黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2009屆高三第一次模擬考試
數(shù)學(xué)文科試卷
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ 卷(非選擇題)兩部分,滿分150分,考試用時(shí)120分鐘;
第Ⅰ卷(選擇題 滿分60分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的).
1.已知集合,則為 ( )
A. B. C. D.
2.函數(shù)的遞減區(qū)間為 ( )
A. B. C. D.
3.函數(shù)的圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離是 ( )
A、 B、 C、 D、
4.已知向量,(1, ),則的最小值是 ( )
A.1 B. C. D.2
5.已知數(shù)列為等差數(shù)列,且,則 ( )
A. B. C. D.
6.下面給出四個(gè)命題:
① 直線與平面內(nèi)兩直線都垂直,則;
② 經(jīng)過直線有且僅有一個(gè)平面垂直于直線;
③ 過平面外兩點(diǎn),有且只有一個(gè)平面與垂直;
④ 直線同時(shí)垂直于平面、,則∥;其中正確的命題個(gè)數(shù)為 ( )
A、0 B、
7.一次文藝演出中,需要給舞臺上方安裝一排完全相同的彩燈共15只,以不同的點(diǎn)亮方式增加舞臺
效果,設(shè)計(jì)者按照每次點(diǎn)亮?xí)r,恰好有6只是關(guān)的,且相鄰的燈不能同時(shí)被關(guān)掉,兩端的燈必須點(diǎn)
亮的要求進(jìn)行設(shè)計(jì),那么不同點(diǎn)亮方式的種數(shù)是 ( )
A.28 B.
8.直線與圓的位置關(guān)系是 ( )
A.相交 B.相離 C.相切 D.與、的取值有關(guān)
9.已知x,y滿足,的最大值為,最小值為,
則a的范圍為 ( )
A B C D
10.函數(shù)是偶函數(shù),則曲線處的切線方程
是 ( )
A. B. C. D.
11.橢圓的中心、右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)、右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)依次
為,則的最大值為 ( )
A. B. C. D.不能確定
12.如圖,已知平面平面,、是平面與平面的交線上的兩個(gè)定點(diǎn),
,且,,,,,在平面內(nèi)有一個(gè)動點(diǎn)
,使得,則的面積的最大值是 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 (非選擇題 滿分90分)
把答案填寫在答題紙相應(yīng)位置上.
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 ;
14.在四面體ABCD中,三組對棱棱長分別相等且依次為
、、5,則此四面體ABCD的外接球的半徑R為 ;
15.已知分別為雙曲線的左右焦點(diǎn),為雙曲線左支上的
一點(diǎn),若,則雙曲線的離心率的取值范圍是 ;
16.對于函數(shù), 給出下列命題:
① 存在, 使;
② 存在, 使恒成立;
③ 存在, 使函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;
④ 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;
⑤ 若, 則;
其中正確命題的序號是 ;
三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.(本題滿分10分)
在中,角的對邊分別為,,
,且;
(1)求角的大小;
(2)當(dāng)取最大值時(shí),求角的大;
18. (本題滿分12分)
在教室內(nèi)有10名學(xué)生,分別佩帶著從1號到10號的;,任意選3人記錄其;盏奶柎a;
(1)求最小號碼為5的概率;
(2)求3個(gè)號碼中至多有一個(gè)偶數(shù)的概率;
(3)求3個(gè)號碼之和不超過9的概率;
19. (本小題滿分12分)
如圖:直平行六面體,底面ABCD是邊長為
(1)求證:平面⊥平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求點(diǎn)到平面的距離;
20. (本題滿分12分)
設(shè)函數(shù),,當(dāng)時(shí),取得極值;
(1) 求的值,并判斷是函數(shù)的極大值還是極小值;
(2) 當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),求的取值范圍;
21. (本題滿分12分)
已知數(shù)列中,,且;
(1)求證:;
(2)設(shè),是數(shù)列的前項(xiàng)和,求的解析式;
(3)求證:不等式對于恒成立;((3)問只理科生做,文科生不做)
22.(本題滿分12分)
在△ABC中,,B是橢圓的上頂點(diǎn),l是雙曲線位于x軸下方的準(zhǔn)線,當(dāng)AC在直線l上運(yùn)動時(shí).
(1)求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程;
(2)過定點(diǎn)F(0,)作互相垂直的直線l1、l2,分別交軌跡E于M、N和R、Q;
求四邊形MRNQ的面積的最小值;
哈爾濱市第六中學(xué)2009屆高三第一次模擬考試
文科數(shù)學(xué)試卷答案
三、解答題:
17.(本題滿分10分)
在中,角的對邊分別為,,
,且;
⑴求角的大;
⑵當(dāng)取最大值時(shí),求角的大;
解:⑴由,得,從而
由正弦定理得
,, (4分)
⑵
由得,時(shí),
即時(shí),取最大值 (10分)
18. (本題滿分12分)
在教室內(nèi)有10名學(xué)生,分別佩帶著從1號到10號的校徽,任意選3人記錄其;盏奶柎a;
(1)求最小號碼為5的概率;
(2)求3個(gè)號碼中至多有一個(gè)偶數(shù)的概率;
(3)求3個(gè)號碼之和不超過9的概率.
