1.已知y=sin2x+sinx+3,那么y′是（   ）

A.僅有最小值的奇函數(shù)

B.既有最大值又有最小值的偶函數(shù)

C.僅有最大值的偶函數(shù)

D.非奇非偶函數(shù)

分析 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì).

解 y′=(sin2x)′+(sinx)′=(cos2x)(2x)′+cosx=cos2x+cosx.

不妨設(shè)f(x)=cos2x+cosx，

∵f(-x)=cos(-2x)+cos(-x)=cos2x+cosx=f(x),∴y′為偶函數(shù).

又由于y′=2cos²x-1+cosx=2cos²x+cosx-1,

令t=cosx(-1≤t≤1),

∴y′=2t²+t-1=2(t+)²-.

∴y′_max=2,y′_min=-.故選B.

答案 B

2.函數(shù)y=ax³-x在（-∞,+∞)上是減函數(shù)，則（  ）

A.a=         B.a=1          C.a=2          D.a<0

分析 本題考查常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.可以采用解選擇題的常用方法――驗證法.

解 由y′=3ax²-1,當(dāng)a=時，y′=x²-1,如果x>1,則y′>0與條件不符.同樣可判斷a=1,a=2時也不符合題意.當(dāng)a<0時，y′=3ax²-1恒小于0，則原函數(shù)在（-∞,+∞)上是減函數(shù).故選D

答案 D

3.已知f(x)=x³的切線的斜率等于1,則這樣的切線有(   )

A.1條                      B.2條

C.多于2條                 D.不能確定

分析 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.切線的條數(shù)是由切點的個數(shù)確定的.

解 f′(x)=3x²,由f′(x)=3x²=1,

得x=±.

所以符合條件的切線有2條.

答案 B

4.已知曲線y₁=x²,y₂=x³,y₃=2sinx,這三條曲線與x=1的交點分別為A、B、C,又設(shè)k₁、k₂、k₃分別為經(jīng)過A、B、C且分別與這三條曲線相切的直線的斜率,則(    )

A.k₁<k₂<k₃                    B.k₃<k₂<k₁

C.k₁<k₃<k₂                    D.k₃<k₁<k₂

分析 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的運算法則.

解 ∵y₁′=2x,y₂′=3x²,y₃′=2cosx,

∴y₁′|_x=1=2,y₂′|_x=1=3,y₃′|_x=1=2cos1.

∴k₃<k₁<k₂.

答案 D

5.★曲線y=x²+1在點(1,2)處的切線與x軸、直線x=3所圍成的三角形的面積為(    )

A.13           B.14           C.9           D.10

分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識及三角形的面積公式.

解 ∵y=x²+1,∴y′=2x.

∴y′|_x=1=2,切線的方程為y-2=2(x-1),與x軸的交點(0,0)所圍成的三角形的面積S=(3-0)×6=9.

答案 C

6.★設(shè)f₀(x)=cosx,f₁(x)=f₀′(x),f₂(x)=f₁′(x),…,f_n+1(x)=fn′(x),n∈N,則f₂₀₀₆(x)等于(    )

A.sinx         B.cosx         C.-sinx         D.-cosx

分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的運算及函數(shù)的周期性.

解 f₁(x)=(cosx)′=-sinx,

f₂(x)=(-sinx)′=-cosx,

f₃(x)=(-cosx)′=sinx,

f₄(x)=(sinx)′=cosx,

f₄(x)=f₀(x),f₅(x)=f₁(x),…,

f_n+4(x)=f(x),可知該函數(shù)的周期為4.

∴f₂₀₀₆(x)=f₂(x)=-cosx.

答案 D

7.★已知函數(shù)f(x)=x³+mx²+(m+6)x+1既存在極大值又存在極小值,則實數(shù)m的取值范圍是(  )

A.(-1,2)             B.(-∞,-3)∪(6,+∞)

C.(-3,6)             D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

分析 本題考查導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系.

解 f′(x)=3x²+2mx+(m+6).

∵函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值,

∴函數(shù)f′(x)=3x²+2mx+(m+6)的圖象與x軸相交,即4m²-4×3×(m+6)>0.

解得m<-3或m>6.

∴實數(shù)m的取值范圍是(-∞,-3)∪(6,+∞).

