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                       2009年中考語文全真模擬試題

試題詳情

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2009中考語文模擬試卷

（滿分１５０分，１２０分鐘完卷）

班級　　　姓名　　　得分　　　　

題號

一

二

三

四

總分

評卷人

（一）

（二）

（一）

（二）

試題詳情

倉中學(xué)、南洋中學(xué)高三第一次聯(lián)考

    2009屆高三月考物理試卷  2008.09

試題詳情

通州市2009屆高三第一次調(diào)研測試

物 理 試 卷

（滿分120分，時間100分鐘）

試題詳情

2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測

專題六  導(dǎo)  數(shù)

1.       設(shè)函數(shù)，（1）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；（2）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．

解析：（1），依題意有，故．

從而．

的定義域為，當時，；

當時，；當時，．

從而，分別在區(qū)間單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少．

（2）的定義域為，．

方程的判別式．

①若，即，在的定義域內(nèi)，故的極值．

②若，則或．若，，．

當時，，當時，，所以無極值．若，，，也無極值．

③若，即或，則有兩個不同的實根，．

當時，，從而有的定義域內(nèi)沒有零點，故無極值．

當時，，，在的定義域內(nèi)有兩個不同的零點，由根值判別方法知在取得極值．

綜上，存在極值時，的取值范圍為．的極值之和為

．

答案： （1）；（2）見詳解。

點評：本題主要考查對極值概念的理解以及對函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合運用。

2.       已知函數(shù)處取得極值2。

   （Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

   （Ⅱ）當m滿足什么條件時，在區(qū)間為增函數(shù)；

   （Ⅲ）若圖象上任意一點，直線的圖象切于P點，求直線L的斜率的取值范圍。

解：（Ⅰ）

由已知

   （Ⅱ）

又在

）

   （Ⅲ）直線I在P點的切線斜率

令

當

）

3.       設(shè)是的兩個極值點，的導(dǎo)函數(shù)是

（Ⅰ）如果 ，求證：  ；

（Ⅱ）如果 ，求的取值范圍 ；

（Ⅲ）如果 ，且時，函數(shù)的最小值為 ，求的最大值。

（I）證明：  是方程的兩個根   1分

由且得         2分

得                                         

                            3分

（Ⅱ）解：由第（1）問知 由 ，兩式相除得

 即        4分

①當時，由  即

 ，                  5分

令函數(shù)，則

在上是增函數(shù)

當時， ，即  7分

②當時，  即

令函數(shù)則同理可證在上是增函數(shù)

當時，           

綜①②所述，的取值范圍是           

（Ⅲ）解：的兩個根是 ，可設(shè)

          10分

           又

             g(x)

          當且僅當 ，即 時取等號

          當時，

         在上是減函數(shù)

試題詳情

蘇北四市2009屆高三第一次調(diào)研考試

物 理 試 題

本卷?分120分，考試時間100分鐘．請將答案填寫在答題卡上，直接寫在試卷上不得分．

試題詳情

南通中學(xué)2008-2009年度第二次調(diào)研測試

物理試卷

第一卷(選擇題共31分)

試題詳情

2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測

專題1  函數(shù)

考點一：函數(shù)的性質(zhì)與圖象

1.       已知，函數(shù)。設(shè)，記曲線在點處的切線為。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m  

(Ⅰ)求的方程；

(Ⅱ)設(shè)與軸交點為。證明：

① ；

② 若，則

(Ⅰ)分析：欲求切線的方程，則須求出它的斜率，根據(jù)切線斜率的幾何意義便不難發(fā)現(xiàn)，問題歸結(jié)為求曲線在點的一階導(dǎo)數(shù)值。

解：求的導(dǎo)數(shù)：，由此得切線的方程：

。

(Ⅱ)分析：①要求的變化范圍，則須找到使產(chǎn)生變化的原因，顯然，變化的根本原因可歸結(jié)為的變化，因此，找到與的等量關(guān)系式，就成；② 欲比較與的大小關(guān)系，判斷它們的差的符號即可。

證：依題意，切線方程中令y＝0，

.

