.                                   

解法4：由，，得，

.

     猜想.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.

①     當(dāng)時(shí),易知猜想成立;

② 假設(shè)當(dāng)N)時(shí),猜想成立,即,

   由,得,

  故當(dāng)時(shí),猜想也成立.

由①、②得，對(duì)任意N，.                

   

∴


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