(1) 解:從10人中任取3人,共有等可能結(jié)果種,最小號碼為5,相當(dāng)于從6,7,8,9,10共5個(gè)中任取2個(gè),則共有種結(jié)果,則最小號碼為5的概率為: 4分
(2) 解:選出3個(gè)號碼中至多有1個(gè)偶數(shù)包括沒有偶數(shù)和1個(gè)偶數(shù)兩種情況,
取法共有種,所以滿足條件的概率為:. 8分
(3) 解:三個(gè)號碼之和不超過9的可能結(jié)果為(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),
(2,3,4),(1,3,4),(1,3,5),則所求概率為:. 12分
19.(本大題滿分12分)
如圖:直平行六面體,底面ABCD是邊長為
(1)求證:平面⊥平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求點(diǎn)到平面的距離;
(I)證明:連結(jié)BD,在菱形ABCD中:∠BAD=60°
∴△ABD為正三角形 ∵E為AB中點(diǎn),∴ED⊥AB
在直六面體中:平面⊥平面ABCD且交于AB
∵面ABCD ∴ED⊥面 ∴平面⊥平面………3分
(II)解:(解法一)由(I)知:ED⊥面 ∵面,∴
直平行六面體中:⊥面ABCD 由三垂線定理的逆定理知:AE⊥ED
∴∠A1EA為二面角的平面角 ∴
取中點(diǎn)F,連EF、,則:
在直平行六面體中:
∴E、F、C1、D四點(diǎn)共面 ∵ED⊥面ABB
∴∠A1EF為二面角的平面角………………5分
在中:
在中:
在中:………………7分
∴在中,
∴二面角的余弦值為………………8分
(解法二)由已知得:二面角為
可證得:∠C1DC為二面角的平面角 求得:
故二面角的大小為
所以,二面角的余弦值為 ………………8分
(III)過F作FG⊥A1E交于G點(diǎn)
∵平面A1ED⊥平面ABB
∴FG⊥面,即:FG是點(diǎn)F到平面A1ED的距離;
在中:
;
且E、D面 ∴C1到平面的距離為:……12分
20. (本大題滿分12分)
設(shè)函數(shù),,當(dāng)時(shí),取得極值。
(1)求的值,并判斷是函數(shù)的極大值還是極小值;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),求的取值范圍;
解:(1)由題意 當(dāng)時(shí),取得極值,
即
此時(shí)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
是函數(shù)的極小值; 4分
(2)設(shè),則 ,
設(shè),
,令解得或, 列表如下:
4
__
0
+
函數(shù)在和上是增函數(shù),在上是減函數(shù);
當(dāng)時(shí),有極大值;當(dāng)時(shí),有極小值;
函數(shù)與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),函數(shù)與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)
或 12分
21. (本題滿分12分)
已知數(shù)列中,,且
(1)求證:;
(2)設(shè),是數(shù)列的前項(xiàng)和,求的解析式;
(3)求證:不等式對于恒成立。
(1),
又因?yàn)?sub>,則,即,又,,…………………………………….4分
(2), …….6分
因?yàn)?sub>,所以當(dāng)時(shí),….8分
當(dāng)時(shí),,①
,②
①-②:,
.綜上所述, ……………12分
22.(本題滿分12分)
在△ABC中,,B是橢圓的上頂點(diǎn),l是雙曲線位于x軸下方的準(zhǔn)線,當(dāng)AC在直線l上運(yùn)動時(shí).
(1) 求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程;
(2) 過定點(diǎn)F(0,)作互相垂直的直線l1、l2,分別交軌跡E于M、N和R、Q.
求四邊形MRNQ的面積的最小值.
(1)解:(解法一)由橢圓方程及雙曲線方程可得點(diǎn)B(0,2),
直線l的方程是. ,且AC在直線l上運(yùn)動.
可設(shè),
則AC的垂直平分線方程為 ①
AB的垂直平分線方程為 ②
∵P是△ABC的外接圓圓心,點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足方程①和②.
由①和②聯(lián)立消去m得:,即.
故圓心P的軌跡E的方程為 6分
(解法二)利用直線被圓截得的弦長公式(勾股定理)求軌跡方程也可;
(2)解:如圖,直線l1和l2的斜率存在且不為零,設(shè)l1的方程為
∵l1⊥l2,∴l(xiāng)2的方程為由得
,∴直線l1與軌跡E交于兩點(diǎn).
設(shè)M(x1,y1), N(x2,y2),則
∴
同理可得:
9分
∴四邊形MRNQ的面積
≥
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號成立.故四邊形MRNQ的面積的最小值為72.12分
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