①                   由

.

②

。

點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的方法，考查不等式的基本性質(zhì)，以及分析和解決問題的能力。

考點二：二次函數(shù)

2.       已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個實數(shù)根為和.

(1)如果，設(shè)函數(shù)的對稱軸為，求證：；

(2)如果，，求的取值范圍.

分析：條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉(zhuǎn)化.

解：設(shè)，則的二根為和.

(1)由及，可得  ，即，即

兩式相加得，所以，;

(2)由， 可得  .

又，所以同號.

∴ ，等價于或，

即   或

解之得  或.

點評：在處理一元二次方程根的問題時，考察該方程所對應(yīng)的二次函數(shù)圖像特征的充要條件是解決問題的關(guān)鍵。

考點三：抽象函數(shù)

3.       A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意，都有 ； ②存在常數(shù)，使得對任意的，都有

(Ⅰ)設(shè)，證明：

(Ⅱ)設(shè)，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的;

(Ⅲ)設(shè)，任取，令證明:給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，成立不等式

解：對任意，，，，所以

對任意的，

，

，

所以0＜，

令＝，，

所以

反證法:設(shè)存在兩個使得，則

由，得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。

，所以

＋…

點評：本題以高等數(shù)學(xué)知識為背景，與初等數(shù)學(xué)知識巧妙結(jié)合，考查了函數(shù)及其性質(zhì)、不等式性質(zhì)，考查了特殊與一般、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。

考點四：函數(shù)的綜合應(yīng)用

4.       設(shè)函數(shù)．

(Ⅰ)求的最小值；

(Ⅱ)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

解：(Ⅰ)，

當時，取最小值，

即．

(Ⅱ)令，

由得，(不合題意，舍去)．

當變化時，的變化情況如下表：

(0，1)

(1，2)

遞增

極大值

遞減

在內(nèi)有最大值．

在內(nèi)恒成立等價于在內(nèi)恒成立，

即等價于，

所以的取值范圍為．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題解決問題的能力．

5.       乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v(千米／時)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元.

 ① 把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米／時)的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域；

 ② 為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？    

分析：幾個變量(運輸成本、速度、固定部分)有相互的關(guān)聯(lián)，抽象出其中的函數(shù)關(guān)系，并求函數(shù)的最小值.

解：(讀題)由主要關(guān)系：運輸總成本＝每小時運輸成本×?xí)r間，

(建模)有y＝(a＋bv)

(解題)所以全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米／時)的函數(shù)關(guān)系式是：

y＝S(＋bv)，其中函數(shù)的定義域是v∈(0，c] .

整理函數(shù)有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，

由函數(shù)y＝x＋ (k＞0)的單調(diào)性而得：

當＜c時，則v＝時，y取最小值；

當≥c時，則v＝c時，y取最小值.

綜上所述，為使全程成本y最小，當＜c時，行駛速度應(yīng)為v＝；當≥c時，行駛速度應(yīng)為v＝c.

點評：1.對于實際應(yīng)用問題，可以通過建立目標函數(shù)，然后運用解(證)不等式的方法求出函數(shù)的最大值或最小值，其中要特別注意蘊涵的制約關(guān)系，如本題中速度v的范圍，一旦忽視，將出現(xiàn)解答不完整.此種應(yīng)用問題既屬于函數(shù)模型，也可屬于不等式模型.

6.       設(shè)函數(shù).

(1)在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖像；

(2)設(shè)集合. 試判斷集合和之間的關(guān)系，并給出證明；

(3)當時，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.

解：(1)

    (2)方程的解分別是和，由于在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，因此

.

    由于. 

  (3)[解法一] 當時，.

               ，

       . 又，

       ①  當，即時，取，

       .

       ，

       則. 

       ②  當，即時，取，    ＝.

    由 ①、②可知，當時，，.

    因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.

    [解法二] 當時，.

由 得，

    令 ，解得 或，

在區(qū)間上，當時，的圖像與函數(shù)的圖像只交于一點； 當時，的圖像與函數(shù)的圖像沒有交點.