答案 B

8.若函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且f(x)>0,f′(x)>0,那么函數(shù)y=xf(x)(    )

A.存在極大值                   B.存在極小值

C.是增函數(shù)                     D.是減函數(shù)

分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

解 ∵y=xf(x),∴y′=(x)′f(x)+xf′(x)=f(x)+xf′(x).又∵x>0,f(x)>0,f′(x)>0,

∴y′=f(x)+xf′(x)>0,

即函數(shù)y=xf(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

答案 C

9.點P是曲線y=x²-lnx上任意一點,則點P到直線y=x-2的最小距離為(    )

A.1       B.       C.          D.3

分析 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點到直線的距離公式.

解 ∵y=x²-lnx,

∴y′=2x-.

令2x-=1,得x=1或x=-(舍去).

當(dāng)x=1時,y=x²-lnx=1.

此時點P(1,1)是到直線x-y-2=0距離最小的點.

∴d=

答案 B

10.已知拋物線y²=2px(p>0)與一個定點M(p,p),則拋物線上與M點的距離最小的點為（   ）

A.(0,0)                        B.(,p)

C.(,p)                 D.(,p)

分析 本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.首先建立關(guān)于距離的目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式,然后合理地選取變量,通過求導(dǎo)數(shù)的方法求與最值有關(guān)的問題.本題也可以用解析幾何中數(shù)形結(jié)合法求解.

解 設(shè)拋物線上的任意點(x,y)到點M的距離為d,

則有d²=(p-x)²+(p-y)²=(p-)²+(p-y)².所以(d²)′=2(p-)(-)+2(p-y)(-1)=-2p.

令(d²)′_y=0,即-2p=0,解得y=.這是函數(shù)在定義域內(nèi)的唯一極值點,所以必是最值點.

代入拋物線方程得x===.

所以點(,p)為所求的點.

答案 D

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

11.★曲線y=x³+3x²+6x-10的切線中,斜率最小的切線方程是         .

分析 本題考查常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

解 ∵y=x³+3x²+6x-10,

∴y′=3x²+6x+6=3(x+1)²+3.

∴(y′)_min=3.

此時,x=-1,y=(-1)³+3×(-1)²+6×(-1)-10=-14.

∴斜率最小的切線方程是y+14=3(x+1),

即3x-y-11=0.

答案 3x-y-11=0

12.函數(shù)y=sin2x的單調(diào)遞減區(qū)間是         .

分析 本題考查導(dǎo)數(shù)在三角問題上的應(yīng)用?

解法一 y′=2sinxcosx=sin2x.

令y′<0,即sin2x<0，

∴2kπ-π<2x<2kπ,k∈Z.

∴kπ-<x<kπ,k∈Z.

∴函數(shù)y=sin²x的單調(diào)遞減區(qū)間是(kπ-,kπ),k∈Z.

解法二 y=sin²x=-cos2x+,函數(shù)的減區(qū)間即cos2x的增區(qū)間，由2kπ-π<2x<2kπ,k∈Z,得kπ-<x<kπ,k∈Z.

∴函數(shù)y=sin²x的單調(diào)遞減區(qū)間是（kπ-,kπ),k∈Z.

答案 (kπ-,kπ),k∈Z

13.點P在曲線y=x³-x+上移動,設(shè)過點P的切線的傾斜角為α,則α的取值范圍是        .

分析 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,以及直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系.

解 ∵y′=3x²-1,即tanα=3x²-1,

∴tanα∈［-1,+∞).

∴α∈［0,)∪［,π).

答案 α∈［0,)∪［,π)

14.★若函數(shù)f(x)=log_a(x³-ax)(0<a<1)在區(qū)間(-,0)內(nèi)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是        .

分析 本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及單調(diào)性.

解 令u=x³-ax,u′=3x²-a.

∵0<a<1,若f(x)在(-,0)內(nèi)單調(diào)遞增,必須u′<0,即3x²-a<0在(-,0)內(nèi)恒成立,a>3x²,∴a≥.綜上, ≤a<1.

答案 ≤a<1

15.(本小題滿分8分)氡氣是一種由地表自然散發(fā)的無味的放射性氣體.如果最初有500克氡氣,那么t天后,氡氣的剩余量為A(t)=500×0.834^t.

(1)氡氣的散發(fā)速度是多少?

(2)A′(7)的值是什么(精確到0.1)?它表示什么意義?

分析 本題考查常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

解 (1)氡氣的散發(fā)速度就是剩留量函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

∵A(t)=500×0.834^t,

∴A′(t)=500×0.834^tln 0.834.        4分

(2)A′(7)=500×0.834⁷ln 0.834≈-25.5.