如圖可知，由于直線過點，當時，直線是由直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方. 

7.       設(shè)f(x)＝3ax，f(0)＞0，f(1)＞0，求證：

(Ⅰ)a＞0且－2＜＜－1；

(Ⅱ)方程f(x)＝0在(0，1)內(nèi)有兩個實根.

(I)證明：因為，所以.

由條件，消去，得；

由條件，消去，得，.

故.

(II)拋物線的頂點坐標為，

在的兩邊乘以，得.

又因為而

所以方程在區(qū)間與內(nèi)分別有一實根。

故方程在內(nèi)有兩個實根.

8.       已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)。

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；

解：(Ⅰ)因為是奇函數(shù)，所以＝0，即

          又由f(1)＝ －f(－1)知

     (Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知，易知在上

為減函數(shù)。又因是奇函數(shù)，從而不等式：  

等價于，因為減函數(shù)，由上式推得：

．即對一切有：，

從而判別式

解法二：由(Ⅰ)知．又由題設(shè)條件得：　　　　　　　　　，

　　即�。�，

整理得　

上式對一切均成立，從而判別式

9.       設(shè)函數(shù)f(x)＝其中a為實數(shù).

(Ⅰ)若f(x)的定義域為R，求a的取值范圍;

(Ⅱ)當f(x)的定義域為R時，求f(x)的單減區(qū)間.

解：(Ⅰ)的定義域為，恒成立，，

，即當時的定義域為．

(Ⅱ)，令，得．

由，得或，又，

時，由得；

當時，；當時，由得，

即當時，的單調(diào)減區(qū)間為；

當時，的單調(diào)減區(qū)間為．

10.    已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．

(I)用表示，并求的最大值；

(II)求證：()．

解：(Ⅰ)設(shè)與在公共點處的切線相同．

，，由題意，．

即由得：，或(舍去)．

即有．

令，則．于是

當，即時，；

當，即時，．

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

于是在的最大值為．

(Ⅱ)設(shè)，

則．

故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

于是函數(shù)在上的最小值是．

故當時，有，即當時，．

試題詳情

  南京市第十三中學(xué)2008―2009學(xué)年度高三第二次三周考試物理試題

命題人：孟振洲    審核人：成小寅

友情提醒：本試卷?分120分，考試時間100分鐘．請將答案填寫在答題卡上，直接寫在試卷上不得分．

試題詳情

2009屆高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測

專題四  解析幾何

考點一  曲線（軌跡）方程的求法

1.       設(shè)上的兩點，

滿足，橢圓的離心率短軸長為2，0為坐標原點.

    （1）求橢圓的方程；

    （2）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；

    （3）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

 解析：本例（1）通過，，及之間的關(guān)系可得橢圓的方程；（2）從方程入手，通過直線方程與橢圓方程組成方程組并結(jié)合韋達定理；（3）要注意特殊與一般的關(guān)系，分直線的斜率存在與不存在討論。

 答案：（1）

橢圓的方程為 

   （2）設(shè)AB的方程為

由

由已知

    2

  （3）當A為頂點時，B必為頂點.S_△AOB=1    

當A，B不為頂點時，設(shè)AB的方程為y=kx+b

所以三角形的面積為定值.

  點評：本題考查了直線與橢圓的基本概念和性質(zhì)，二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、解析幾何的基本思想方法以及運用綜合知識解決問題的能力。

2.       在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點為 A（0，－1），B（0, 1）平面內(nèi)兩點G、M同時滿足① ,  ②= = ③∥    

（1）求頂點C的軌跡E的方程

（2）設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上 ，定點F的坐標為（, 0） ，已知∥ ,  ∥且?= 0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.

 解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表達點特征；（2）要把握好直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式，靈活的運算技巧是解決好本題的關(guān)鍵。

 答案：（1）設(shè)C ( x , y )， ,由①知,G為        

△ABC的重心 ，    G(,)   由②知M是△ABC的外心，M在x軸上

 由③知M（，0），

由  得

化簡整理得：（x≠0）。

 （2）F（，0 ）恰為的右焦點

  設(shè)PQ的斜率為k≠0且k≠±，則直線PQ的方程為y = k ( x －)

由

設(shè)P(x₁ , y₁) ，Q (x₂ ,y₂ )  則x₁ + x₂ =  ,    x₁?x₂ =        

則| PQ | = ?

       =  ?

       =  

  RN⊥PQ,把k換成得 | RN | =   

  S =| PQ | ? | RN |

      =  =) 

≥2 ， ≥16

≤ S  < 2 ， (當 k = ±1時取等號)

又當k不存在或k = 0時S = 2

綜上可得  ≤ S ≤ 2

 S_max = 2 ， S_min =   

  點評：本題考查了向量的有關(guān)知識，橢圓與直線的基本關(guān)系，二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及不等式，轉(zhuǎn)化的基本思想方法以及運用綜合知識解決問題的能力。

考點二  圓錐曲線的幾何性質(zhì)

3.       如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點  P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準線上一點，為坐標原點  已知四邊形為平行四邊形， 

（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；

（Ⅱ）當時，經(jīng)過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程 

分析:  圓錐曲線的幾何性質(zhì)結(jié)合其它圖形的考查是重點。注意靈活應(yīng)用第二定義。

解：∵四邊形是，∴，作雙曲線的右準線交PM于H，則，又， 

（Ⅱ）當時，，，，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，

又，由得：，解得，則，所以為所求

點評：本題靈活的運用到圓錐曲線的第二定義解題。

4.       設(shè)分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線 

（Ⅰ）、求橢圓的方程；

（Ⅱ）、設(shè)為右準線上不同于點（4，0）的任意一點， 若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明：點在以為直徑的圓內(nèi) 

分析：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力

解：（Ⅰ）依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝ 

故橢圓的方程為   

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0） 

設(shè)M（x₀，y₀） 

∵M點在橢圓上，∴y₀＝（4－x₀²）                 1

又點M異于頂點A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三點共線可以得

P（4，） 

從而＝（x₀－2，y₀），

＝（2，） 

∴?＝2x₀－4＋＝（x₀²－4＋3y₀²）        2

將1代入2，化簡得?＝（2－x₀） 

∵2－x₀>0，∴?>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，

故點B在以MN為直徑的圓內(nèi) 

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）  設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

則－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中點Q的坐標為（，），

依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差

－＝(－2）²＋（）²－[(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]

                 ＝（x₁－2) (x₂－2)＋y₁y₁                     3

又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，

而點兩直線AP與BP的交點P在準線x＝4上，

∴，即y₂＝                       4

又點M在橢圓上，則，即        5

于是將4、5代入3，化簡后可得－＝ 

從而，點B在以MN為直徑的圓內(nèi) 

點評：本題關(guān)鍵是聯(lián)系直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力

考點三  直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題

5.       已知拋物線C：上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1。

（1）求拋物線C的方程；

（2）若過焦點F的直線交拋物線于M、N兩點，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直線MN的方程；

（3）求出一個數(shù)學(xué)問題的正確結(jié)論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關(guān)的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題．

    例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4，側(cè)棱長為3，求該正四棱錐的體積”．求出體積后，它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4，體積為，求側(cè)棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積為，求所有側(cè)面面積之和的最小值”．

   現(xiàn)有正確命題：過點的直線交拋物線C：于P、Q兩點，設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過焦點F。

   試給出上述命題的“逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題。

解析：

答案：解：（1）

（2）設(shè)（t>0），則，F(xiàn)(1,0)。

因為M、F、N共線，則有，

所以，解得，

所以，

因而，直線MN的方程是。

（3）“逆向問題”一：

①已知拋物線C：的焦點為F，過點F的直線交拋物線C于P、Q兩點，設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點。

證明：設(shè)過F的直線為y=k(x)，，，則

由得，所以， ， =，

所以直線RQ必過焦點A。

②過點的直線交拋物線C于P、Q兩點，F(xiàn)P與拋物線交于另一點R，則RQ垂直于x軸。

③已知拋物線C：，過點B(m,0 )（m>0）的直線交拋物線C于P、Q兩點，設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點A(-m,0)。