它表示在第7天附近,氡氣大約以25.5克/天的速度自然散發(fā).  8分

16.(本小題滿分8分)某工廠需要建一個面積為512 m²的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，問堆料場的長和寬各為多少時，才能使砌墻所用的材料最省？

分析 本題考查如何求函數(shù)的最值問題，其關(guān)鍵是建立目標(biāo)函數(shù).

解 要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長度最短.如右圖所示，設(shè)場地一邊長為x m，則另一邊長為 m，因此新墻總長度L=2x+(x>0),           2分

L′=2-.

令L′=2-=0,得x=16或x=-16.       4分

∵x>0,∴x=16.                          5分

∵L在(0,+∞)上只有一個極值點,

∴它必是最小值點.

∵x=16,∴=32.                    7分

故當(dāng)堆料場的寬為16 m，長為32 m時，可使砌墻所用的材料最省.?8分

[注] 本題也可利用均值不等式求解.

17.★(本小題滿分8分)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(t)與每噸產(chǎn)品的價格p(元/t)之間的關(guān)系式為p=24 200-,且生產(chǎn)x t的成本為R=50 000+200x(元).問該產(chǎn)品每月生產(chǎn)多少噸才能使利潤達到最大?最大利潤是多少?(利潤=收入-成本)

分析 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.根據(jù)題意,列出函數(shù)關(guān)系式,求導(dǎo)求解.

解 每月生產(chǎn)x噸時的利潤為f(x)=(24 200-)x-(50 000+200x)=-+24 000x-50 000(x≥0).                               4分

由f′(x)=-x²+24 000=0,

解得x₁=200,x₂=-200(舍去).          6分

∵f(x)在［0,+∞)內(nèi)只有一個點x₁=200使f′(x)=0,

∴它就是最大值點,f(x)的最大值為f(200)=3 150 000(元).

∴每月生產(chǎn)200 t才能使利潤達到最大,最大利潤是315萬元.    8分

18.(本小題滿分10分)已知曲線C₁：y=x²與C₂:y=-(x-2)²,若直線l與C₁、C₂都相切,求l的方程.

分析 本題主要考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.要求具有某種性質(zhì)的切線,只需求出對應(yīng)的x₀即可,一般要求出x₀所需滿足的方程或方程組,解之即可.

解 設(shè)直線l與C₁相切于點(x₁,x₁²),

∵y=x²,∴y′=2x.

∴=2x₁.     2分

∴l(xiāng)：y-x₁²=2x1(x-x₁),即y=2x₁x-x₁².       3分

設(shè)直線l與C₂相切于點(x₂,-(x₂-2)²),

∵y=-(x-2)²,

∴y′=-2(x-2).

∴=-2(x₂-2).                   5分

∴l(xiāng)：y+(x₂-2)²=-2(x₂-2)(x-x₂),

即y=-2(x₂-2)x+x₂²-4.                  6分

比較l的兩個方程,應(yīng)有

將x₁=2-x₂代入第二個方程,得-(2-x₂)²=x₂²-4,

解得x₂=0或x₂=2,于是x₁=2或x₁=0.    8分

當(dāng)x₁=2,x₂=0時,直線l經(jīng)過兩點(2,4)、(0,-4),

∴直線l的方程為y=4x-4;

當(dāng)x₁=0,x₂=2時,直線l經(jīng)過(0,0)、(2,0)兩點.

∴直線l的方程為y=0.               10分

19.(本小題滿分10分)已知A、B兩地的距離是130 km.按交通法規(guī)規(guī)定,A、B兩地之間的公路車速應(yīng)限制在50~100 km/h.假設(shè)汽油的價格是4元/升,以x km/h速度行駛時,汽車的耗油率為(3+) L/h,司機每小時的工資是14元.那么最經(jīng)濟的車速是多少?如果不考慮其他費用,這次行車的總費用在什么范圍內(nèi)?

分析 本題考查常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及利用導(dǎo)數(shù)知識解決實際問題的能力.

解 設(shè)這次行車的車速應(yīng)為x km/h,總費用為y元,則y由一路的耗油費及司機的工資兩部分組成.

y=      4分

y′,令y′=0,得x=        6分

由于x>時,y′>0,所以函數(shù)y=在x∈［50,100］上是增函數(shù).故最經(jīng)濟的車速是50 km/h.                               8分

y_max=

y_min=

即這次行車的總費用在139.8~178.2元之間.      10分