 “逆向問題”二：已知橢圓C：的焦點為F₁(-c,0)，F(xiàn)₂(c,0)，過F₂的直線交橢圓C于P、Q兩點，設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點。

 “逆向問題”三：已知雙曲線C：的焦點為F₁(-c,0)，F(xiàn)₂(c,0)，過F₂的直線交雙曲線C于P、Q兩點，設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點。

考點四  圓錐曲線的應(yīng)用

（1）．圓錐曲線的標準方程和幾何性質(zhì)與平面向量的巧妙結(jié)合。

6.       （2004年全國高考天津理科22題）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點F（C，0）（C＞0）的準線L與X軸相交于點A，，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若 OP?O Q = 0，求直線PQ的方程；

（3）設(shè) A P =  AQ（＞1），過點P且平行與準線L的直線與橢圓相交于另一點M，證明  FM = - FQ 。

分析：（1）要求橢圓的方程及離心率，很重要的一點就是要熟悉這種二次曲線的標準方程的中心、長軸長、短軸長、焦點坐標、標準方程、離心率、焦距等有關(guān)概念及幾何性質(zhì)。解：（1）根據(jù)已知條件“橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點F（C，0）（C＞0）的準線L與X軸相交于點A。” 可設(shè)橢圓的方程為 （a＞），從而有；又因可以有，聯(lián)系以上這兩個關(guān)于a、c的方程組并解得a=，c=2，所以橢圓的方程為，離心率e=。

（2）根據(jù)已知條件 “O P?O Q = 0” ，我們可設(shè) P ，Q，把兩個向量的數(shù)量積的形式轉(zhuǎn)化為坐標表示的形式，再根據(jù)直線 PQ 經(jīng)過 A（3，0），只須求出直線PQ的斜率K即可求出直線PQ的方程。而P、Q兩點又在橢圓上，因此，我們?nèi)菀紫氲酵ㄟ^直線y=k（x-3）與橢圓，聯(lián)系方程組消去一個未知數(shù)y（或x）得，并利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合及不難求出k=，這里應(yīng)特別注意K的值要保證＞0成立，否則無法保證直線PQ與橢圓有兩個交點。

（3）要證F M =- F Q ，我們?nèi)菀紫氲酵ㄟ^式中兩個向量FM、FQ的坐標之間關(guān)系來謀求證題的方法。為此我們可根據(jù)題意“過點P且平行為準線L的直線與橢圓相交于另一點M”，求得點M坐標為。又因AP=AQ，易知FM、FQ的兩個縱坐標已經(jīng)滿足，所以現(xiàn)在要考慮的問題是如何證明FM、FQ的兩個橫坐標應(yīng)該滿足，事實上，

注意到＞1，解得    ⑤

因F（2，0），M，故FM==。

  ==

又FQ=，因此FM=-FQ。

點評：本題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質(zhì)及相關(guān)概念，直線方程、平面向量的坐標表示和向量的數(shù)量積，多元二次方程組解法、曲線和方程的關(guān)系、直線與橢圓相交等解析幾何的基礎(chǔ)思想方法，以及分析問題和綜合解題能力。

把兩個向量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個向量坐標之間的關(guān)系，再通過代數(shù)運算的方法來解決有關(guān)向量的問題是一種常用的解題手段。

7.       （江蘇卷）已知，記點P的軌跡為E.

   （1）求軌跡E的方程；

   （2）若直線l過點F₂且與軌跡E交于P、Q兩點.

       （i）無論直線l繞點F₂怎樣轉(zhuǎn)動，在x軸上總存在定點，使恒成立，求實數(shù)m的值.

       （ii）過P、Q作直線的垂線PA、OB，垂足分別為A、B，記，求λ的取值范圍.

解析：

答案：解：（1）由知，點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，由，故軌跡E的方程為

   （2）當直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消y得，

    解得k² >3

   （i）